基于Linex損失函數(shù)的正態(tài)分布模型的研究

謝小義　曹虹　李堅(jiān)　樊小琳

【摘 要】本文討論了基于Linex損失函數(shù)的正態(tài)分布模型位置參數(shù)的多層貝葉斯估計(jì)以及其先驗(yàn)分布的比較問題。在位置參數(shù)取共軛先驗(yàn)分布以及超參數(shù)選用無信息先驗(yàn)分布的情形下，推導(dǎo)出正態(tài)模型位置參數(shù)的多層貝葉斯估計(jì)表達(dá)式；對于單層貝葉斯估計(jì)而言，通過比較發(fā)現(xiàn)正態(tài)模型的位置參數(shù)的無信息先驗(yàn)分布要優(yōu)于共軛先驗(yàn)分布。

【關(guān)鍵詞】Linex損失函數(shù)；正態(tài)模型；多層貝葉斯估計(jì)；后驗(yàn)期望損失決策

貝葉斯（Bayes）學(xué)派是統(tǒng)計(jì)學(xué)的兩大學(xué)派之一，其和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)派的差異主要在于它們認(rèn)為在統(tǒng)計(jì)推斷中不應(yīng)將總體參數(shù)看作一個(gè)常數(shù)，而應(yīng)看作一個(gè)隨機(jī)變量。對于總體分布參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷，除了要使用樣本所提供的信息外，還必須規(guī)定一個(gè)先驗(yàn)分布，即應(yīng)用貝葉斯方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)要先給出參數(shù)的先驗(yàn)分布，基于貝葉斯定理推導(dǎo)出后驗(yàn)分布，再利用獲得的后驗(yàn)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。基于“統(tǒng)計(jì)推斷需考慮先驗(yàn)信息”這一思想的貝葉斯估計(jì)問題也變成為了貝葉斯學(xué)中的熱點(diǎn)研究問題。正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)里面最重要的分布之一，在生活中就存在許多服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)。根據(jù)大數(shù)定理和中心極限定理，當(dāng)研究對象的數(shù)據(jù)足夠多時(shí)，其分布服從正態(tài)分布，可見正態(tài)分布的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛。但以往對正態(tài)模型的研究多數(shù)集中在平方損失函數(shù)下，而在平方損失函數(shù)下往往不能有效地分辨過高估計(jì)結(jié)果和過低估計(jì)結(jié)果。相反，Linex損失函數(shù)是一種非對稱損失函數(shù)，在估計(jì)過程中可以避免這一缺陷的出現(xiàn)，這一性質(zhì)致使Linex損失函數(shù)常被用于壽險(xiǎn)檢驗(yàn)和可靠性分析的問題研究中，也是它常被用來預(yù)測股票價(jià)格的原因之一。

Linex損失函數(shù)的基本形式如下：

L（θ，δ）=b[ea （δ-θ）-a（δ-θ）-1] a≠0，b>0

這里的a、b分別是Linex損失函數(shù)的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。相比于對稱損失函數(shù)（如平方損失函數(shù)），Linex損失函數(shù)有如下優(yōu)點(diǎn)：

（1）當(dāng)a>0時(shí)，若δ-θ>0，則函數(shù)值呈指數(shù)增長；若δ-θ<0，則函數(shù)值呈線性增長。a<0時(shí)函數(shù)增長形式正好相反。

（2）當(dāng)絕對值δ-θ很小時(shí)，該函數(shù)幾乎是對稱的，且接近平方損失函數(shù)。

本文僅討論尺度參數(shù)a>0的情形，對于a<0的情形可做類似的討論。為研究方便，設(shè)定隨機(jī)變量X服從均值為θ，方差為1的正態(tài)分布，即X～N（θ，1）。則隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為P（X）=exp（（x-θ）2/2）/。另外，記x1，x2，…，xn為隨機(jī)變量X的n個(gè)獨(dú)立的樣本觀測值，表示樣本均值。

引理1：在Linex損失函數(shù)下，對于任何先驗(yàn)分布，參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)的表達(dá)式為：

θB=-ln E（e-aθX）

對于貝葉斯估計(jì)問題，由上述可知應(yīng)用貝葉斯方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的關(guān)鍵和核心在于選擇合適的先驗(yàn)分布。只有確定了先驗(yàn)分布，才能對模型進(jìn)行討論。對于模型參數(shù)的先驗(yàn)分布的選取存在很多研究，概括起來有應(yīng)用無信息先驗(yàn)分布、共軛先驗(yàn)分布、Jeffreys準(zhǔn)則、不變測度、最大熵方法、專家經(jīng)驗(yàn)法、自助法和多層先驗(yàn)分步法等方法，其中最常用和方便的是共軛先驗(yàn)分布和無信息先驗(yàn)分布。對于多層先驗(yàn)分布法，也是采用以上幾種方法對每層先驗(yàn)分布進(jìn)行選擇。考慮到當(dāng)正態(tài)模型的方差固定時(shí)，總體的均值的共軛先驗(yàn)分布仍為正態(tài)分布。結(jié)合多層貝葉斯估計(jì)理論，本文對于正態(tài)總體的位置參數(shù)θ的先驗(yàn)分布（第一層先驗(yàn)分布）采用其共軛先驗(yàn)分布的形式，記作θ～N（μ1，σ2 1），其中μ1和σ2 1未知。由于μ1和σ2 1未知，即使得到位置參數(shù)θ的后驗(yàn)分布也無法對位置參數(shù)θ進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。若此時(shí)再將μ1和σ2 1看作隨機(jī)變量，則它們稱為超參數(shù)。根據(jù)多層貝葉斯估計(jì)理論可知，對于超參數(shù)μ1和σ2 1，把它們視作相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，也對它們設(shè)定先驗(yàn)分布（第二層先驗(yàn)分布），即為估計(jì)位置參數(shù)θ而再次設(shè)定先驗(yàn)分布。根據(jù)已有的研究可知，對于第二層先驗(yàn)分布而言，即使它們的先驗(yàn)分布決定錯(cuò)了，最終導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果的危險(xiǎn)性也不會(huì)太大，故選用μ1和σ2 1的無信息先驗(yàn)分布作為整個(gè)估計(jì)過程中的第二層先驗(yàn)分布是可行的。

另外，在實(shí)際生活和工作當(dāng)中，人們經(jīng)常需要做決策。做決策需要信息，信息越充分和準(zhǔn)確，決策的效果就會(huì)越好。決策的目的往往是收益最大化或損失最小化，基于Linex損失函數(shù)的貝葉斯決策問題，普遍是以后驗(yàn)期望損失最小化為最終目的。根據(jù)貝葉斯公式，不同形式的先驗(yàn)分布會(huì)產(chǎn)生不同形式的后驗(yàn)分布，從而會(huì)出現(xiàn)不同的后驗(yàn)期望損失值，故此時(shí)做決策的關(guān)鍵也在于選取合適的先驗(yàn)分布，這便是后驗(yàn)期望損失決策準(zhǔn)則的原理，即當(dāng)后驗(yàn)貝葉斯行為A的后驗(yàn)期望損失要比另一個(gè)后驗(yàn)貝葉斯行為B的后驗(yàn)期望損失小時(shí)，則行為A要優(yōu)于行為B。根據(jù)這一決策準(zhǔn)則，在具體的損失函數(shù)下，便能對正態(tài)分布的位置參數(shù)θ的后驗(yàn)期望損失進(jìn)行計(jì)算和比較，從而選出損失最小相對應(yīng)的先驗(yàn)分布作為最優(yōu)的先驗(yàn)分布。

定理2：對于單層貝葉斯估計(jì)問題，若a>0，則基于Linex損失函數(shù)的正態(tài)分布N（θ，1）的位置參數(shù)θ的無信息先驗(yàn)分布要優(yōu)于共軛先驗(yàn)分布。

證明：根據(jù)貝葉斯學(xué)中無信息先驗(yàn)分布的設(shè)定可知，無信息先驗(yàn)分布最基本的設(shè)定形式是無信息Jeffreys先驗(yàn)，即P（θ）=c，-∞

θ （1） B =-ln E（e-a θX）=-lne=-。

若取參數(shù)θ的共軛先驗(yàn)分布N（μ1，σ2 1），則根據(jù)峁詩松關(guān)于貝葉斯估計(jì)的理論可知，參數(shù)θ的后驗(yàn)分布為N（μ3，σ2 3），其中μ3=，σ2 3=。根據(jù)引理1，有：

θ （2） B =-ln E（e-a θX）=-lne=-+。

因?yàn)閚為樣本數(shù)，有n>0。當(dāng)a>0時(shí)，易知θ （2） B >θ （1） B 。根據(jù)后驗(yàn)貝葉斯損失決策準(zhǔn)則，θ （1） B 選用的先驗(yàn)分布要優(yōu)于θ （2） B 選用的先驗(yàn)分布。故基于Linex損失函數(shù)的正態(tài)分布N（θ，1）的位置參數(shù)θ的無信息先驗(yàn)分布要優(yōu)于共軛先驗(yàn)分布。

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