基于NURBS建模的橢圓波束賦形天線設計

張 魏，邢 鋒，雷 雪，吳君默

(信息工程大學 信息系統工程學院, 鄭州 450001)

·天饋伺系統·

基于NURBS建模的橢圓波束賦形天線設計

張 魏，邢 鋒，雷 雪，吳君默

(信息工程大學 信息系統工程學院, 鄭州 450001)

基于非均勻有理B樣條曲面建模，提出一種低剖面橢圓波束賦形天線設計方法。利用饋源喇叭的輻射方向圖和主反射面口面場分布函數，對φ=0°面的主副反射面曲線賦形，計算任意φ平面的主副反射面賦形曲線，利用非均勻有理B樣條曲面建模技術對主副反射面建模并用全波仿真軟件進行仿真優化。仿真結果表明，用該方法設計的橢圓波束天線在12.5 GHz和14.5 GHz時效率分別為67.82%和65.38%，第一副瓣電平均小于-14 dB，該天線實現了低剖面和高效率的優良性能。

非均勻有理B樣條；橢圓波束；低剖面；賦形

0 引 言

隨著衛星通信技術的發展，衛星移動通信已在應急通信和實時通信等領域得到廣泛的應用。天線設計作為衛星移動通信系統的關鍵技術之一，通常要求其具有低剖面、低副瓣和高效率的性能[1-3]。橢圓波束天線由于其在結構和性能上的獨特優點使其受到了廣泛的關注。

在諸多應用場合，如星載衛星通信、機載衛星通信[4]、地面移動通信系統等，均要用到低剖面的橢圓波束天線。目前，橢圓波束天線設計方法主要有四種：第一種是切割拋物面天線，即將圓形的天線口面切割成矩形或橢圓形，該方法的缺點是天線兩個主面內的邊緣照射電平不等，第一副瓣電平較高，效率較低，一般低于50%；第二種是基于橢圓型饋源實現的橢圓反射面天線，雖然采用橢圓型饋源提高了天線效率，但交叉極化性能差，且饋源加工難度大，成本高；第三種是賦形雙偏置天線[5]，這種方法不僅提高了天線效率，并且雙偏置結構也明顯改善交叉極化電平性能。但是，天線體積大，不利于在機載和星載上使用。第四種是變焦距環焦橢圓波束天線[6]，該方法同樣能實現較高的天線效率，但要求主反射面橢圓口徑的軸比不能太大。

基于上述原因，本文提出了一種基于非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Spline，NURBS)曲面建模的橢圓波束賦形天線的設計方法。在該方法中，根據饋源喇叭的輻射方向圖和選定的主反射面口面場分布函數對天線主副反射面進行賦形，再利用NURBS曲面建模技術對天線主副反射面建模，并將3D模型導入到全波仿真軟件中進行仿真及參數優化。同時，設計了一副工作于Ku頻段的橢圓波束賦形天線，驗證了該設計方法的有效性。

1 NURBS曲面建模基本原理

由于NURBS曲面建模技術具有面片數量少、精度高、占用計算機內存資源少等優點，在20世紀80年代，歐美國家就開始了基于NURBS建模技術的電磁計算方法研究。1991年，國際標準化組織把NURBS方法作為定義產品形狀的唯一數學方法，NURBS已成為目前建模的發展趨勢[7-8]。

一條k階NURBS曲線可以表示為分段有理多項式函數。

(1)

其中

(2)

式中：wi為權因子；di為控制頂點；Ni,k(u)為定義在非周期性(同時非均勻)節點矢量U上的k階B樣條基函數。權因子與控制頂點一一相關。權因子中，首末權因子均為正數，其余皆為非負數，且順序k個權因子不能同時為零。

具有在u方向為k階、v方向為l階的NURBS曲面是一個雙變量分段矢量有理函數，其形式如下

(3)

其中，控制頂點di,j(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)呈拓撲矩陣陣列，形成一個控制網格，即控制多邊形。wi,j是與頂點di,j一一對應聯系的權因子，規定四角頂點處用正權因子w0,0，wm,0，w0,n，wm,n>0其余wi,j均為非負數，但連續k×l個權因子不能同時為0。Ni,k(u)(i=0,1,…,m)和Nj,l(v)(j=0,1,…,n)分別為u向k階和v向l階規范B樣條基函數，分別由u向和v向的節點矢量U=[u0,u1,…,um+k+1]與V=[v0,v1,…,vn+l+1]按照德布爾遞推公式計算。具體的，k階U歸一節點矢量與l階V歸一節點矢量分解為

(4)

其中，r=n+k+1，s=m+l+1。下面介紹分段有理基函數

(5)

(6)

那么曲面式(3)可以改寫為

(7)

由NURBS曲面的方程可知，欲給出一張曲面的NURBS表示，需要確定的定義數據包括：控制頂點di,j及其權因子wi,j(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)，u參數的階數k，v參數的階數l，u向節點矢量U與v向節點矢量V。其中，階數k與l分別隱含于節點矢量U與V中。

2 橢圓波束賦形天線的設計

2.1φ=0°面主副反射面曲線的賦形計算

圖1為卡塞格倫天線的主副反射面賦形曲線示意圖，O是坐標原點，也是喇叭饋源的相位中心，副反射面上任意一點(xs,zs)到坐標原點O的距離為r；點(xs,zs)到主反射面上任意一點(x,z)的距離為s；點(x,z)到坐標原點O的距離為m；θ為點(xs,zs)與坐標原點O的連線與z軸的夾角；θv為點(xs,zs)與點(x,z)的連線與z軸的夾角；Dm為主反射面的直徑；Ds為副反射面的直徑；p為副反射面曲線與z軸的交點(即副反射面的頂點)；(xm,zm)、(xsm,zsm)分別為主副反射面邊緣坐標[9-11]。

圖1 主副反射面賦形曲線示意圖

由標準卡塞格倫天線的幾何結構及實際工程需要確定φ=0°面的初始參數：主副反射面直徑Dm0°、Ds0°、饋源照射半張角θm和焦徑比τ。

由能量守恒定律可得

(8)

其中

(9)

式中：g(x)為選定的主反射面口面場分布函數；f(θ)為饋源喇叭的輻射方向圖。

由反射定律、等光程條件和幾何關系得到關于x和r的微分方程，即

(10)

(11)

式中：Ck為光程(常數)。

聯立式(10)和式(11)組成的微分方程組，利用φ=0°面的初始條件xm0°=Dm0°/2，xsm0°=Ds0°/2可求出x和r。

利用圖1中的幾何關系可求出其他參數

xs=rsinθ

(12)

zs=rcosθ

(13)

(14)

z=zs-(x-xs)cot(θv)

(15)

至此φ=0°面的主副反射面的賦形曲線就確定了。

上述計算的步驟是從反射面的邊緣算起，首先，利用主副反射面的邊緣參數Dm、Ds、θm和θvm作為起始數據，再逐點求出副面坐標(xs,zs)和主面坐標(x,z)。

2.2 任意φ平面主副反射面曲線的賦形計算

確定φ=90°面的主副反射面直徑Dm90°和Ds90°

Dm90°=TDm0°

(16)

(17)

式中：T為主面橢圓口徑的軸比；K為饋源喇叭口徑直徑與其遮擋直徑之比，通常為0.7。

要保證主面形狀為橢圓形，任意φ平面的主面坐標要滿足式(18)和式(19)。

(18)

yφ=xφtanφ

(19)

任意φ平面的主反射面直徑為

(20)

確定了φ=0°和φ=90°的副面直徑Ds0°和Ds90°后，就確定了任意φ平面的副面直徑的取值范圍，其值介于Ds0°～Ds90°之間，再使用遍歷的方法找到任意φ平面的副面頂點與φ=0°面的副面頂點p重合的副面直徑大小，即為任意φ平面的副面直徑Dsφ的值。

由等光程條件確定任意φ平面的θvmφ

(21)

利用式(8)～式(13)、式(15)、式(21)及初始條件xmφ=Dmφ/2，xsmφ=Dsφ/2即可求出任意φ平面的主副反射面坐標，至此完成了卡塞格倫橢圓波束天線的賦形計算。

2.3 NURBS曲面建模

由于橢圓波束天線的結構對稱，所以，只需賦形計算φ=0°面到φ=90°面之間的曲線，利用2.1節和2.2節的賦形方法得到橢圓波束賦形天線的主副反射面坐標，再由NURBS曲面建模技術得到主副反射面的3D模型，該方法的建模過程是基于3DMAX軟件平臺開展的，具體建模過程如下所示：

1)根據主副反射面坐標及式(1)可得任意φ平面的k階NURBS曲線；

2)對主副反射面的截面曲線的節點矢量做并運算,使其具有統一的節點矢量，計算截面的控制頂點;

3)再用蒙面法構造NURBS曲面,文獻[8]中給出了利用蒙面法設計B樣條曲面的具體過程。用蒙面法構造的主反射面曲面，如圖2所示。

圖2 主反射面的擬合曲面

3 設計實例

為了驗證基于NURBS建模的橢圓波束賦形卡塞格倫天線設計方法的有效性，設計了一副工作于Ku頻段，軸比為2∶1的變焦距橢圓波束天線，該天線的主副反射面口面均為橢圓形，主反射面尺寸為550 mm×1100 mm，φ=0°平面的焦徑比為0.7，其三維立體結構如圖3所示。初級饋源采用現有的波紋喇叭天線，該波紋喇叭的-10 dB波瓣寬度為64°。

圖3 主副反射面結構示意圖

圖4a)和圖4b)分別為該天線頻率為12.5 GHz和14.5 GHz時在φ=0°和φ=90°平面上的輻射方向圖。從圖4可以看出，該天線在12.5GHz時的增益為38.47 dB，半功率波束寬度分別為2.6°和1.4°，φ=0°和φ=90°平面的第一副瓣電平分別為-16.1 dB和-14.7 dB。該天線在14.5 GHz時的增益為39.6 dB，半功率波束寬度分別為2.3°和1.3°，φ=0°和φ=90°平面的第一副瓣電平分別為-16.5 dB和-16.3 dB。通過計算可知，該天線在12.5 GHz和14.5 GHz時的效率分別為67.82%和65.38%。

圖4 天線輻射方向圖

4 結束語

本文提出基于NURBS曲面建模技術的橢圓波束賦形卡塞格倫天線設計方法。該方法首先對φ=0°面的主副反射面曲線賦形，其次，計算任意φ平面的主副反射面賦形曲線，最后，用NURBS曲面建模技術對主副反射面建模并用全波仿真軟件進行仿真優化；同時，設計了一副Ku頻段的橢圓波束天線驗證了該設計方法的有效性。仿真結果表明：該天線在12.5 GHz和14.5 GHz的效率分別為67.82%和65.38%，第一副瓣電平均小于-14 dB，滿足橢圓波束工程中方位面副瓣電平小于-12 dB，俯仰面副瓣電平小于-14 dB的要求，相比于傳統幾種設計方法，該方法能夠實現低剖面、大軸比、高效率的優良性能。本文提出的設計方法對工程中設計橢圓波束天線具有普遍性。

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張 魏 女，1990年生，碩士研究生。研究方向為反射面天線。

邢 鋒 男，1966年生，副教授。研究方向為電磁場數值計算。

雷 雪 女，1970年生，副教授。研究方向為電磁場理論、新型天線設計等。

吳君默 男，1990年生，博士生。研究方向為微帶反射陣天線。

Design of Shaped Elliptical Beam Antenna Based on NURBS

ZHANG Wei，XING Feng，LEI Xue，WU Junmo

(Institute of Information System Engineering, Information Engineering University of PLA, Zhengzhou 450001, China)

A new design method for a low profile shaped antenna with an elliptical beam based on the non-uniform rational B-spline surface modeling is proposed. The curves of the main reflector and sub-reflector in the plane when are calculated based on the radiation pattern of the feed horn and the selected aperture field distribution function by using a shaping method; Then shape the curves of the main reflector and sub-reflector in any plane; Finally, model the main reflector and sub-reflector surfaces by using the non-uniform rational B-spline surface modeling and optimized by using full-wave simulation software. The simulation results show that the efficiencies of the designed elliptical beam antenna are 67.82% and 65.38% at 12.5 GHz and 14.5 GHz, respectively, the first side-lobes are less than -14 dB, the antenna achieves the performances of low profile and high efficiency.

non-uniform rational B-spline; elliptical beam; low profile; shaped

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.04.015

張魏 Email：1315765716@qq.com

2015-11-08

2016-01-19

TN82

A

1004-7859(2016)04-0064-04