微課程背景下“梯度概念”課堂教學的創新設計

董昌州　張玉平

【摘 要】梯度概念是高等數學教學中的難點之一，本文通過對梯度概念課程進行全新的優化設計，借助微課程視頻讓學生達到理解概念實質，掌握概念應用，以此提高教學效果的目的。

【關鍵詞】梯度；方向導數；高等數學

梯度概念是高等數學下冊中的一個較難理解的概念，學生學習起來往往感到一頭霧水。事實上梯度在解決實際問題時應用是非常廣泛的，在進行本次課的課堂設計時可以結合實際問題引入，將復雜，枯燥的純數學問題簡單化，生活化，讓學生在輕松愉悅的氛圍中學到知識。

1 實際問題引入

現如今，毒品在全世界日趨泛濫，它直接危害著人們的身心健康以及社會發展，因此禁毒緝毒變得尤為重要，當前販運毒品的方式趨于多樣化，隱蔽化，而利用警犬來搜索毒品已經成為公安機關破獲毒品案件的一種重要手段，現在某處藏有毒品，一條警犬執行任務，搜索毒品，提問：警犬會沿著一條怎樣的路徑來進行搜索才能最快的找到毒品呢？

觀看視頻短片，引發學生積極思考，熱烈討論。在學生討論幾分鐘后，加以分析：由于毒品會在大氣中散發一種特有的氣味，警犬肯定是哪的氣味越濃就往哪走，而所謂的“氣味越濃的方向”用數學的語言該如何描述呢？這時學生的思考便有了方向，接著繼續引導：如果已知氣味濃度這一函數滿足的關系式，那么氣味越濃的方向，實際上也就是氣味濃度這一函數變化最快的方向，什么能刻畫函數的變化率呢？到此應該有一部分學生可以回答出來了：方向導數反映的是函數的變化率。因此要找函數變化最快的方向實際上也就是要找函數在一點處沿哪個方向的方向導數取得最值。由此層層遞進，步步引導，得到本節課我們要解決的核心問題，即函數在一點處沿哪個方向的方向導數取得最值。而為了解決這個問題，就必須從方向導數的計算公式入手：

從這個關系式中不難發現，當θ=0時，也就是el方向與這個向量G的方向相同時，方向導數取得最大值，最大值就等于向量G的模，因此我們看到確實存在這樣一個向量，它的方向是方向導數取得最大值的方向，而它的大小為方向導數的最大值，這個向量就是本節課的核心概念—梯度。

2 梯度的概念

[1]假設一個二元函數在平面區域D內具有一階連續偏導數，則對于每一點P（x，y）∈D，都可定出一個向量fx（x，y）+fy（x，y），稱此向量為函數z=f（x，y）在點P（x，y）的梯度。為了理解梯度這個概念，從以下兩方面加以分析。

2.1 方向導數和梯度的關系

通過表格一目了然，梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向是一致的，它的模等于方向導數的最大值。這也就回答了我們剛才提出的問題，函數在一點處到底沿著哪個方向的方向導數可以取得最值呢？此時學生會異口同聲：函數在已知點處梯度的方向或反方向就是方向導數取得最大值或最小值的方向。

為了更好的理解梯度這個向量，下面從幾何的角度加以解釋。

2.2 幾何解釋

預備知識：[1]等值線：一個二元函數z=f（x，y）表示一個曲面，這曲面被平面z=c（c為常數）所截得的曲線L的方程為z=f（x，y）

z=c，這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*，它在xOy平面直角坐標系中的方程為f（x，y）=c。對于曲線L*上的一切點，已給函數的函數值都是c，所以我們稱平面曲線L*為函數z=f（x，y）的等值線。

下面通過等值線來認識梯度這個向量。

對等值線f（x，y）=c兩邊分別對x求導，由隱函數的求導法則，可得fx+fy=0，由此得到：k法=，即點p處的一個法向量為（fx（x，y），fy（x，y））=gradf（x，y），單位化即得gradf= 。

這個關系式就非常清晰的描述了方向導數，梯度，等值線這三者的關系，并且可以幫助我們從另一個角度來理解梯度這個向量的方向和大小，函數在一點的梯度方向與等值線在這一點的一個法線方向相同，它從數值較低的等值線指向數值較高的等值線，梯度的模就是沿著法線方向的方向導數。

現在有了以上這些理論為基礎，我們就可以借助于梯度來解決警犬搜索毒品的路線這一問題了。

3 梯度的應用

問題重述：地面上某處藏有毒品，以該處為坐標原點建立直角坐標系，已知毒品在大氣中散發著特有的氣味，設氣味濃度在地表xOy平面上的分布為f（x，y）=e- （x2+2y2），一條警犬在點（x0，y0）（x0≠0）處嗅到氣味后，沿著氣味最濃的方向搜索，求警犬搜索的路線。

問題分析：設搜索路線為y=y（x），首先警犬在每一點都要沿著切線的方向行走，切向量可以用（dx，dy）來表示，而另一方面，警犬它要沿著氣味最濃的方向搜索，因此運動曲線上每一點都是朝梯度方向的，也就是說在任一點（x，y）處的切向量與氣味濃度這個函數在該點的梯度方向保持一致，所以這兩個向量應該是平行的，下面通過建立數學模型求解。

最終我們解得搜索路線是一條拋物線，所以警犬沿著這條拋物線行走將最快的搜索到毒品。雖然警犬并不懂得梯度，但是它會憑著嗅覺的反饋信號，沿著這樣的路線來搜索。

實際上梯度理論應用非常廣泛，在氣象學中，軍事地形學中[2]，建筑學中等等，都滲透著梯度理論，課后讓學生去查閱資料，找到梯度在其他方面的應用，拓寬學生的知識面。

4 結束語

利用提出問題，借助視頻圖片，建立數學模型，解決問題這樣的教學模式，將晦澀難懂的數學概念與生活息息相關的實例聯系起來，從而大大激發學生的學習興趣，調動學生探究問題的積極性，使學生領悟數學的應用價值，達到潛移默化的培養學生應用數學的能力，使枯燥乏味的數學課堂教學變得生動活潑起來。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（下）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]朱健民，李建平.高等數學（下）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[責任編輯：王楠]