關(guān)于足球弧線球運(yùn)動(dòng)軌跡的研究

郝成紅 黃耀清 王 歡 陸升陽(yáng) 段俊生

(上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院,上海 201418)

關(guān)于足球弧線球運(yùn)動(dòng)軌跡的研究

郝成紅 黃耀清 王 歡 陸升陽(yáng) 段俊生

(上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院,上海 201418)

本文研究了足球弧線球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，考慮馬格努斯效應(yīng)及相關(guān)參數(shù)的影響，得到了足球弧線球運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線，為指導(dǎo)有關(guān)球類訓(xùn)練提供理論依據(jù)和參考.

弧線球；馬格努斯效應(yīng)；軌跡

現(xiàn)行大學(xué)物理教材在討論斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)大多以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，很少涉及旋轉(zhuǎn)物體的斜拋運(yùn)動(dòng).實(shí)際上旋轉(zhuǎn)拋體的運(yùn)動(dòng)是很常見(jiàn)的現(xiàn)象，尤其在球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中，球體在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其自身往往伴隨著旋轉(zhuǎn),例如：足球，乒乓球，籃球以及網(wǎng)球等.而球體自身的旋轉(zhuǎn)必然影響到其運(yùn)動(dòng)的軌跡，也就是說(shuō)，這種情況下，需要考慮馬格努斯效應(yīng).當(dāng)一個(gè)圓柱體繞自身軸線旋轉(zhuǎn)并且有流體在垂直于該軸線方向流過(guò)時(shí)，它會(huì)受到一個(gè)垂直于流動(dòng)方向的橫向力，力的方向總是從來(lái)流方向與圓柱面上線速度相反的那一邊指向相同的那一邊，這種現(xiàn)象稱為馬格努斯(Magnus)效應(yīng)，文獻(xiàn)[1]寫為馬格納斯效應(yīng).

實(shí)際上馬格努斯效應(yīng)并不局限于旋轉(zhuǎn)的圓柱體，足球比賽中的所謂“香蕉球”、乒乓球比賽中的弧圈球及削球技術(shù)中都有馬格努斯效應(yīng)的明顯作用[2].文獻(xiàn)[3]～[7]討論了“香蕉球”現(xiàn)象，但是大多僅局限于定性的討論，而缺少定量的研究，并未給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)結(jié)果.本文將各類曲線運(yùn)動(dòng)的球體統(tǒng)稱為弧線球，從動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，研究弧線球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和軌跡.

1 動(dòng)力學(xué)方程的解析解

如圖1所示,我們以足球?yàn)槔O(shè)足球的質(zhì)量為m，旋轉(zhuǎn)角速度為ω，球體在旋轉(zhuǎn)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于馬格努斯效應(yīng)，除了受到重力作用之外，還要受到馬格努斯力F[8,9]的作用，

F=μ(ω×)

(1)

圖1 馬格努斯力

式(1)中，μ是與流體(空氣)的性質(zhì)及物體幾何形狀、大小相關(guān)的常量.F的方向垂直于ω和所構(gòu)成的平面，并滿足矢量積的右手關(guān)系.建立圖1所示的Oxyz三維直角坐標(biāo)系，使球體旋轉(zhuǎn)軸與z軸平行.Oxy面即為球場(chǎng)平面，z軸豎直向上.球體的初速度為0,0與Oxy面之間的夾角為α，0在Oxy面上的投影(大小為v0cosθ)與x軸的夾角為β.在理想狀態(tài)下，即不考慮空氣阻力時(shí)，則球體的動(dòng)力學(xué)方程為

由式(2)得

(5)

將式(5)代入式(3),得

(6)

寫成如下形式

(7)

此方程的解為

vx=vmcos(ω0t+φ)

(8)

得到

所以有

vx=v0cosαcos(ω0t+φ)

(13)

將式(8)代入式(5)得

vy=v0cosα·sin(ω0t+φ)

(14)

由式(4)得

vz=v0sinα-gt

(15)

式(13)、式(14)和式(15)對(duì)時(shí)間積分，可以得到坐標(biāo)x,y和z與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為

則球體的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

(19)

2 理論計(jì)算結(jié)果分析

對(duì)于式(16)、(17)和(18)來(lái)說(shuō)，雖然原則上可以消去時(shí)間參量得到x(t)、y(t)和z(t)所滿足的函數(shù)關(guān)系，但是對(duì)于結(jié)果分析并不方便.我們通過(guò)對(duì)上述3式的具體分析即可得到預(yù)期的結(jié)果.假設(shè)足球入射點(diǎn)在y軸上，由z(t)給出時(shí)間t，由x坐標(biāo)的限定即可得到y(tǒng)值，或由既定的y值得到初速度或旋轉(zhuǎn)角速度.

1) 由式(16)、(17)可以得到

(20)

2) 設(shè)y軸上G點(diǎn)是足球射門的入球點(diǎn)，令z(t)=0，根據(jù)式(18)可得t1=0(初始時(shí)刻對(duì)應(yīng)x=0，y1=0),及

(21)

這個(gè)時(shí)間就是足球落地的時(shí)間，也就是入射球門左(或右)邊底角的時(shí)間，在t2時(shí)刻仍取x=0,則y2為

(22)

3) 若考慮足球入射到球門的左(或右)上遠(yuǎn)角時(shí)，則需要取z=h(球門高度)，代入式(18)，得到方程

(23)

此方程的解為

(24)

由此可見(jiàn)這一組解要求

(25)

也就是對(duì)初速度v0的最小值有一個(gè)限定.

4) 當(dāng)式(25)取等號(hào)時(shí)，則

(26)

表1 射門距離和旋轉(zhuǎn)角速度

6) 利用MATLAB軟件可以做出三維立體軌跡如圖2，圖3和圖4所示.

圖2 α和β 均取固定參數(shù)

圖3 α取不同值

圖4 β取不同值

其中圖2的參數(shù)為：m=0.42kg,μ=0.02,ω=20π/s,v0=25m·s-1,α=π/10,β=π/32.

圖3是保持β不變，α取不同值得到的一組曲線.

圖4是保持α不變，β取不同值得到的一組曲線.

7) 當(dāng)ω=0時(shí)，我們將式(16)和式(17)取ω→0的極限，則有

其中,vx0=v0cosα·cosβ；vy0=v0cosα·sinβ；vz0=v0sinα.

我們就得到了質(zhì)點(diǎn)的斜拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.

旋轉(zhuǎn)物體的斜拋運(yùn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)的斜拋運(yùn)動(dòng)的區(qū)別在于前者的運(yùn)動(dòng)軌跡是三維曲線，而后者則實(shí)際是二維的平面運(yùn)動(dòng)，如圖5所示.

圖5 α=π/4，β=π/4

3 結(jié)語(yǔ)

本文在三維直角坐標(biāo)系中研究了弧線球運(yùn)動(dòng)的軌跡；得到了數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格解析解，即給出了三維坐標(biāo)與時(shí)間變量的函數(shù)關(guān)系.雖然是以足球?yàn)槔玫降慕Y(jié)果，但對(duì)于相關(guān)球類來(lái)說(shuō)其結(jié)果具有普遍意義.可以為相關(guān)球類的技術(shù)訓(xùn)練提供理論根據(jù)和計(jì)算方法；也為進(jìn)一步深入研究提供基礎(chǔ)性的結(jié)果.

[1] 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社，2015：231.

[2] 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程·力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,1997:374.

[3] 葛隆祺.弧線球運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探討[J].大學(xué)物理,1991(7):26-28.

[4] 王偉，劉欣.淺談“香蕉球”的力學(xué)原理[J].體育文獻(xiàn)科技通報(bào),2008,6(3):43.

[5] 趙進(jìn)寶.球類運(yùn)動(dòng)中的流體力學(xué)問(wèn)題[J].力學(xué)與實(shí)踐,1988,10(6):33.

[6] 劉大為.球體飛行軌跡異常的探討[J].大學(xué)物理,1987(1):43.

[7] 葛隆祺,葉衛(wèi)軍.足球旋轉(zhuǎn)球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[J].物理通報(bào),1999(2)：7-8.

[8] http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node43.html[9] http://www.nennstiel-ruprecht.de/bullfly/magnusf.htm#header

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STUDY ON MOTION LOCUS OF BANANA KICK

Hao Chenghong Huang Yaoqing Wang Huan Lu Shengyang Duan Junsheng

(School of Science, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418)

Considering the Magnus effect and relating parameter, kinetics equation of banana kick in football game is solved and motion locus of banana kick is given in this paper. It can provide theoretical foundation and reference for some kinds of ball trainings.

banana kick; Magnus effect; locus

2015-11-13；

2016-02-04

郝成紅，男，上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院副教授，從事大學(xué)物理教學(xué)及研究工作.

黃耀清，女，上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院教授.huangyaoqingsit@126.com

郝成紅，黃耀清，王歡，等. 關(guān)于足球弧線球運(yùn)動(dòng)軌跡的研究[J]. 物理與工程，2016，26(5)：79-81，84.