朗蘭茲綱領：一項偉大的數學工程

在1967年給數學家安德烈·韋伊的信中，數學家朗蘭茲提出一個著名的猜想，現稱為朗蘭茲互反猜想。這個猜想后演變成朗蘭茲綱領，在過去幾十年對數學的發展產生了極大的影響。

背景介紹

我們認識數學基本上都是從整數開始的，然后是簡單的幾何與多項式方程。一個最古老的數學分支—數論，就是研究整數的。整數中間有無窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引著最富智慧的數學家和業余愛好者。著名的問題包括哥德巴赫猜想，孿生素數猜想，費馬大定理等。

幾何同樣是最古老的數學分支。古希臘人對直線、圓周以及圓錐曲線的研究到后來發展成為代數幾何，這個分支專門研究多項式方程對應的圖形。過去一百多年來，代數幾何的發展非常迅速，大家輩出，在數學其他分支和數學物理中都有很深刻的應用。已獲菲爾茲獎的數學家中約三分之一的工作與代數幾何有關。

群論的產生只有一百多年，源于多項式方程的求根公式。人們很早就會解一元一次方程和一元二次方程，一元三次方程和四次方程的公式解在十六世紀被找到。一個重要的數學分支—群論在探索方程的根式解的過程中誕生了。方程是否有根式解與相應的群是否可解為一回事。群論的誕生改變了數學的面貌，影響幾乎遍及整個數學領域，在物理和化學及材料科學中有很多的應用，是研究對稱的基本工具。

朗蘭茲綱領指出這三個相對獨立發展起來的數學分支：數論、代數幾何和群表示論，實際上是密切相關的，而連接這些數學分支的紐帶是一些特別的函數，被稱為L-函數。L-函數可以說是朗蘭茲綱領的中心研究對象。數學界著名的七個“千禧年大獎問題”中有兩個就是關于L-函數的，它們分別是黎曼假設和BSD猜想。它們的重要性由此可見一斑。

朗蘭茲提出了怎樣對一般的簡約群的自守表示定義一些L-函數，并猜測一般線性群自守表示的一些L-函數跟來自數論的伽羅華群表示的一些L-函數是一樣的。這個猜想被朗蘭茲本人和其他數學家進一步拓展、細化，逐漸形成了一系列揭示數論、代數幾何、表示論等學科之間深刻聯系的猜想。朗蘭茲綱領就是對這些猜想和相關問題的研究。

朗蘭茲綱領研究在中科院數學院

自朗蘭茲互反猜想提出起，朗蘭茲綱領就引起了眾多數學家的興趣。目前，幾乎所有頂尖的歐美大學數學系都有人研究朗蘭茲綱領。

上世紀末，朗蘭茲綱領及相關課題的研究在中科院數學院逐步發展起來。現在，中科院數學院已經擁有一支研究朗蘭茲綱領的年富力強的團隊， 并取得了一系列重大成果（其中前兩項與國外數學家合作完成），最突出的有以下幾項：

1.證明了Theta對應的三個最基本的論斷。羅杰·豪爾開創的Theta對應理論有三個最基本的論斷，分別稱為豪爾對偶猜想、重數保守猜想和庫德拉-拉利斯守恒律猜想。

2.完成了重數—猜想的證明，并證明了一系列與此相關的重要唯一性定理。

3.對亞辛群系統研究了跡公式，特別地，建立了亞辛群的跡公式橢圓部分的穩定化。

4.證明了卡日丹和馬祖爾在上世紀70年代提出的一個局部zeta積分非零的假設。

團隊介紹：

十幾年前，數學院陸續引進了一批在朗蘭茲綱領研究領域工作的杰出青年人才，如畢業于哥倫比亞大學的田野、加州理工學院的王崧、香港科技大學的孫斌勇、法國巴黎七大的李文威、巴黎十三大的田一超、巴黎十一大的鄭維喆、胡永泉、申旭等。以這些青年科研人員為主，數學院組建了“算術代數幾何杰出研究組”，目前這個團隊是國際上同領域最強的青年研究組之一。近年來，團隊已取得了一批重要成果，多篇論文發表在數學國際頂尖期刊《PNAS》《Ann of Math》《Invent Math》《JAMS》等。