時間序列非參數回歸模型的方差變點檢驗

孫耀東,徐　寶，趙志文

(吉林師范大學數學學院,中國 四平　136000)

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時間序列非參數回歸模型的方差變點檢驗

孫耀東*,徐寶，趙志文

(吉林師范大學數學學院,中國 四平136000)

摘要研究時間序列非參數回歸模型的方差變點檢驗.通過估計模型中的回歸函數得到殘差序列，利用殘差序列構造Ratio檢驗統計量，并討論檢驗統計量的極限性質,通過數值模擬驗證檢驗方法的有效性.

關鍵詞Ratio檢驗;非參數回歸模型;方差變點

Test for Change Point Detection in Nonparametric Regression Model for Time Series

SUNYao-dong*,XUBao,ZHAOZhi-wen

(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping 136000, China)

AbstractThe detection problem of change point in nonparametric regression model for time series is studied. Residual sequence is obtained when the regression function is estimated and the ratio test statistics is established based on the residual sequence. Asymptotic properties of the test statistics are derived. The performance of the method is illustrated by simulation studies.

Key wordsRatio test; nonparametric regression model; variance change point

考慮如下非參數回歸模型

yi=f(ui)+xi，i=1,2,…,n,

(1)

其中yi是實際觀測的數據，f(·)是回歸函數，ui=i/n是固定設計點，xi滿足如下AR(p)模型

(2)

對模型(2)性質的討論依賴數據{xi}，然而在很多實際問題中{xi}常常觀測不到，真正的觀測數據為{yi}，目前很多學者應用非參數方法對yi中包含的未知趨勢項f(·)進行估計[1-4]，再通過剔除趨勢項得到xi的估計值進而討論模型(2)的性質.本文研究模型(1)中{xi}的方差變點檢驗問題，如下:

H1：H0不成立.

由于在經濟領域中方差常常被用來度量風險，方差變點問題變得越來越重要.Inclan 和Tiao(1994)[5]應用CUSUM檢驗方法檢驗了獨立觀測樣本的多變點問題，Gombay(1996)[6]等人研究了獨立同分布樣本的方差變點檢驗和估計問題，趙文芝、夏志明和賀興時(2012)[7]研究了隨機設計下非參數回歸模型的方差變點Ratio檢驗.上述文獻都是在獨立樣本的情形下進行討論的.對于樣本非獨立情形，Kim、Cho和Lee(2000)[8]應用CUSUM檢驗方法研究了GARCH(1,1)模型的參數變點問題，Lee和Park(2001)[9]研究了平穩過程的方差變點檢驗，Lee和Na(2003)[10]應用CUSUM檢驗方法研究了強混合誤差下的非參數回歸模型方差變點問題.本文運用Lajos等[11]提出的Ratio檢驗方法討論模型(1)的方差變點檢驗問題，與文獻[10]的CUSUM檢驗方法相比，Ratio檢驗方法不需要估計模型尺度參數，計算更簡便.

1主要結果

對趨勢函數f(·)，取估計量為

(3)

(4)

其中0<δ<1/2,并記W(t),0≤t<∞是維納過程，定義如下隨機過程:

為得到Tn的極限性質，需要以下假設:

(C3)f(·)是Lipschitz連續的，即存在K1>0，對0≤x,y≤1，使得

|f(x)-f(y)|

首先考慮J1，

(5)

接下來考慮J2，

定理2設條件(C1)~(C5)成立，在H0為真時，

從而對0<δ<1/2，由定理1有

故由連續映射原理定理得證.

2數值模擬

考慮模型

yi=f(ui)+xi，

xi=φxi-1+ei，ui=i/n，i=1，2，…，n，

H0:σ2=1，對所有的i=1，2，…，n,

H1：σ2在t0=[nτ0]之前為1，之后為α2,

其中α2取值為2,4,9,τ0取值0.5，φ取值0，0.3,0.5,0.8，樣本容量n=200,300,500.實驗重復500次，在0.05的顯著性水平下計算拒絕H0的頻率.

表1　檢驗統計量Tn的經驗勢函數值

模擬結果可以看出，本文的Ratio檢驗是一致的，樣本容量n越大，檢驗效果越好，并且當n足夠大時，檢驗的勢函數值趨近于1. 變點后的方差α2越大，檢驗效果越好.另外，檢驗效果與自回歸系數φ有關，隨著φ增大接近1，模型(2)趨近非平穩，檢驗效果相對較差.

3總結

在實際問題中模型中某個或某些量有時會突然發生變化，這種突然變化之點就是變點，這種突然變化往往反映了事物的某種質的變化，它在經濟領域很常見且十分重要，常用的變點檢驗方法是CUSUM檢驗，由于CUSUM檢驗需要對模型尺度參數進行估計，而當數據不獨立時，該估計很難獲得.本文應用不需要估計尺度參數的Ratio檢驗方法研究模型(1)的方差變點檢驗問題，討論了Ratio檢驗統計量的極限性質，通過數值模擬驗證檢驗方法的有效性.

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(編輯HWJ)

中圖分類號O212.1

文獻標識碼A

文章編號1000-2537(2016)01-0076-04

*通訊作者,E-mail：jerrysun1982@sina.com

基金項目：吉林省教育廳“十一五”科學技術研究資助項目(2010350)，吉林省科技發展計劃項目青年基金資助項目(批準號:201201082)

收稿日期：2014-06-27

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2016.01.013