Laplace方程Cauchy問題的正則化間接邊界元法

魏昕婧， 潘月君， 張耀明

(山東理工大學 理學院, 山東 淄博 255049)

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Laplace方程Cauchy問題的正則化間接邊界元法

魏昕婧， 潘月君， 張耀明

(山東理工大學 理學院, 山東 淄博 255049)

摘要：應用間接變量規則化邊界元法，對邊界條件識別Cauchy反問題進行了研究. 采用TSVD和Tikhonov兩種正則化方法求解配點過程中出現的線性病態方程組，通過GCV法確定正則化參數. 數值算例表明，該算法穩定性好，數值解與精確解相當地吻合.

關鍵詞：間接邊界元法； Cauchy反問題； 正則化方法； GCV法

位勢邊界條件識別反問題是指通過研究對象表面或內部的位勢相關信息，反演物體邊界條件的一類問題，它涉及物理學、數學、實驗技術等多個學科領域，在無損探傷、航空航天、生物醫學、冶金鑄造、核能工程等領域中有著廣泛的應用.有限差分法(FDM)和有限元法(FEM)已被應用于反問題的研究中，然而，它們均需在物體內部劃分網格，過程繁復，耗費機時，而且求解精度較差. 邊界元法(BEM)由于只需在物體邊界劃分單元，大大減少了工作難度，提高了計算效率，使其在反問題的研究中更加有效. 已有的反問題的研究主要集中在直接變量邊界元法，文獻[1-2]分別將直接變量邊界元法應用于二維位勢問題、二維薄體位勢問題邊界識別反問題的求解. 本文基于文獻[3]提出的間接變量無奇異邊界積分方程，開展位勢邊界條件識別反問題的研究.

反問題求解過程中，相應的線性系統通常是嚴重病態的，直接使用傳統的Gauss消去法一般很難獲得其有效解，因此，采用適當的正則化方法求解是必要的. 最常用的正則化方法有TSVD法、Tikhonov法及PCG法(預處理共軛梯度法)[4]. 確定正則化參數的常用方法有：L曲線法、GCV法(廣義交叉校驗準則)及波動曲線法等. 本文采用TSVD和Tikhonov兩種正則化方法來求解病態線性系統，正則化參數的選取通過GCV法來完成.

1反問題及規則化邊界積分方程

1.1二維位勢邊界條件識別反問題

本文考慮子邊界Γ1上位勢和通量已知，邊界Γ2上的位勢和通量均未知的邊界條件識別反問題，如圖1所示.

圖1　Cauchy型邊界條件識別反問題

1.2規則化邊界積分方程

二維位勢問題的等價的規則化間接變量邊界積分方程[3]為

∫Γφ(y)dΓx=0

u(y)=∫Γφ(x)u*(x,y)dΓx+C,y∈Γ

2正則化方法

2.1截斷奇異值分解法(TSVD)

對于線性方程組

Ax=b

(1)

其中，A∈Rm×n，x∈Rn，b∈Rm，且m≥n.對矩陣A進行奇異值分解，則有

且

UUT=Im∈Rm×m

VVT=In∈Rn×n

m≥n,σ1≥…≥σp>0,σp+1=…=σn=0.

方程(1)的解可用Moore-Penrose廣義逆A+來表示，即

x的歐幾里得范數可寫為

式中：rε為滿足1

k≤p即為正則化參數，其對應的截斷奇異值解為

2.2Tikhonov正則化方法(TR)

Tikhonov正則化方法[5]構造了一種依賴于參數α>0的泛函

Jα(x):=‖Ax-b‖2+α2‖x‖2

(2)

并通過求解該泛函的極小值得到式(2)的一個較好的近似解.顯然，對于任意α>0，Jα是嚴格凸的，因此，有唯一的xα滿足

此時，xα即為Jα的正則解.而xα又是方程

(ATA+α2In)xα=ATb

的解，且ATA+α2In對稱正定，所以該方程的解唯一，可表示為

2.3廣義交叉檢驗準則(GCV)

廣義交叉檢驗準則是由GolubGH提出的.其基本思想是：假定將任意一個觀測值bi從原觀測值序列b中刪除，則此時由剩余觀測值求得的正則化解應能夠較好地預測b中被去掉的這一觀測值bi.廣義交叉檢驗法可以等效為求解最小GCV函數問題

3數值算例

考慮圓環區域上的穩態溫度場的Cauchy反問題. 圓環內、外邊界分別是

和

圖2　圓環區域熱傳導

計算時，內、外邊界分別被劃分成20個和40個線性單元.分別用TSVD和Tikhonov正則化方法對問題進行求解，并用GCV法選取正則化參數. 如圖3和圖4所示，兩種方法分別在k=93和α=1.0×10-3處達到GCV最小值，因此選取上述參數作為該問題的正則化參數. 圖5描述了兩種正則化方法下求得的邊界位勢和通量的數值解以及與解析解的比較，結果表明，數值解與解析相當地吻合.

圖3　GCV法選取TSVD正則化參數

圖4　GCV法選取Tikhonov正則化參數

分別將邊界劃分成60、120、180、240、300個線性單元，表1列出了在不同單元數下TSVD和Tikhonov正則化方法的最佳正則化參數選取，圖6(a)和6(b)分別描述了邊界溫度和熱流的平均相對誤差的變化. 可以看出，隨著單元數的增加，邊界溫度和熱流的平均相對誤差迅速地變小，表明該方法具有良好的收斂性.

圖5　未知邊界溫度和熱流數值解與解析解對比圖

表1不同單元下正則化參數的選取

單元數TSVD參數kTR參數α60931.00×10-31201711.00×10-31802491.00×10-42403271.00×10-43004121.00×10-4

圖6　不同單元下未知邊界溫度和熱流平均相對誤差

4結束語

二維位勢問題邊界條件反識別問題具有不適定性，常規邊界元法直接求解此問題時通常失效，因為求解中涉及的線性系統是高度病態的.本文運用間接規則化邊界元方法，結合TSVD和Tikhonov兩種正則化措施，同時通過GCV曲線法確定TSVD法的最佳截斷項和Tikhonov法的最優參數，有效地解決了這個問題.數值算驗證了方法的有效性.

參考文獻：

[1]卞步喜, 周煥林, 程長征, 等. 二維位勢邊界條件反識別TSVD正則化法[J]. 合肥工業大學學報(自然科學版), 2014, 37(9):1 097-1 011.

[2]周煥林, 王劍, 牛忠榮. 薄體各向異性位勢邊界條件識別反問題正則化邊界元方法[J]. 固體力學學報,2008, 29(12): 45-48.

[3]ZhangYM,LyuHX,WangLM.Novelregularizedboundaryintegralequationsforpotentialplaneproblems[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2006, 27(9):1 165-1 170.

[4]周煥林, 江偉, 胡豪，等. 二維彈性力學邊界條件反識別PCG正則化法[J]. 固體力學學報, 2013, 33(10): 288-293.

[5]TikhonovAN,ArseninVY.SolutionsofILL-posedproblem[M].NewYork:JohnWileyandSons,1977.

(編輯：郝秀清)

Regularized BEM with indirect unknowns for the Cauchy problem of Laplace′s equation

WEI Xin-jing, PAN Yue-jun, ZHANG Yao-ming

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:The potential inverse identification boundary conditions problem is investigated by using the indirect boundary element method (IBEM) in this paper. Both the truncated singular value decomposition(TSVD) and the Tikhonov regularization method are applied to solving the ill-conditioned linear system involved in the process of implementation, and the optimal truncation number for the TSVD and the optimal parameter for the Tikhonov are chosen according to the generalized cross validation(GCV) method. A numerical example is given to verify the effectiveness of the proposed scheme, with numerical results being good agreement with the exact solutions.

Key words:indirect boundary element method; Cauchy inverse problems; regularization methods; generalized cross validation

中圖分類號：O342

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)03-0057-04

作者簡介：魏昕婧，女，mogu555@sina.com； 通信作者： 張耀明，男，zymfc@163.com

收稿日期：2015-03-18