抓住基本圖形 巧添輔助線

張瓊

七年級同學們剛剛接觸平面幾何，難免會碰到需要添加輔助線的題目，此時，同學們普遍感覺這類題目比較難.許多同學常常會向老師提出這樣的問題：“老師，為什么要添加這條輔助線？”要解決這些問題，同學們就要掌握添加輔助線更一般的規(guī)律.

平面幾何可以通過不同圖形的不同組合而發(fā)生無窮變化，一個幾何問題，經(jīng)過分析后，都一定會發(fā)現(xiàn)這樣一個事實：它是由一個或若干個最簡單最基本的圖形組成的，我們把這些最簡單最基本的圖形稱為基本圖形.

下面以《七年級下冊補充習題》上一道習題為例.

如圖1，已知AB∥CD.

求證：∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°.

首先，學會基本圖形的識別.

人們常常感嘆于優(yōu)秀生反應(yīng)快，并把原因歸結(jié)為“此人天生聰穎”.實際上，優(yōu)秀生之所以快，是因為他們善于將一些基本問題進行模塊化，把它們的結(jié)構(gòu)和圖形儲存在腦海中，到用的時候能迅速浮現(xiàn)出來.這好比電腦快是因為儲存了大量的程序一樣.因此，要想做到快速識別基本圖形，平時就應(yīng)當有意識地歸納和識記基本圖形.譬如要解答此題，就應(yīng)當先熟練掌握“兩條平行線被第三條直線所截”的基本圖形.

本題條件中出現(xiàn)了一組平行線：AB∥CD，所以考慮用“兩條平行線被第三條直線所截”的基本圖形進行證明.給出的圖形中，發(fā)現(xiàn)基本圖形不完整，所以需要添加輔助線，根據(jù)思考規(guī)律，分為兩種情況：

①添加第三條直線；

②添加平行線.

其次，添加輔助線，構(gòu)造基本圖形.

（一） 添加第三條直線

在給出的圖形中，沒有直接與AB、CD都相交的第三條直線，所以根據(jù)這個基本圖形的思考規(guī)律，需要添加第三條直線.由于兩平行線AB、CD可能被各種位置不同的第三條直線所截，所以就會出現(xiàn)添加輔助線的多種可能情況.

（1） 若兩平行線AB、CD被直線BC所截，由于圖中沒有直線BC，故連接BC，如圖2.

證明（略）.

（2） 若兩平行線AB、CD被直線BE（或CE）所截，由于BE與CD沒有相交，所以基本圖形不完整，故延長BE、DC交于F，如圖3.

證明（略）.

（3） 若兩平行線AB、CD被過點C且與AB、CD相交的直線所截，則可以過點C作CF交AB于F，如圖4.

證明（略）.

（二） 添加平行線

若把BE（或CE）看作是截一組平行線的第三條直線，那么還缺少一條平行線，故過點E作EF∥AB.這里有兩種情況：

（4） 平行線AB、CD與EF構(gòu)成同旁內(nèi)角，如圖5.

證明（略）.

（5） 平行線AB、CD與EF構(gòu)成內(nèi)錯角，如圖6.

證明（略）.

第三，對添加輔助線再思考.

基本圖形的輔助線添加，首先需要根據(jù)題目條件和結(jié)論識別出基本圖形，要做到這一點，需要在做完題后，進行如下的反思：自己是怎樣想出來的？有沒有別的方法？不同的解法有沒有共同的東西？能把這個共同的東西應(yīng)用于另外一些題目嗎？如果發(fā)現(xiàn)這個思考方法具有普遍性，那么要把它整理出來，因為這就是一個基本圖形.當我們總結(jié)的基本圖形越多，再碰到相關(guān)題目的時候，就越容易識別基本圖形，使之容易得到解決.

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校）