中小學(xué)數(shù)學(xué)中各類數(shù)的意義

安柯墁

（四川涼山州金陽中學(xué)）

中小學(xué)數(shù)學(xué)中各類數(shù)的意義

安柯墁

（四川涼山州金陽中學(xué)）

數(shù)是對一些事物、現(xiàn)象，或抽象概念的符號表達。中小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)了實數(shù)和復(fù)數(shù)。主要闡述實數(shù)中有理數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展和代表的意義，并簡單地介紹實數(shù)中的無理數(shù)及復(fù)數(shù)。

計數(shù)；抽象；對應(yīng)；自然數(shù)；分數(shù)

數(shù)是什么？瀏覽中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，對數(shù)的認識不斷深入，數(shù)代表的意義越來越抽象化，數(shù)域慢慢擴大。下面，按照中小學(xué)對數(shù)認識的順序來談?wù)勚行W(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了哪些數(shù)，這些數(shù)表示的意義是什么？為什么這樣表示？

一、自然數(shù)

自然數(shù)是對自然界中的實物進行抽象對應(yīng)的符號，而抽象對應(yīng)的方法又在不斷的改進中，所以要深層次理解數(shù)的意義，必須要了解數(shù)產(chǎn)生的歷史和計數(shù)原理。

遠古時代，為了記錄勞動成果，人們發(fā)明了石子計數(shù)、結(jié)繩計數(shù)、刻痕計數(shù)。以一群羊為例，一頭羊?qū)?yīng)一個石子，繩結(jié)或刻痕。一頭羊有眾多的屬性，羊角的形狀，羊毛的長短等，這樣計數(shù)，依據(jù)的是羊的什么屬性呢？（1）羊的獨立性，每一只羊是獨立的。（2）羊的整體性，以一整只羊為一個單位。（3）計數(shù)的群體具有相同的屬性。計數(shù)的方法是一對一的抽象對應(yīng)。

人類在不斷發(fā)展，需要記錄的數(shù)越來越大，于是增大了計數(shù)單位，以一個大的石子代表十只羊或者更多，盡管這樣，原始的計數(shù)方法還是有很多不足之處，人們就發(fā)明了一些文字符號，如阿拉伯?dāng)?shù)字并且沿用至今。

對比古代計數(shù)方法和阿拉伯?dāng)?shù)字，所依據(jù)的羊的屬性相同，其計數(shù)的對應(yīng)方法不同。古代計數(shù)方法是每一只羊?qū)?yīng)一個相同的計數(shù)符號，加大了計數(shù)單位后，對于大的數(shù)還是需要繁多的計數(shù)符號；阿拉伯?dāng)?shù)字中，一只羊?qū)?yīng)數(shù)字“1”，兩只羊?qū)?yīng)數(shù)字“2”，以此類推，阿拉伯?dāng)?shù)字用不同的簡化符號來對應(yīng)不同的羊。這樣就大大簡化了計數(shù)的文字符號，阿拉伯?dāng)?shù)字的位值法，增大了計數(shù)單位，能表示很大的數(shù)，又便于理解和記錄。

阿拉伯?dāng)?shù)字對應(yīng)的事物滿足獨立性、整體性（單個事物的整體性作為最基本的計數(shù)符號，多個事物又可以看做新的整體對應(yīng)一個計數(shù)符號）和相同屬性。例如，一片果林的蘋果，一個學(xué)校的學(xué)生，一個人體內(nèi)的某細胞……這些事物，我們都可以用一些抽象符號來與之對應(yīng)。

數(shù)的發(fā)展初期就是對這些自然界中實際存在的事物進行抽象對應(yīng)的符號，所以這些數(shù)被人們稱作自然數(shù)。

后來人們用“0”來對應(yīng)沒有任何事物的情況，并把它歸納為自然數(shù)。具體代表沒有什么事物，要依據(jù)所研究的對象了，“0”作為一種最特殊的狀況，在實際研究過程中，都會作為一個特例拿出來單獨討論。

二、分數(shù)

自然數(shù)和分數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在于，自然數(shù)與分數(shù)分別體現(xiàn)事物的整體與均分的思想。均分也要選擇一定的整體作為基礎(chǔ)，以一堆西瓜為例，首先它滿足自然數(shù)計數(shù)的三點：獨立性、整體性、相同屬性，因此，它可以計作“0，1，2，3，4…”，那么，被分成塊的西瓜用什么符號來表示呢？于是人們發(fā)明了分數(shù)。

把西瓜分成八份，取一份對應(yīng)符號“1/8”（此分數(shù)的計數(shù)單位），取兩份對應(yīng)符號“2/8”，以此類推，取八份對應(yīng)符號“8/8”，以自然數(shù)計數(shù)也可對應(yīng)“1”。

對于這類均分的事物，就可以用分數(shù)來對應(yīng)，分數(shù)就是這些事物對應(yīng)的抽象符號。這些事物同樣滿足獨立性、整體性、相同屬性。

小數(shù)作為一種特殊的分數(shù)，其計數(shù)單位為：“1/10，1/100，1/ 1000……”為什么有了分數(shù)，還要發(fā)明小數(shù)呢？在計算和解決一些實際數(shù)學(xué)問題過程中，分數(shù)有諸多不便的地方：（1）有些事物不能清楚地知道被均分成了多少份而取了幾份。（2）分數(shù)單位不統(tǒng)一帶來的不便。因此發(fā)明了小數(shù)，小數(shù)作為分數(shù)的近似，不必像分數(shù)這樣精確，而小數(shù)又統(tǒng)一了計數(shù)單位。小數(shù)沿用了整數(shù)的位值法，在任意一個整數(shù)中，任意選中一個數(shù)字，左邊一位數(shù)的計數(shù)單位是當(dāng)前這位數(shù)的10倍，所以個位的計數(shù)單位為“1”，第一位小數(shù)上的數(shù)字的計數(shù)單位為“1/10”，因此稱作“十分位”，以此類推。

三、負數(shù)

生活中會有這樣一些量，收入和支出，升高的量和降低的量，增加的量和減少的量……以收入和支出為例，收入5元，支出5元，但是這兩個5代表的意義不同，所以單單一個數(shù)字“5”是不能表達他們的不同的，要在前面加上一些描述性語言來區(qū)分，即收入和支出，這些語言也是一些抽象的符號，不過沒有數(shù)學(xué)符號簡潔。

于是人們用“+”和“-”來表示這種具有相反意義的關(guān)系，這樣數(shù)字前面加上正負號表示了更多的抽象意義。

引入負數(shù)以后，數(shù)字所抽象對應(yīng)的事物就從自然界的實物拓寬到一些事件，以及人類自定義的一些抽象概念。例如：海拔高度，海平面零米是人為規(guī)定的臨界點，高出和低于海平面高度的數(shù)字前面分別加上“+”于“-”，正號可省略。要用負數(shù)來抽象對應(yīng)事物，必須要注意：（1）臨界點是什么？即“0”表示什么。（2）相反意義的量是什么？（3）確定數(shù)值。

四、有理數(shù)

把自然數(shù)向負數(shù)擴充，正整數(shù)、零、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。整數(shù)、分數(shù)、正數(shù)、負數(shù)都可以顧名思義，而有理數(shù)卻讓我費解了，更有道理的數(shù)？

有理數(shù)是對“Rational number”的直譯。這詞源自古希臘，詞根為“ratio”，比率的意思。不難理解，有理數(shù)表示的是能化成比率的數(shù)。分數(shù)自然能看作一個比例，整數(shù)又能化成分數(shù)，因此，所有的有理數(shù)都能化成比例。有理數(shù)的意義在前面已經(jīng)說明，就不在此累述。

五、無理數(shù)

在研究一些開方數(shù)和圓周率時，人們發(fā)現(xiàn)一些不能表示成比例的數(shù)，對比有理數(shù)，就稱這些數(shù)為無理數(shù)。無理數(shù)可分為正無理數(shù)、負無理數(shù)，所有的無理數(shù)可化為無限不循環(huán)小數(shù)。無理數(shù)的意義可以類比有理數(shù)得到。

六、復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)是指能寫成如下形式的數(shù)a+bi，這里a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開根）。其代表的意義在中小學(xué)階段不作要求，就不作說明。

［1］塔巴克.數(shù)［M］.王獻芬，譯.商務(wù)印書館，2008-03.

［2］約翰·塔巴克.數(shù)學(xué)和自然法則：科學(xué)語言的發(fā)展史［M］.商務(wù)印務(wù)館，2007-01.

·編輯 溫雪蓮