自由向量在解析幾何中的應用

王玉光，李亞男

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自由向量在解析幾何中的應用

王玉光1，李亞男2

解析幾何是數學專業學生一門重要的基礎課程，其理論和方法對于后繼課程有重要的基礎作用；同時也是數學聯系實際的重要體現，在工業生產和工程建筑等在內的生產實踐和現實生活中都有重要的應用[1-3]．解析幾何核心的思想就是把幾何對象數量化，用代數的方法研究幾何．為了實現這一目的，就必須尋找合適的工具，向量恰是實現上述目的的一個有力工具，因此在解析幾何中起著舉足輕重的作用．

1　自由向量的概念

向量源于現實生活中一類常見對象，用來表示那些既有大小又有方向的量，如力和速度等．與向量概念相對的是那些只有大小沒有方向的量，即數量，如功和溫度等．一般用有向線段來表示向量，其中有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向，所以向量有2個要素，一是長度，二是方向．既然如此，一個自然的問題就是會遇到長度和方向都一樣的向量，此時一般規定，如果2個向量的大小相等，方向相同，那就稱為相等向量，或者說這2個向量是同一個向量．由此可見，向量的起點在哪并不重要，或者說只要保持向量的長度和方向不變，起點可以隨便選取．這就相當于一個向量可以自由移動，移動前后表示的是同一個向量，這就是自由向量的概念．

2　自由向量的應用

自由向量在幾何中是一個極其重要的基本概念，幾何中很多重要的對象都和這個概念有關．

2.1共線向量和共面向量如果2個向量都平行于同一條直線，就稱這2個向量平行．由于自由向量的概念，如果一個向量和一條直線平行，則一定可以將該向量平行移動到該直線上．進而可知，和該向量平行的所有向量都可以移動到該直線上，所以，平行向量又稱為共線向量．同理，如果一個向量和某個平面內的另一個向量平行，則稱該向量平行于該平面．根據自由向量的概念，一定可以把該向量移動到該平面內，從而可知，所有與該平面平行的向量都可以移動到該平面內，因此稱為共面向量．顯然，共線向量和共面向量中的直線和平面不是唯一的．

2.2空間平面的點位式方程有的學生在學習過程中會有這樣的疑惑，中學幾何認為：二條相交直線確定一個平面，這是一個公理，而在解析幾何中，平面的方程卻不能僅有2個不共線的方位向量確定，還需要１個點，這是因為如果只給定２個不共線向量，由于自由向量的概念，可以任意找一點作為起點，這樣就會得到無窮多平行平面，并不能確定唯一的平面．所以，要想得到唯一確定的平面就必須再給出平面上的一點，這就是空間平面的點位式方程要求給出平面的２個不共線方位向量和平面上一點才能確定的原因．盡管中學有二條平行直線確定一個平面這樣的公理，但若給定２個平行向量相當于給了一條可以在空間平行移動的直線，也不能確定唯一的平面．即使給出起點，如果對２個方位向量方向不做要求也不能保證確定唯一平面．如果給出一點和２個共線的方位向量，就相當于給出經過給定點的一條直線，只有一條直線是不能確定平面的，得到的是經過該直線的有軸平面束．所以，在確定空間平面的點位式方程是需要給定一點和２個不共線的方位向量．

2.3空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的夾角由于自由向量的原因，空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的夾角都可以轉化為直線的方位向量之間、直線的方位向量和平面的法向量之間、平面的法向量之間的夾角．

2.4點到直線的距離和異面直線的距離由于自由向量的原因，可以將已知直線的方向向量的起點選為直線上的給定點，這樣所求點到直線的距離就轉化成一個平行四邊形一邊上的高，從而可以利用平行四邊形面積（即向量積的模長）和對應邊長（即方向向量的模長）的商得到；類似地，兩異面直線間的距離轉化為平行六面體的體積和對應底面積的商，也即轉化成3個向量的混合積與2個向量的向量積計算問題．

學生在學習過程中之所以覺得有困惑甚至會出錯，主要是課程一些基本概念不清，一些重要的學科意識沒能夠樹立起來．所以，基本概念和學科意識對于課程的學習是至關重要的，只要這些基礎扎實了，解決相應的問題才能夠化繁為簡，事半功倍，也只有這些基礎扎實了，才能在學習過程中避免不必要的失誤．

[1] 呂林根，許子道．解析幾何[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006

[2] 孟道驥．高等代數與解析幾何[M]．北京：科學出版社，2010

[3] 丘維聲．解析幾何[M]．北京：北京大學出版社，2015

（1. 寧夏大學 數學計算機學院，寧夏 銀川 750021；2. 河南理工大學 萬方科技學院，河南 焦作 454000）

寧夏大學科學研究基金資助項目（ZR1414）