數值模擬兩層有限大小地層中多電極電流場分布

曹婷

摘要：文章根據疊加法原理，采用COMSOL多物理場有限元數值計算軟件建立有限大小的兩層導電媒質模型，并對多電極同時存在時電流的分布進行了仿真計算，并將之與解析解進行了比較，驗證了用有限大小的模型來模擬無限大地層的合理性。

關鍵詞：疊加法原理；COMSOL軟件；多電極；數值計算

在兩層無限大導電媒質中，當電流源位于兩種導電媒質分界面附近時，會在兩層媒質中分別感應出電流，進而對地層電阻率的計算產生影響。本文通過疊加法原理在兩層有限大小的模型中模擬了多個電極同時存在時電流的分布情況，驗證了有限模型的準確性與合理性。

1 兩層導電媒質模型

圖1為兩層有限大小的導電媒質模型，上表面中心處放置發射電極T，上下兩層媒質左側表面中心處分別放置回路電極A，B，電極材料均為銅，上下兩層導電媒質的電導率分別為σ₁，σ₂。本文利用用有限元軟件求解在有限大小的導電媒質中回路電極A，B處的電流，驗證了在有限元軟件中用有限大小的模型來數值模擬無限大模型的可行性與準確性，為進一步的研究奠定了基礎。

2 疊加法原理

在本文所述的模型中，發射電極T發出的電流，是給定的常數，回路電極A，B處電流I_A，I_B是待定的，會隨地層電阻率分布的變化而變化，因此在用數值解求解時，要使其與解析解所滿足的條件一致，應采用疊加法原理來建立模型，分析數據。下面給出疊加法的求解過程。

所謂疊加法是指，對于具有唯一解的線性電路，多個激勵源共同作用時引起的響應等于各個激勵源單獨作用時所引起的響應之和。在本文所述模型中，發射電極T發出的電流，全部由回路電極A，B所吸收，且在不同地層電阻率分布情況下的解唯一。對此我們可設回路電極A，B為可以發射出與發射電極T極性相反的電流I_A，I_B的電流源，且滿足I_A+I_B+I=Q。

設由發射電極和兩個回路電極發射電流所形成的電場稱為總場，相應的電位記為U，由發射電極和兩個回路電極分別發射電流所形成的電場稱為分場，當發射電極T單獨作用時，I=0，I_A=1，I_B=0；當回路電極A單獨作用時，I=0，I_A=1，I_B=0；當回路電極B單獨作用時，I=0，I_A=0，I_B=1。相應的電位分別記為U_T，U_A，U_B，則總場在任意點處的電位可以視為各分場在同一點處電位的線性組合，即

U=c₀U_T+c₁U_A+c₂U_B （1）

其中：I=c₀，I_A=c₁，I_B=c₂。則有U=IU_T+I_AU_A+I_BU_B。

這樣，P、Q處的電位分別為：

3 網格剖分及計算

為驗證上述結果的正確性，本文采用COMSOL多物理場有限元數值計算軟件建立有限大小的兩層導電媒質模型，并進行仿真計算。對于本模型的特殊性，在網格剖分部分將采用長方體網格為基本網格單元的剖分方式，剖分結果如圖2所示，在電極處和邊界處的電流密度遠大于其他部分，場變化劇烈，因此電極部分需要網格較密，然后到其他部分剖分逐漸稀疏，以減少不必要的網格并提高計算速度。

采用上述原理中分場疊加的方法，先分3次對電極T，A，B分別加電流源，選擇適合恒定電流場的求解器求解，然后提取數據，并根據分場疊加后所得的I_A，I_B公式求出兩回路電極處的電流，繪制出回路電極A，B處的電流大小I_A，I_B隨上層與下層地層的電導率對比度的變化圖，如圖3所示。

圖2中的結果與文獻中兩層無限大導電媒質中多電極電流場分布的解析解結果一致，說明了在兩層導電煤質中若存在多個電極時可采用疊加法原理來分析電流分布，同時驗證了有限模型來模擬無限大導電媒質中電流場的分布的準確性。