用“圓與直線的位置關系”解題

劉占溪

學習了“圓與直線的位置關系”后，我們發現有一類過去棘手的數學問題，可以轉化為直角坐標系xOy下的圓M：（x-a）2+（y-b）2=r2與直線l：Ax+By+C=0，再利用它們的位置關系求解，便會變得直觀而簡捷.舉例如下：

一、方程問題

例1（2013年湖北省高考題）設實數x，y，z∈R，滿足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，則x+y+z=.

分析將問題視為在直角坐標系xOy下：

圓M：x2+y2=1-z2與直線l：x+2y+（3z-14）=0有交點時，求z的值.

解由圓心O到直線l的距離不大于圓的半徑，有|3z-14|5≤1-z2，即（14z-3）2≤0得z=31414；于是得x=1414，y=21414；所以x+y+z=3147.

二、平面幾何問題

例2（第三屆世界數學錦標賽）某直角三角形中，斜邊長為4x-2，一條直角邊長為415-3x，求另一條直角邊長的范圍.

分析設另一條直角邊長為r（r>0），依勾股定理，只需求r2=x-2-15-3x中r的范圍.

令x-2=Y5-x=X，則問題轉化為：

在直角坐標系XOY下圓弧M：X2+Y2=3（Y>3X>0）與直線l：Y=3X+r2有交點時，

求r的范圍.

圖1

解如圖1，顯然直線l只有從直線Y=3X起向上平移至點B（0，3）之間時才與圓弧M有交點，所以得：0

三、解析幾何問題

橢圓與圓是一對孿生兄妹，它們存在著很多相似的性質，而且可以相互轉化！

圖2

例3（2013年湖南4市高考模擬題）如圖2，已知橢圓C：x25+y23=m22（m>0），經過C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于A，B兩點，設O為坐標原點，M為線段AB的中點，射線OM交橢圓于N，當ON=OA+OB時，求k的值.

分析參考答案，運用大量繁雜的運算，得到了關于k的四次方程，再求解，思路迂回，難于把握.

學習了“圓與直線的位置關系”后，我們發現有一類過去棘手的數學問題，可以轉化為直角坐標系xOy下的圓M：（x-a）2+（y-b）2=r2與直線l：Ax+By+C=0，再利用它們的位置關系求解，便會變得直觀而簡捷.舉例如下：

一、方程問題

例1（2013年湖北省高考題）設實數x，y，z∈R，滿足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，則x+y+z=.

分析將問題視為在直角坐標系xOy下：

圓M：x2+y2=1-z2與直線l：x+2y+（3z-14）=0有交點時，求z的值.

解由圓心O到直線l的距離不大于圓的半徑，有|3z-14|5≤1-z2，即（14z-3）2≤0得z=31414；于是得x=1414，y=21414；所以x+y+z=3147.

二、平面幾何問題

例2（第三屆世界數學錦標賽）某直角三角形中，斜邊長為4x-2，一條直角邊長為415-3x，求另一條直角邊長的范圍.

分析設另一條直角邊長為r（r>0），依勾股定理，只需求r2=x-2-15-3x中r的范圍.

令x-2=Y5-x=X，則問題轉化為：

在直角坐標系XOY下圓弧M：X2+Y2=3（Y>3X>0）與直線l：Y=3X+r2有交點時，

求r的范圍.

圖1

解如圖1，顯然直線l只有從直線Y=3X起向上平移至點B（0，3）之間時才與圓弧M有交點，所以得：0

三、解析幾何問題

橢圓與圓是一對孿生兄妹，它們存在著很多相似的性質，而且可以相互轉化！

圖2

例3（2013年湖南4市高考模擬題）如圖2，已知橢圓C：x25+y23=m22（m>0），經過C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于A，B兩點，設O為坐標原點，M為線段AB的中點，射線OM交橢圓于N，當ON=OA+OB時，求k的值.

分析參考答案，運用大量繁雜的運算，得到了關于k的四次方程，再求解，思路迂回，難于把握.

學習了“圓與直線的位置關系”后，我們發現有一類過去棘手的數學問題，可以轉化為直角坐標系xOy下的圓M：（x-a）2+（y-b）2=r2與直線l：Ax+By+C=0，再利用它們的位置關系求解，便會變得直觀而簡捷.舉例如下：

一、方程問題

例1（2013年湖北省高考題）設實數x，y，z∈R，滿足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，則x+y+z=.

分析將問題視為在直角坐標系xOy下：

圓M：x2+y2=1-z2與直線l：x+2y+（3z-14）=0有交點時，求z的值.

解由圓心O到直線l的距離不大于圓的半徑，有|3z-14|5≤1-z2，即（14z-3）2≤0得z=31414；于是得x=1414，y=21414；所以x+y+z=3147.

二、平面幾何問題

例2（第三屆世界數學錦標賽）某直角三角形中，斜邊長為4x-2，一條直角邊長為415-3x，求另一條直角邊長的范圍.

分析設另一條直角邊長為r（r>0），依勾股定理，只需求r2=x-2-15-3x中r的范圍.

令x-2=Y5-x=X，則問題轉化為：

在直角坐標系XOY下圓弧M：X2+Y2=3（Y>3X>0）與直線l：Y=3X+r2有交點時，

求r的范圍.

圖1

解如圖1，顯然直線l只有從直線Y=3X起向上平移至點B（0，3）之間時才與圓弧M有交點，所以得：0

三、解析幾何問題

橢圓與圓是一對孿生兄妹，它們存在著很多相似的性質，而且可以相互轉化！

圖2

例3（2013年湖南4市高考模擬題）如圖2，已知橢圓C：x25+y23=m22（m>0），經過C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于A，B兩點，設O為坐標原點，M為線段AB的中點，射線OM交橢圓于N，當ON=OA+OB時，求k的值.

分析參考答案，運用大量繁雜的運算，得到了關于k的四次方程，再求解，思路迂回，難于把握.