一種基于泰勒級數多元變量展開模型定位算法

劉承鵬， 夏　斌， 謝　楠， 彭榮群

(山東理工大學 計算機科學與技術學院， 山東 淄博 255049)

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一種基于泰勒級數多元變量展開模型定位算法

劉承鵬， 夏斌， 謝楠， 彭榮群

(山東理工大學 計算機科學與技術學院， 山東 淄博 255049)

摘要：為了提高無線傳感器網絡節點定位精度，構建了增加未知節點與未知節點間的距離信息的泰勒級數多元變量展開定位模型.在對該算法的求解過程中，首先利用最大似然估計法得到未知節點的初始位置，再運用加權最小二乘法計算其最優值作為未知節點的估計位置.仿真測試了不同距離測量誤差和已知節點數目對定位誤差的影響，以及算法的累計分布函數.結果表明，該算法能夠有效提高節點定位精度.

關鍵詞：泰勒級數多元變量展開； 定位模型； 最大似然估計； 無線傳感器網絡

在無線傳感器網絡諸多節點定位算法中，泰勒級數展開法[1-3]以其收斂速度快、頑健性強、求解精度高等優點，成為一種常用的節點定位方法.文獻[4]提出了一種基于最小二乘法和泰勒級數展開的協同定位算法，該算法將最小二乘法獲得定位結果作為泰勒級數展開法的初始值，然后進行泰勒級數展開，從而獲得二者協同的定位結果.文獻[5]提出一種基于Taylor和Kalman的室內協同定位方法.先利用Chan與Taylor二者協同的方法對位置信息進行估算，取符合條件的測量數據，再用Kalman法計算定位結果，將二者的結果進行比較，對符合條件的定位結果進行處理，最終完成定位.但是，這些定位算法都是采用傳統的泰勒級數展開定位模型結合其它不同的算法進行定位.傳統泰勒級數展開法僅考慮了位置已知節點與未知節點之間的距離，位置信息不充分，無法完成更精確的節點定位.

鑒于此，本文增加未知節點與未知節點之間的距離信息，構建了新的泰勒級數展開模型，即泰勒級數多元變量展開定位模型.基于此模型，提出一種新的節點定位算法.該算法首先利用最大似然估計法[6-9]得到位置未知節點的初始值，再根據泰勒級數多元變量展開定位模型進行迭代.為了衡量算法的性能，通過仿真驗證了該算法的有效性.

1泰勒級數多元變量展開定位模型

在二維空間中，隨機均勻布放N+M個傳感器節點.其中，N為未知節點的數目，M為已知節點的數目.無線傳感器網絡通過TOA技術[10-11]獲得測量值，然后計算得出所有節點間的距離測量值：

(1)

(2)

將(2)式移項整理，得到如下形式：

(3)

式(3)可以簡記為新定位模型：

S=TΔ+E

(4)

2新定位算法

2.1算法描述

新算法的求解過程為，先用最大似然估計法得出未知節點位置的初始值后，再采用加權最小二乘法[12-15]計算其位置的估計值.詳細步驟如下：

(5)

將方程組(5)的前M-1項減去第M項，得到如下方程組：

(6)

將(6)式移項整理，后得到如下形式：

AX=b

(7)

利用標準最小二乘法，可得X點的估計坐標:

(8)

(2)根據求解出的所有未知節點位置的初始值， 由公式(4)得到泰勒級數多元變量展開定位模型S=TΔ+E.

(3)利用加權最小二乘法求解位置偏差：

(TTW-1TT)-1TTW-1S

(9)

(10)

2.2算法復雜度分析

新算法的泰勒級數多元變量展開定位模型中增加了未知節點與未知節點之間的距離，提高了計算量.表1給出了三種算法的時間復雜度.

表1三種算法復雜度對比

算法時間復雜度最大似然O(N2Mh)最大似然+傳統泰勒O(N2Mh)+O(NM)新算法O(N2Mh)+O(N4)

表1中，N為未知節點數目，M為已知節點數，h為迭代次數.從表1中可以看出，新算法復雜度是三者中最高的.新算法時間復雜度雖有所增加，卻獲得了更高的定位精度.

3仿真結果與分析

為了驗證基于泰勒級數多元變量展開定位算法的有效性，利用工具Matlab對新算法進行仿真，并與最大似然估計法、最大似然估計結合傳統泰勒級數展開算法進行對比分析.仿真參數為100m×100m 的平面區域，隨機均勻布放20個未知節點.獨立仿真1 000次.假設距離測量誤差服從高斯分布N(0,σ2).為評價定位算法性能，用定位結果的均方根誤差計算定位誤差，表示為

(11)

3.1距離測量誤差對定位誤差的影響

在距離測量過程中勢必會產生誤差，因此，測量誤差對定位誤差的影響是衡量定位算法性能的重要指標.圖1給出的是三種定位算法的定位誤差隨著測量誤差方差變化曲線圖.仿真條件為已知節點數目M=5，且隨機均勻布放于平面仿真區域.從圖1中可以看出，其定位誤差均隨測量誤差的升高而升高.但是新算法的定位誤差明顯小于其它兩種算法，這是因為在新算法中采用的是泰勒級數多元變量展開，增加了未知節點與未知節點之間的距離信息，而傳統泰勒級數展開并未考慮這一點.由此，新算法降低了定位誤差，提高了定位精度.另外隨測量誤差的變化，新算法曲線斜率(大于零)更小，這說明新算法在距離測量誤差變化跨度較大時，定位誤差變化不大，較其它兩種算法能更好地降低測量誤差對定位誤差的影響.

圖1　定位誤差隨距離測量誤差的變化圖

3.2位置已知節點的數目對定位誤差的影響

圖2是當距離測量誤差的方差σ2=1.5時，已知節點數目對三種算法定位誤差的影響曲線.橫軸表示已知節點數目，縱軸表示定位誤差.從圖2中可以看出，未知節點數目不變的情況下，三種算法的定位誤差均隨已知節點數目增加而減小.新算法的斜率(小于零)較大，說明新算法較其它兩種算法的定位誤差受已知節點數目影響較小.新算法在達到相同定位精度時可以降低已知節點的使用數目，從而節約成本.

圖2　定位誤差隨已知節點數目的變化圖

3.3定位誤差的累積分布函數

圖3給出了距離測量方差σ2=1.5時，三種算法定位誤差累積分布函數曲線圖.橫坐標表示定位誤差，縱坐標表示定位誤差小于橫坐標值的概率.從圖3可以看出，在90%的累積分布點，最大似然估計法、最大似然估計結合傳統泰勒級數展開算法、新算法的定位誤差在1.83m、1.23m、0.81m以內.實驗數據顯示，在距離測量誤差相同的條件下，新算法的定位精度明顯優于其它兩種算法.

圖3　定位誤差的累積分布函數圖

4結束語

文中建立了新的泰勒級數多元變量展開的定位模型.并在該模型基礎上，提出了一種新的定位算法，將最大似然估計法與泰勒級數多元變量展開法相結合，充分發揮二者所長，使算法的整體定位性能更優.仿真結果表明，新算法能夠較好地降低距離測量誤差對定位精度的影響.但該算法是基于距離測量信息已知的條件下進行的，而部分距離測量信息未知的情況有待繼續研究.

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(編輯：劉寶江)

A localization algorithm based on Taylor series multivariable expansion model

LIU Cheng-peng, XIA Bin, XIE Nan, PENG Rong-qun

(School of Computer Science and Technology, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:In order to improve positioning accuracy in wireless sensor networks, a new Taylor series multivariable expansion localization model is established by the method of adding the distances information between unknown nodes. In process of the algorithm solution, firstly the maximum likelihood estimation is utilized to obtain initial values of unknown nodes. Then, its optimal values are calculated as the estimated location of unknown nodes by the weighted least squares method. To evaluate the performance of this algorithm, simulations test the impact of different distance measurement error and the number of known nodes on positioning error, and the cumulative distribution function of algorithm. Simulation results show that the proposed algorithm has achieved better performance on positioning accuracy and efficiency.

Key words:Taylor series multivariable expansion; localization model; maximum likelihood estimation; wireless sensor networks

中圖分類號：TP393

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)03-0061-05

作者簡介：劉承鵬，男， liuchengpeng123456@163.com； 通信作者： 夏斌，男， xiabin@sdut.edu.cn.

基金項目：山東省高校科技計劃項目(J11LG24)

收稿日期：2015-05-10