單調可測集合列外測度極限的性質及其應用

唐建國

（惠州學院數學與大數據學院，廣東惠州 516007）

單調可測集合列外測度極限的性質及其應用

唐建國

（惠州學院數學與大數據學院，廣東惠州 516007）

本文將外測度的有限可加性推廣為外測度的可數可加性，緊接著利用它推導出遞增可測集合列外測度極限的一個重要性質，對于遞減可測集合列外測度的極限也有類似的性質.從這些性質出發，我們容易證明遞增、遞減、收斂及一般可測集合列測度極限的一系列重要結果，此時一列可測集合的并與交可測是其簡單推論.

外測度；測度；可數可加性；可測集列；極限

1 引言

一般實變函數教材上先給出外測度的定義，再推導外測度的性質：非負性、單調性及次可數可加性，然后利用外測度給出可測集的定義如下[1-6]：

定義設E是Rq中的點集，如果對于任一點集T?Rq，都有

則稱E是L可測的，其測度記為mE，且mE=m*E.

在可測集的定義中出現了兩個集合E和T，為不致引起混淆，我們將定義中給定點集E稱為被檢驗集，而任意點集T稱為檢驗集.該定義是說對于任意檢驗集T，都被給定點集E分成兩塊T?E和T?Ec，而T的外測度要等于這兩塊的外測度之和.定義的條件看似十分簡單，但因檢驗集T的個數無窮無盡，且是不可數無窮多個，因此需要驗證不可數個等式.從可測集的定義及外測度的次可數可加性，容易看出當m*T=+∞時，定義中的等式顯然是成立的，因此只需對m*T＜+∞的集T驗證定義中的等式即可.根據［1］第3.2節的引理，檢驗集T可用Rq中的開區間來代……