基于功的互等定理的組合樓板彈性階段受力分析

李鋒，孟羽韋，郭琛，黃子瑜，王軍陣

（山東科技大學土木工程與建筑學院，山東 青島 266590）

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基于功的互等定理的組合樓板彈性階段受力分析

李鋒，孟羽韋，郭琛，黃子瑜，王軍陣

（山東科技大學土木工程與建筑學院，山東 青島 266590）

當今社會，對于組合鋼梁及組合樓板在連續倒塌過程中的受力特性的研究，特別是彈性受力階段的研究還不完善。為了了解連續性倒塌工況下彈性階段受力性能，并為進一步的研究參數確定提供依據。文章針對連續倒塌的組合樓板彈性變形階段，運用功的互等定理，和采用有限元軟件模擬相同工況，并將其結果與運用功的互等定理得到的方程數值解結果分析比較，兩種方法的吻合性驗證了分析思維的正確性。

功的互等定理；線性分析；連續倒塌；組合樓板

0　引言

本文基于功的互等定理，展開了結構彈性變形階段的受力分析，求解了梁與板的撓度方程、邊界條件、廣義位移解、邊界力的表達式；通過能量守恒定律，建立失效節點p-Δ混合變量的函數方程，通過方程全面的揭示了組合樓板連續倒塌工況下彈性階段的受力機理。

1　功的互等定理

功的互等定理簡單敘述如下：若一小變形線彈性體分別受到第1組力和第2組力的作用，則有第1組力在第2組力所產生的相應位移上所做的功和在第1組力所產生的相應位移上所做的功相等。

鑒于功的互等定理諸多優點，恰恰適用于受力狀態復雜的連續倒塌工況下梁與板的受力分析，巧妙的繞過了復雜的內力狀態，得到了關于位移和應力的解，將互等定理與最小勢能原理、能量守恒定率相結合，即可清晰系統地求解在連續倒塌工況下梁板的受力特性，同時獲得其解析解，為結構連續倒塌分析建立一種有效的分析方法。

2　板的廣義位移解

在連續倒塌工況中，典型的工況有角柱失效、邊柱失效、內柱失效。相應地，組合樓板的受力狀態也有多種。為求得在不同工況下的解，首先應求得板在廣義支承邊下的廣義位移解及其邊界值。

廣義支承邊是指：板邊界的位移及彎矩值均為已知的支承邊，在連續倒塌過程中，支承邊四個角點的位移也均為已知，那么四邊為廣義支承邊的板稱為廣義支承，其解為最一般的解。

結合不同受力狀態下板的邊界條件，廣義支承板可以轉化為各種邊界條件的彈性彎曲板。

由功的互等定理及修正的Castigliano定理，可將板面的內力與板邊緣及角點等廣義力廣義位移聯系起來，建立實際板和基本系統板之間的功的互等方程，即可建立失效點位移、集中力與板邊緣、板內應力的關系，其中還包含板的內力與梁板構件宏觀承載力間的關系，從而可獲得連續倒塌工況下剩余結構的彈性受力機理和承載性能，利用能量法整體性的優越特點巧妙的跳過了倒塌工況的復雜受力狀態計算，得到了解析解，并證明了其解為結構的真實解。

3　角柱失效工況下的解

3.1純組合板計算

角柱失效引發的連續倒塌工況發生時，位于角部的板和梁的支承條件將發生變化，角部的兩根梁將轉變為懸臂梁，角部樓板的支承條件也由四邊固定轉變為兩鄰邊固定、兩鄰邊自由的矩形受彎樓板。取出分析對象結構的底層，拆除A1角柱，將上部剩余結構傳來的荷載簡化為一集中荷載作用于角部節點上。因此是結構處于彈性范圍內，故忽略失效柱相鄰兩柱的水平位移及豎向應變。

3.2組合板與鋼梁連接區域板的計算

梁的豎向抵抗彎曲剛度遠大于組合樓板的豎向抗彎剛度，因此板的自由邊的邊界撓度應由懸臂梁來確定，板面的撓曲面方程仍有板面彎曲特性確定，根據圣維南原理，相隔一段距離后力的影響是有限的，也即板邊緣存在一定寬度為Ω的有限區域。

根據虛功原理，外虛功等于內虛功，也即宏觀外力在宏觀虛位移上所做的外虛功總和等于在內力虛位移上所做虛功總和。在懸空角點處，連續倒塌處于彈性階段時，梁板不發生分離，其幾何應變協調，但梁與板抗彎剛度的差異，使各構件所承擔的力有所差異，根據力學基本原則，梁與板所受集中力近似按剛度比進行分配。

3.3組合板與鋼梁連接區域梁的計算

板面受均布荷載在板邊緣產生的彎矩Mx0、My0，對于組合梁相當于作用于梁有效翼緣上的扭轉彎矩Mx0、My0，由于在構件皆處于彈性階段，故在此不考慮組合梁的扭轉，對Mx0、My0作用在組合梁上進行抗扭轉斜截面應力校核。

3.4平衡方程的建立

至此，角柱失效的連續倒塌的彈性階段工況下，角部板與梁的撓曲面和撓曲軸方程皆已求出，相應地邊界方程均已建立，邊界廣義力參量也已求出。在此基礎上，建立能量平衡方程，即，對角部板的封閉系統而言，外力在其方向上所做總功之和，等于構件各內力分別在其方向上所做總功之和。

系統的外力做功由均布荷載q和集中力p組成，其中，q的做功距離即為撓曲面由力q和p共同貢獻產生，即二者撓曲面代數之和。外力分別對其所作用面積及距離進行積分，即可得在角柱失效的連續倒塌工況下，彈性階段角部結構受力的所有參量。自此，校核結構發生角柱失效連續倒塌的彈性階段受力，可以判斷出結構是否能將連續倒塌控制在彈性階段內，而不進入下一步的非線性變形或懸鏈線階段，事實證明，有一定比例的連續倒塌工況結構的最終狀態是處于彈性范圍內的，并未發生大面積的連續倒塌，實驗和模擬的結果也有類似結論。

3.5方程的數值解與有限元分析

通過Matlab數學軟件來解方程的數值解，按照本文分析的實際結構設定基本參量，在這里將組合方程求得的ω撓曲面方程通過lowess擬合方法，也就是局部加權回歸散點修勻方法，將所得的撓曲面三角級數解的點在局部通過多項式算法，把所得解的集合擬合成數值解的曲面。

有限元分析結果也揭示了樓板對連續倒塌的有利作用，對比方程數值解的分析結果，發現擬合度很好，驗證了方程的正確性，同時證明了前文分析所得的撓曲面方程的解為廣義位移的真實解，在連續倒塌的彈性階段采用建立的方程結果進行結構的位移計算是可行的。

有限元結果表明，組合板在角柱失效的連續倒塌工況下，面內彎矩的最大值也出現在板面中心偏節點處，最大彎矩值與方程結果擬合較好，彎矩的分布情況與方程結果相同，懸臂梁的最大彎矩值也處于距節點約三分之一跨處，同樣揭示了組合樓板對結構抗連續性能的有利作用，驗證了方程的正確性，在連續性倒塌的彈性階段建立的方程進行結構抗力計算是切實可行的。

4　邊柱失效工況下的解

4.1邊柱失效受力分析

連續倒塌的第二種典型工況為邊柱失效，也即結構長邊或短邊最外側軸線中某一根柱子破壞失效，當底層邊柱失效時，邊柱失效結構會發生整體變形。

4.2方程的數值分析與有限元分析

建立了能量平衡方程后，可得到p—Δ為混合變量的函數表達式，其中各參數用三角級數、三角函數與雙曲函數混合函數等方法寫出，通過數值計算即可獲得失效節點承載力和豎向位移的解、組合樓板撓曲面方程的解、支承鋼梁撓曲軸的解、局部結構重要節點和邊緣處彎矩剪力等廣義力的解。通過Matlab求解方程組，通過對混合變量取變分后，首先獲得板面位移的撓曲面方程的解，再通過lowess局部加權回歸擬合為曲面。

有限元結果表明，2塊組合板的最大撓度乃發生在失效節點。有限元分析結果也揭示了樓板對連續倒塌的有利作用，對比在有限元中所得數值分析結果，發現擬合度很好，驗證了方程的正確性，同時證明了前文分析所得的撓曲面方程的解為廣義位移的真實解，在邊柱失效時連續倒塌的彈性階段建立的方程組進行結構的位移計算是可行的。

5　內柱失效工況下的解

5.1內柱失效受力分析

連續倒塌的第三種典型工況為內柱失效，也即結構內部某一根柱子破壞失效，當進入底層內柱失效連續倒塌工況時，內柱失效局部結構會發生彈性變形。

5.2方程的數值解與有限元分析

根據能量守恒方程，得到了p—Δ為混合變量的函數表達式，通過Matlab求解方程組，對混合變量取變分后，首先獲得板面位移的撓曲面方程的10000個點的解。內柱失效的連續倒塌工況下彈性階段板面變形的有限元結果揭示了樓板對連續倒塌的有利作用，對比在方程數值計算所得的撓曲面方程的解為廣義位移的真實解，在內柱失效時連續倒塌的彈性階段建立的方程組結果進行結構的位移計算是可行的。

與邊柱失效工況相比，發現雖然上部結構傳來的突加荷載更大，但板的最大彎矩增加不多，這是由于與失效節點直接聯系的樓板數量更多，形成了彈性膜效應，使得梁和板上彎矩的分布更均勻，減小了彎矩極值，提高結構抗力，這對提升結構抗連續性倒塌性能是非常有利的。有限元結果表明組合板在角柱失效的連續倒塌工況下，面內彎矩的最大值出現在節點處，彎矩的分布情況與方程結果相同。

可見，彈性階段內柱失效的板整體性更好，傳力路徑更多，形成了彈性膜效應，大幅度提高失效節點的承載力，結構內柱失效更不易發生連續倒塌，揭示了組合樓板對結構抗連續倒塌性能的有利作用，驗證了方程的正確性。

6　結論

針對連續倒塌的彈性變形階段，運用功的互等定理，在實際系統和基本系統之間建立了梁與板的撓度方程、邊界值方程，列出局部結構的能量守恒方程，從而得到了以位移-應力為混合變量的三角函數和三角-雙曲混合函數表達式，通過對混合變量取變分，得到了關于結構連續倒塌的一系列問題的解。求解方程的數值解與有限元軟件的模擬結果對比，驗證了本文提出方程的理論正確性。

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TU31

A

1007-7359(2016)03-0062-03

10.16330/j.cnki.1007-7359.2016.03.021

李鋒（1989-），女，山東聊城人，山東科技大學土木工程與建筑學院在讀碩士，研究方向：結構工程。