基于雙正交Fourier變換的多進制Chirp—rate調制的解調算法

王本慶　曾昭林

摘要：針對多進制Chirp-rate調制的通信系統解調算法由于基函數的正交性差導致實現復雜且性能不佳的特點，提出采用基于雙正交Fourier變換的解調算法多進制的Chirp-rate調制行正交解調，解決了不同調頻率的Chirp信號相互正交的問題，解調后可以得到信號調頻率密度譜。BFT算法特點是信號在雙正交基下展開，對多LFM信號分析不需要搜索，沒有交叉項，特別適合對不同調頻斜率組成的多LFM信號進行調頻斜率分析。仿真表明其基于雙正交Fourier變換的多進制Chirp-rate鍵控調制的解調算法具有接近MFSK誤碼率的性能。

關鍵詞：調頻率鍵控；雙正交傅里葉變換；解調性能；誤碼率

0引言

Chirp信號即線性調頻（linear frequency moderate，LFM）信號，其瞬時頻率隨著時間線性變化，具有抗截獲破譯能力、抗快速移動造成的衰落和多徑分辨能力強等優點，已廣泛應用于無線通信、雷達和聲納等眾多領域。Chirp擴頻調制是IEEE802.15.4a定義的兩種物理層標準之一，目前應用較多的調制方式是二進制正交鍵控（Binary Orthogonal Keying，BOK）。BOK調制方式單一，數據率低，且不能實現多址。在1962年Winkler提出用Chirp信號進行抗干擾擴頻通信時，即提出采用不同的調頻率來攜帶信息，即高階的多進制Chirp-rate調制（MCrSK），可以大大提高信息率。目前MCrSK的解調算法主要是分數階Fourier變換（FrFT），獲得良好的性能。但是FrFT解調算法在某一調頻率信號達到最佳匹配濾波時，其他調頻率的信號會成為頻帶內的噪聲，而沒有完全濾除，即FrFT解調算法對于不同調頻率的chirp信號不具有正交性。本文將雙正交Fourier變換（Biorthogonal Fourier Transform，BFT）引入多MCrSK系統，提出基于BFT的MCrSK解調算法，解決了多進制調制的正交性問題，實現了不同的調頻率攜帶不同的信息的數字化通信。

1BOK調制和BFT變換

其歸一化的自相關和互相關函數如圖1所示。

理想的BOK調制信號的自相關函數應該為sine函數，而互相關函數應該為零。但是如圖1所示，因為up-Chirp信號和down-Chirp信號不是完全的正交，匹配輸出出現多峰現象，其自相關函數近似sinc函數，而互相關函數則是有一定幅值的震蕩波形，這些性質為解調帶來了不良影響，限制了BOK調制的性能提高。

BFT解決了不同調頻率Chirp信號間的正交問題，可以通過不同的調頻率的信號同時傳遞信息而不會相互混淆。BFT把信號采用雙正交Chirp基函數展開，得到信號的調頻率密度譜，它是一種類似于頻譜的密度分布。通過BFT，就像單頻信號的頻譜是沖激函數一樣，單調頻率Chirp信號在斜率譜就會表現為相應的沖激函數，而且不同調頻率的Chirp信號彼此正交。BFT定義為：

式中為時域信號，為調頻率密度譜。BFT可以把Chirp信號壓縮成沖激函數，其在調頻率譜的相應位置出現單一的峰值，而多Chirp函數則是單個Chirp函數的組合，不存在交叉項，也不用搜索，因此適合多調頻率的Chirp組合信號分析。

實際中得到的都是信號的離散值，因此有離散BFT，通常記作：

式中k和1分別為時間和調頻率的離散量，fs為采樣頻率，N為總的采樣點數。

圖2分析包含3分量的Chirp信號的BFT的性能，同時給出了其時頻Wigner-Ville分布（WVD）如圖2（a），以及其Radon Wigner變換（RWT）如圖2（b）、分數階Fourier變換（FRFT）如圖2（c）和BFT如圖3（d）。首先WVD屬于Cohen類分布，其嚴重不足是存在交叉項，會產生虛假信號，在Chirp信號分量較多時，其WVD非?；靵y。其次Radon變換需要對角度進行搜索，即不同調頻率對應不同角度，這樣某一個角度下，只有一個信號分量能夠得到最佳的估計，其它信號則不能有效估計。FRFT雖然沒有交叉項，但是同樣需要搜索，一般是先檢測最強分量的信號，然后對其進行遮蔽處理，再進行第二強分量信號的估計，一直重復這個過程，最后得到所有信號的信息，無疑這個過程是復雜且對噪聲敏感的。當Chirp信號調頻率變大時，FRFT變得不敏感，估計精度下降。而BFT通過變換直接精確給出三個分量的調頻率和其幅值，不用搜索，也沒有交叉項，簡單方便。

2MCrSK調制

MCrSK調制把不同信息調制在Chirp信號的調頻率上，解調時可以實現兩個信號的完全分離。MCrSK可表示為：

式中ω為載頻，T為碼元長度，g為碼元窗函數，θ為相位，其中由r攜帶所傳遞的信息。調制時把要傳輸的數字信號先經過串并轉換得到一組多進制的數值，然后由這組值得到相應斜率的鋸齒波電壓函數，再由鋸齒波控制壓控振蕩器，就得到MCrSK信號，最后調制到載波上。信號的時頻圖如圖3所示。

上式表明了MCrSK的容量，即在滿足最小分辨率和最大采樣頻率的基礎上，MCrSK的最大容量為每碼元采樣點數的1/4。

3性能仿真

在BFT解調算法的框架下，MCrSK各個調制分量實現了正交分解，因此基于BFT的MCrSK的解調屬于正交信號相干檢測，圖4給出二進制的MCrSK信號的誤比特率與信噪比的關系曲線。圖4在相同情況下，二進制的MCrSK的性能和BFSK相近。

4結語

由MCrSK的調制方式可以看出，MCrSK可以與MFSK、MPSK和MASK三種調制一樣，作為基本的調制解調體制。MCrSK可以充分發揮Chirp信號的一些特點，具有頻帶較寬、傳輸容量大、恒包絡和旁瓣衰減迅速等特點，可廣泛用于抗干擾和擴頻通信等方面。由于對MCrSK和BFT的研究較少，對于適用于工程應用的MCrSK調制解調特性，還要進一步研究。