轉(zhuǎn)動約束受壓矩形鋼板單側(cè)屈曲強度計算簡化

鄭　艷，莫時旭，趙劍光，林飛揚，胥海寧

(1.廣西巖土力學(xué)與工程重點實驗室， 廣西桂林541004；2.桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院， 廣西桂林541004)

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轉(zhuǎn)動約束受壓矩形鋼板單側(cè)屈曲強度計算簡化

鄭艷1,2，莫時旭1,2，趙劍光2，林飛揚2，胥海寧2

(1.廣西巖土力學(xué)與工程重點實驗室， 廣西桂林541004；2.桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院， 廣西桂林541004)

摘要：為研究內(nèi)填混凝土鋼箱構(gòu)件在受壓、受彎荷載下其組成鋼板局部屈曲問題，建立了非受載邊轉(zhuǎn)動約束、線性分布壓力下矩形板單側(cè)屈曲模型，選取滿足矩形板變形邊界條件的多項式與調(diào)和函數(shù)組合位移函數(shù)，利用瑞利—里茲能量法導(dǎo)出了非受載邊界為轉(zhuǎn)動約束的矩形板在線性分布荷載下的單側(cè)屈曲強度計算公式。與傳統(tǒng)邊界條件相同的雙側(cè)屈曲矩形板比較，單側(cè)屈曲強度比雙側(cè)屈曲強度提高37%～58%。基于屈曲強度與約束系數(shù)的關(guān)系，利用回歸分析方法對計算公式進行了簡化，提出了約束系數(shù)表達的屈曲強度計算實用公式。已有試驗表明，簡化公式計算值與試驗值之比在0.76～1.22，平均1.03，兩者吻合良好，計算公式的有效性得到驗證。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動約束；線性分布壓力；能量法；單側(cè)屈曲強度；約束系數(shù)

鋼板寬厚比的確定是薄壁鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計的關(guān)鍵問題之一，合適的寬厚比是結(jié)構(gòu)安全性、適用性和經(jīng)濟性的保證。因此，準(zhǔn)確計算薄壁鋼板的屈曲強度一直受到工程界專家和學(xué)者重視[1-3]。對于一般雙側(cè)屈曲模式矩形板的屈曲強度計算已有比較成熟的公式[4-5]。鋼箱內(nèi)填混凝土后其組成鋼板受壓時，內(nèi)凹的屈曲變形受到混凝土的約束，只能發(fā)生外凸的單側(cè)屈曲變形，針對此類單側(cè)屈曲模式矩形板在均布壓力下的屈曲問題已開展了大量研究[6-14]。劉慶輝等[6]提出了非加載邊簡支矩形板單側(cè)屈曲強度計算公式；何保康等[7]提出了非加載邊固支矩形板單側(cè)屈曲強度計算公式。莫時旭等[8-9]建立了非受載邊彈性約束矩形板單側(cè)屈曲強度計算公式；毛佳等[10]得到了彈性支承上矩形板的屈曲強度計算公式。以上均布壓力下矩形板單側(cè)屈曲強度計算公式可用于合理確定矩形鋼管混凝土軸心受壓柱組成鋼板和充填混凝土的鋼箱梁的受壓頂(底)板寬厚比。偏心受壓矩形鋼管混凝土柱的組成鋼板和充填混凝土的鋼箱梁的鋼腹板承受非均布壓力，對于非受載邊轉(zhuǎn)動約束、線性分布壓力下矩形板單側(cè)屈曲問題的研究尚不充分。

本文選取多項式與諧波函數(shù)組合的屈曲位移函數(shù)，利用瑞利—里茲能量法導(dǎo)出了非受載邊界為轉(zhuǎn)動約束的矩形板在線性分布荷載下的單側(cè)屈曲強度理論計算公式，并通過回歸分析對計算公式進行了簡化，形式簡潔，精度滿足工程要求，試驗結(jié)果[10-13]與計算結(jié)果對比表明，兩者吻合良好，驗證了計算公式的有效性。為解釋法分析線性分布荷載下，非受載邊界彈性轉(zhuǎn)動約束矩形板單側(cè)屈曲問題提供了依據(jù)。

圖1　矩形板單側(cè)屈曲模式Fig.1　Buckling model of rectangle plate

1矩形板單側(cè)屈曲分析

1.1矩形板屈曲分析的里茲變分法

非受載邊彈性轉(zhuǎn)動約束矩形板單側(cè)屈曲模式如圖1所示，板底為剛性支承基底，板長寬為b，面內(nèi)荷載N作用于x=0和x=a邊界。

假定滿足板邊界條件的屈曲位移函數(shù)形式為：

(1)

作用的面內(nèi)荷載沿作用邊線性分布，表達式為：

(2)

則板產(chǎn)生屈曲變形的彎曲彈性應(yīng)變能：

(3)

非加載邊彈性約束應(yīng)變能：

(4)

面內(nèi)荷載所做功為：

(5)

Π=Ue+UΓ-W，

(6)

由最小勢能原理：

δΠ=δUe+δUΓ-δV=0。

(7)

選擇適當(dāng)?shù)陌迩灰坪瘮?shù)，代入式(7)可得到板屈曲臨界荷載的本征值問題，利用瑞利—里茲法可以求出板屈曲臨界荷載。

1.2矩形板單側(cè)屈曲位移函數(shù)

圖1所示的剛性基底上矩形板的加載邊夾支，垂直加載邊板方向板位移用半波余弦調(diào)和函數(shù)模擬，非加載邊彈性約束，垂直非加載邊板方向板位移用多項式函數(shù)模擬，矩形板單側(cè)屈曲位移函數(shù)假定為：

(8)

顯然，位移函數(shù)滿足矩形板加載邊面外位移和轉(zhuǎn)角為零的邊界條件;由非加載面外位移為零和板邊彎矩與約束力矩相等的邊界條件，即：

(9)

確定位移函數(shù)(8)中的未知系數(shù)φ1、φ2、φ3。得板屈曲位移函數(shù)為：

(10)

其中定義χ為約束系數(shù)，是無量綱參數(shù)，即：

χ=ζb/D,

(11)

若χ=0(即ζ=0)，則非加載邊(y=0或y=b)為簡支邊界；若χ=∞(即ζ=∞)，則非加載邊(y=0或y=b)為固定邊界。

1.3矩形板單側(cè)彈性屈曲強度

將式(10)代入式(3)，式(4)和式(5)，對位移求一階變分，則得到：

(12)

(13)

(14)

式中:

β1=(4 464+2 280χ+424χ2+34χ3+χ4)，β2=(864+432χ+108χ2+16χ3+χ4)，

β3=(3 672+1 872χ+354χ2+30χ3+χ4)。

將式(12)～式(14)代入式(7)，得到屈曲臨界荷載的本征值問題，整理得：

(15)

令γ=a/b，則板屈曲系數(shù)為：

(16)

由此可見，屈曲系數(shù)k是約束系數(shù)χ、長寬比γ的函數(shù)。取λ=1，χ=0，10，100時，由式(16)對每一個半波m=1，2，3，4，…可繪制出k-γ關(guān)系曲線，如圖2所示。可見，m=1，χ=0時，屈曲強度系數(shù)k在長寬比γ=1.5時取得最小值，而隨m倍數(shù)增加，k在長寬比相應(yīng)倍數(shù)處取得最小值，即為板的臨界屈曲強度系數(shù)；χ=10和100時，屈曲強度系數(shù)k在長寬比γ=1.15和1.05處取得最小值，因此，隨χ增大，相同屈曲半波數(shù)時，矩形板取得最小屈曲強度的長寬比減小。

(a)χ=0

(b)χ=10

(c)χ=100

圖2k與γ關(guān)系曲線

Fig.2Curve ofk-γ

1.4臨界屈曲強度系數(shù)kcr

由式(16)對γ求導(dǎo)，令?k/?γ=0，整理得使k取最小值的γ為：

(17)

式中:β4=864+792χ+228χ2+26χ3+χ4。

由式(17)可以得到m=1時，臨界長寬比γcr與約束系數(shù)χ的關(guān)系曲線，如圖3所示。由此可見，相同屈曲半波時，γcr隨χ增大而減小。

將式(17)代入式(16)整理得板的臨界屈曲荷載系數(shù)為：

(18)

1.5kcr與λ的關(guān)系

令χ=10，由式(18)可以計算出臨界屈曲強度系數(shù)kcr與荷載梯度λ關(guān)系曲線如圖4所示。由圖4可見，荷載梯度λ為0 時，矩形板均勻受壓，臨界屈曲強度系數(shù)kcr最小，隨λ增大，kcr逐漸提高，λ增大至1.5以后，由于受拉區(qū)明顯增大，kcr迅速提高。

圖3γcr與χ關(guān)系曲線

Fig.3Curve ofγcr-χ

圖4kcr與λ關(guān)系曲線

Fig.4Curve ofkcr-λ

2屈曲強度系數(shù)計算公式簡化

式(18)右邊取λ為1時，有：

(19)

式(19)，χ與kcr的關(guān)系如圖5所示，其中χ采用對數(shù)坐標(biāo)。可以看出，每一條kcr-χ關(guān)系曲線都存在上、下兩條漸進線，分別代表邊界固支和簡支時板的屈曲荷載系數(shù)kcr。在χ小于0.5時，kcr趨近于下界漸近線，由表1可知，此時kcr取簡支邊界(χ=0)的kcr值，誤差在5.7%。在χ大于100時，kcr趨近于上界漸近線，由表5可知，此時kcr取簡支邊界(χ=∞)的kcr值，誤差在3.7%。可見，邊界約束系數(shù)χ小于0.5的板，可按簡支邊界板計算屈曲強度系數(shù)kcr；而邊界約束系數(shù)χ大于100的板，可按固支邊界板計算屈曲強度系數(shù)kcr。

表1　kcr邊界的取值誤差

圖5kcr與χ關(guān)系曲線

Fig.5Curve ofkcr-χ

圖6kcr-lgχ關(guān)系曲線及擬合直線

Fig.6Curve ofkcr-lgχand fitted line

χ在0.5～100，kcr隨χ增大而顯著提高，而且kcr與lgχ近于線性關(guān)系(如圖6)，利用線性回歸方法，得到式(19)的簡化回歸公式：

kcr=4.12lgχ+12.15,

(20)

用式(20)取代式(18)右邊的第2項，式(18)可用回歸公式簡化為：

(21)

計算出kcr后，代入式(15)，得到屈曲強度：

(22)

3幾種特定邊界屈曲強度系數(shù)

荷載梯度λ不同，矩形板受力邊面內(nèi)壓力形式不同，取λ=0，2/3，1，4/3等幾種情況為代表，面內(nèi)壓力形式如圖7所示。不同非受力邊界下板屈曲強度系數(shù)計算如表2。

利用式(19)計算的矩形板遺傳算法優(yōu)化的非線性鋼結(jié)構(gòu)模糊控制算結(jié)果比較如表3。可見，邊界條件相同的矩形板，單側(cè)屈曲強度比雙側(cè)屈曲強度提高37%～58%。

表2　特定邊界矩形板屈曲強度系數(shù)kcr

(a)λ=0

(b)λ=2/3

(c)λ=1

(d)λ=4/3

4應(yīng)用

鋼箱混凝土柱在壓力作用下，鋼箱壁板在面內(nèi)壓力作用下，都發(fā)生向外的單側(cè)屈曲[8-9]，其非受力邊界受相鄰壁板約束；在受壓區(qū)部分充填混凝土的鋼箱混凝土梁[10]在彎曲荷載下，受壓頂板受面內(nèi)彎曲壓力作用，可發(fā)生向上的單側(cè)屈曲，縱向邊界為非受載邊，其轉(zhuǎn)動受腹板約束；受壓區(qū)腹板在彎曲壓力作用下，可發(fā)生向外的側(cè)向單側(cè)屈曲，其上、下邊界受鋼箱頂板、水平隔板及下腹板轉(zhuǎn)動約束。這些受壓壁板的邊界條件為介于簡支和固支之間的彈性約束邊界，其彈性約束系數(shù)χ的計算可利用文獻[9]使用的方法。對于兩非加載邊約束系數(shù)χ不同的構(gòu)件，考慮到對板件屈曲的控制作用，χ取受壓較大一側(cè)的計算值或兩邊界中χ較小者。

表4中試件(1)～(12)為方鋼管混凝土柱；試件(13)～(16)為部分充填混凝土鋼箱梁，頂板為屈曲計算板，腹板為約束板；試件(17)為部分充填混凝土鋼箱梁，受壓區(qū)腹板為屈曲計算板，頂板為計算腹板上邊界約束板，水平隔板和下腹板為計算腹板的下邊界約束板。從表4中計算結(jié)果看，試驗值介于邊界簡支條件和邊界固支條件的計算值之間，而且按邊界簡支或固支，計算結(jié)果與試驗結(jié)果都有較大誤差；利用邊界彈性轉(zhuǎn)動約束條件計算結(jié)果與試驗結(jié)果較為接近，式(18)計算值與試驗值之比在0.76～1.22，平均1.03，均方差0.117，變異系數(shù)11.4%，計算值略高于試驗值，兩者吻合良好。簡化計算式(21)計算結(jié)果與式(18)的誤差為-9.3%～2.9%，誤差不大，兩式比較，式(21)更為簡潔方便。

表4　計算值與試驗結(jié)果比較

5結(jié)語

①利用瑞利—里茲能量法導(dǎo)出了非受載邊界為轉(zhuǎn)動約束的矩形板在線性分布荷載下的單側(cè)屈曲強度計算公式，通過回歸分析對計算公式進行了簡化，形式簡潔，便于應(yīng)用，精度滿足工程要求；

②討論了此類矩形板在均勻、三角形、梯形等分布壓力下非加載邊為簡支、固支、彈性約束等情形下的單側(cè)屈曲強度計算，與雙側(cè)屈曲板屈曲強度計算結(jié)果進行比較，單側(cè)屈曲強度提高37%～58%；

③試驗表明，計算值與試驗值之比在0.76～1.22，平均1.03，均方差0.117，變異系數(shù)11.4%，兩者吻合良好，對計算公式的有效性進行了驗證。

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(責(zé)任編輯唐漢民梁碧芬)

Simplified calculation on unilateral buckling strength of rotationally-retrained compression rectangular steel plates

ZHENG Yan1,2, MO Shi-xu1,2, ZHAO Jian-guang2, LIN Fei-yang2, XU Hai-ning2

(1.Guangxi Key Laboratory of Rock-Soil Mechanics and Engineering, Guilin 541004,China;

2.Guilin University of Technology College of Civil Engineering and Architecture,Guilin 541004,China)

Abstract:In order to study the elastic unilateral buckling of rectangle plate with restrainted rotation along unloaded edges under linear pressure of steel box concrete composite beam, a proper buckling displacement function was chosen, and a set of critical load formulas for unilateral buckling rectangular plate was obtained by the Ritz variation method. Unilateral buckling strength was 37% ～ 58% larger than bilateral buckling strength for rectangular plate of the same boundary. Based on the relationship of buckling strength and retrained coefficient, the formulas were simplified by the regression analysis method. Therefore the formulas are concise and convenient for application. Some test results show that the ratio of the calculated value and test value is between 0.76 and 1.22, and that the average is 1.03. The predicted values are in good agreements with the test results, so the validity of the formulas is verified.

Key words:rotationally restraint; linear pressure; energy method; unilateral buckling strength; restrained coefficient

中圖分類號：TI389.8

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-7445(2016)01-0099-08

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0099

通訊作者：莫時旭(1964—)，男，廣西桂林人，桂林理工大學(xué)教授，博士;E-mail:478990056@qq.com。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51168011；51108109)；廣西巖土力學(xué)與工程重點實驗室資助項目(11-CX-05)

收稿日期：2015-09-03；

修訂日期：2015-11-01

引文格式：鄭艷，莫時旭，趙劍光,等.轉(zhuǎn)動約束受壓矩形鋼板單側(cè)屈曲強度計算簡化[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，41(1)：99-106.