船舶的冰運動方程研究

余超(安徽省皖江船舶檢驗局,安徽蕪湖241000)

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船舶的冰運動方程研究

余超
(安徽省皖江船舶檢驗局,安徽蕪湖241000)

摘要：由于破冰船航行區域及工作任務的特殊性，對于海冰與船體的相互作用越來越受到重視。了解冰的作用機理，對冰船間運動的數值模擬極其重要。本文對三維的冰運動方程進行了分析，并運用水彈性理論，對冰的平移、轉動和變形方程的耦合作用進行了分析。

關鍵詞：冰運動;水彈性理論;合

目前在經濟快速發展、能源緊缺的情況下，海洋和極地新能源的開發備受關注，破冰船將為此承擔不可替代的作用。破冰船在冰區作業過程中，海冰對其的作用力是破冰船設計中的主要載荷。為了對冰船間的作用進行數值模擬，必須對冰運動過程有準確的表示，這就涉及到冰運動方程的求解問題。

冰的運動可分為三部分，即平動、轉動和變形，其方程如下所示?？梢?，其包含了剛性和彈性運動，本文運用水彈性理論對其進行分析，并對三者間的耦合作用進行了說明。

1冰運動方程

1.1平動方程

運用牛頓第二定律，即可得到方程1-1，其中M為單元冰的質量矩陣，U為單元冰的速度矩陣，Fi為冰塊間的接觸力矩陣。

1. 2、轉動方程

根據動量矩定理：

Q為繞質心的動量矩：

其中，r為某點至質心的矢徑：

則有：

而慣性矩表達式為：

可以得到：

從而可推導出冰運動的轉動方程式1-2。

3、彈性變形方程

彈性變形方程1-3即為彈性變形的本構方程，其中Me為冰塊的有效質量矩陣，ε、σ分別為冰塊的應變、應力。

2水彈性理論

水彈性力學是研究慣性力、水動力及彈性力之間的相互作用現象的學科。它將流體對結構的作用和結構的響應統一起來進行研究，與傳統理論相比，水彈性力學理論更準確地考慮了流體與船體結構之間的相互耦合影響,因而具有更加廣泛的工程應用價值和發展前途。在水彈性理論中把干模態作為廣義基函數，考慮包含流固耦合作用力在內的浮體所受的各種作用力，在浮體運動方程的基礎上建立和求解主坐標運動方程。

在水彈性統一理論中，無論是計算廣義質量、剛度、阻尼矩陣，還是計算廣義波激力都需要結構的振動干模態。該方法是先把結構與流體分開，求出結構在真空中的固有頻率和固有模態；根據實際需要進行模態截斷，使自由度數大大減少；在做干模態坐標轉換后再考慮流體的影響。因此，在進行模態疊加法分析時，把剛體的運動稱為0階模態，而將彈性體振動的固有模態稱為r階模態（r=1,2,….），并按照干模態法的理論來計算其附加質量。

2.1基本方程

對結構劃分有限單元，則有

則單元應變能和動能分別為：

由哈密爾頓原理，即在任意時間間隔內動能與內部勢能之差加上保守力和非保守力外力做功之和為零，可得：

Ce為單元阻尼力向量矩陣；Fe為集中力；Pe為分布面力；Qe為體積力；Re為內部平衡內力。

將（1-3）式化簡可得：

將各單元的運動方程依次列出，并且把各個矩陣和列陣的大小均擴大為n×n和n×1，擴展處均添加零元素，然后將各式等號兩端相加，Re為系統平衡內力，相加后抵消，可得到彈性浮體的系統運動方程為：

其中M、C、K分別為系統的總質量向量矩陣、總阻尼向量矩陣和總剛度向量矩陣；U為系統總節點位移向量列陣；P、F、Q分別為結構所承受的分布外力、集中力和體積力的等效節點力向量列陣。

2、系統響應的求解

以系統無阻尼的振型模態（干模態）為空間基底，通過坐標轉換，使原動力方程解耦，求解n個相互獨立的方程獲得模態位移，進而通過疊加各階模態的貢獻求得系統的響應。

令物理位移向量：

pr( t )—廣義位移向量，也稱模態位移向量，即

D—振型向量（也稱主模態）矩陣

可將結構運動方程轉到模態空間中進行求解，將式（3-5）兩邊左乘DT可得到：

左側的系數矩陣分別為結構廣義質量矩陣、廣義阻尼矩陣、廣義剛度矩陣：

可以證明對于整體位移被剛性約束的彈性結構，各個主振型間具有正交性，因而廣義質量矩陣[a],廣義阻尼矩陣[b]和廣義剛度矩陣[c]均為對角陣，從而解除了聯立耦合關系。

至此，以節點位移U為待定變量的運動方程轉化為以模態位移向量P為待定變量的運動方程，使數值計算得到了簡化。當作用于結構上的廣義力與廣義位移向量之間的關系確定后，通過求解該運動方程，即可獲得系統各模態的位移向量，進而可通過幾何和物理關系求解其他變量值。

運動方程（3-7）也可相應的分為兩組（剛性運動和彈性運動）：

3、附加質量

定義式（3-7）右側為廣義外力A，則各階廣義外力Ar由下式得到：

本文采用三維勢流理論，對Ar中流體慣性力進行計算，并引入附加質量慣性矩，以在結構方程中考慮水彈性的影響。

定義包括剛體運動和彈性體振動的附加質量矩陣Mf為：

4、水彈性影響下的運動方程

在求解流固耦合下的結構動響應問題中，可以采用上面得到的附加質量矩陣以考慮水彈性影響，因此式（3-7）可寫為：

所有廣義外力A中的流體慣性力由附加質量矩陣Mf加以考慮。注意到由于附加質量耦合項的影響，上式中的廣義質量矩陣不再是對角陣，各階之間是相互耦合的，不能獨立求解，因此在動響應計算中將所有階（包括剛性運動和彈性體振動）統一聯立求解。

3冰運動方程間的耦合

冰的運動方程可分為三部分，即平動、轉動和變形，其包含了剛性和彈性運動，根據前一章3.1.3-3.1.4節，介紹的水彈性理論，在流固耦合下，剛性運動方程式（1-1）中的質量矩陣M和式（1-2）中慣性矩矩陣Ⅰ，彈性運動方程式（1-3）中的有效質量矩陣Me，是相互影響，相互耦合的，且都需要考慮由水彈性影響的附加質量矩陣。可知，由此三個方程耦合后的冰運動方程的廣義質量矩陣不再是對角陣，因而不能獨立求解。

參考文獻:

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[3]沈慶,陳徐均，江召兵.浮體和浮式多體系統流固耦合動力分析[M]．上?？茖W出版社，2011.

DOI編碼：10.13646/j.cnki.42-1395/u.2016.01.014

中圖分類號：U675.5

文獻標識碼：A

文章編號：1006－7973（2016）01－0049－02