遷移理論視角下曲線與曲面積分教學(xué)探討

劉明，劉偉

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遷移理論視角下曲線與曲面積分教學(xué)探討

劉明[1]，劉偉

（天津師范大學(xué) 津沽學(xué)院，天津 300387）

曲線與曲面積分一直是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的難點，對于獨立院校學(xué)生而言，該內(nèi)容的學(xué)習(xí)更為困難．以往研究多是從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，從曲線與曲面積分符號的抽象性和計算的復(fù)雜性等方面分析教學(xué)難點．從學(xué)習(xí)理論角度入手，結(jié)合三本院校學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，從遷移的角度來進行分析，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議，從而促進該部分內(nèi)容的教學(xué)．

曲線積分；曲面積分；遷移理論

曲線與曲面積分一直是數(shù)學(xué)分析的教學(xué)難點，在學(xué)習(xí)曲線積分時，學(xué)生能很好地理解符號所代表的含義，單獨講某一種積分時，學(xué)生能分清楚積分的類型，但是將幾種類型的積分放在一起，如，，和，則有很多學(xué)生無法正確判斷積分類型，導(dǎo)致計算時用錯公式，最終計算錯誤．

以往的研究多是從積分符號的抽象性或計算的復(fù)雜性等方面來分析，從數(shù)學(xué)自身的角度探討了曲線與曲面積分教學(xué)的難點并提出相應(yīng)的改進方案，但是較少從學(xué)習(xí)理論的角度，即學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的角度來分析．文獻(xiàn)[1]指出，曲線與曲面積分具有公式形式抽象，解題思維嚴(yán)謹(jǐn)靈活，結(jié)論深刻且表現(xiàn)形式多樣性的特點．文獻(xiàn)[2]指出，在教學(xué)中要突出積分概念間的聯(lián)系與區(qū)別，通過典型例題的訓(xùn)練使得學(xué)生掌握各種積分的特點．文獻(xiàn)[3]從流體力學(xué)角度出發(fā)，為格林公式提供了具體的物理背景，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)上進一步抽象，從而得出格林公式，對知識的學(xué)習(xí)起到了追蹤溯源的作用．但是該方法適合具有物理背景的理工科學(xué)生，對于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生來說有待商榷．文獻(xiàn)[4]從數(shù)學(xué)思想的角度出發(fā)，在教學(xué)中突出化歸思想，幫助學(xué)生利用化歸的思想將第二型曲線積分（變力沿曲線做功問題）轉(zhuǎn)化為第一型曲線積分的形式，通過化歸的方法利用學(xué)生已學(xué)過的知識來學(xué)習(xí)新知識，過渡自然，從本質(zhì)上將２種積分統(tǒng)一起來，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性．

綜上可見，以往研究均是從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，分析曲線與曲面積分教學(xué)的難點[5-6]，都強調(diào)在教學(xué)中突出曲線積分與曲面積分的物理或幾何背景，以便學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)表達(dá)式的實質(zhì)．但是，有些教學(xué)設(shè)計更適合有物理背景的理工類學(xué)生，對于獨立院校數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，他們并沒有學(xué)過很多普通物理的知識，因此還是有一定困難的．對于獨立院校的學(xué)生，其學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較差，因此，更多的應(yīng)該對學(xué)生進行學(xué)情分析，結(jié)合學(xué)習(xí)理論找出造成學(xué)生學(xué)習(xí)曲線與曲面積分的困難所在．本文從學(xué)習(xí)理論的角度對曲線與曲面積分教學(xué)難點進行分析，基于此分析給出相應(yīng)的教學(xué)建議．

1遷移視角下教學(xué)難點分析

遷移是一種學(xué)習(xí)對于另一種學(xué)習(xí)的影響．如果先前學(xué)習(xí)對后繼學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，則稱為順向遷移，反之稱為逆向遷移．如果一種學(xué)習(xí)阻礙或干擾了另一種學(xué)習(xí)，則稱為負(fù)遷移，反之則稱為正遷移[7]．在曲線與曲面積分的學(xué)習(xí)中，這幾種遷移均起到作用．定積分、重積分、曲線與曲面積分的本質(zhì)均是：分割——近似——求和——取極限，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)定積分與重積分時能夠充分理解其實質(zhì)，那么將有助于學(xué)生對曲線與曲面積分實質(zhì)的理解，這是正遷移與順向遷移的影響．但是由于學(xué)生對于定積分的學(xué)習(xí)往往只是掌握了牛頓－萊布尼茲公式，并沒有深刻理解定積分的本質(zhì)，只是浮于形式的計算，因此在計算曲線與曲面積分時，往往會產(chǎn)生錯誤．而學(xué)完第二型曲線積分或第二型曲面積分后，公式變多，也會把前面的積分符號混淆，導(dǎo)致分不清，，，和，這就是逆向遷移與負(fù)遷移起到的消極作用．

案例2（弧長及面積的計算）在定積分學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了曲線弧長的計算，二重積分的學(xué)習(xí)中，也涉及了曲面的面積．但是在第一型曲線積分和第一型曲面積分的計算中也有曲線弧長、曲面面積的計算，學(xué)生往往就會產(chǎn)生混淆，這主要是因為學(xué)生沒有能夠準(zhǔn)確地理解曲線與曲面積分的來源，導(dǎo)致新舊知識發(fā)生了混淆．這也是負(fù)遷移造成的消極作用．

2教學(xué)建議

由于遷移是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，先前相關(guān)知識的學(xué)習(xí)對于曲線與曲面積分學(xué)習(xí)的影響是很難避免的，因此教師在教學(xué)中更要很好地利用遷移規(guī)律，對教學(xué)過程進行精心設(shè)計，發(fā)揮正遷移的作用，盡量地減少負(fù)遷移的影響．結(jié)合獨立學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)特點，給出一些具體的教學(xué)建議．

2.1合理組織教學(xué)活動，加強新舊知識之間的聯(lián)系

由知識學(xué)習(xí)的同化理論可知，曲線與曲面積分的學(xué)習(xí)都是在原有定積分與重積分學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上展開的．

曲線與曲面積分的表達(dá)式是抽象的，是對一些幾何及物理問題的抽象表達(dá)．因此，在教學(xué)中一定要注重對舊知識的復(fù)習(xí)[8]，在相應(yīng)新授課開始時不妨讓學(xué)生先復(fù)習(xí)定積分和重積分的實質(zhì)：分割——近似——求和——取極限．在此基礎(chǔ)上再結(jié)合具體的幾何或物理背景，如曲線形構(gòu)件的質(zhì)量，變力沿曲線做功，曲面的質(zhì)量等，講授曲線與曲面積分．使學(xué)生在新知識的學(xué)習(xí)中迅速、明確地找到與之相對的舊知識，及時為新知識的學(xué)習(xí)提供適當(dāng)?shù)墓潭c．

這樣經(jīng)過多次復(fù)習(xí)，既強化了基本知識的教學(xué)，也使學(xué)生對曲線與曲面積分有了清晰、深刻的認(rèn)識，使學(xué)生加深對已學(xué)定積分等的認(rèn)識，幫助學(xué)生建立穩(wěn)定、清晰的知識結(jié)構(gòu)．達(dá)到了較好的正遷移．

2.2強調(diào)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，提高數(shù)學(xué)知識的概括水平

曲線與曲面積分共有4種，加上之前學(xué)習(xí)的定積分和重積分共有7種類型的積分，學(xué)生單獨學(xué)習(xí)每一種積分時，尚能分清楚，等全部學(xué)習(xí)完后，就容易混淆，教師不但要在新授課教學(xué)時講清楚每一種積分，學(xué)習(xí)結(jié)束后，也要帶領(lǐng)學(xué)生對7種積分進行回顧，以強調(diào)積分知識的系統(tǒng)性．雖然各種積分的實質(zhì)是一樣的，但是不同類型有著不同的表達(dá)式，代表不同的問題來源．通過總結(jié)概括，學(xué)生既能夠從知識的整體系統(tǒng)出發(fā)，又能具體問題具體分析，提高數(shù)學(xué)知識的概括能力，以便更好地充分利用原理和原則遷移．

要注重例題的選擇，枚舉各種變式，使學(xué)生正確地把握概念的內(nèi)涵和外延．如在利用對稱性巧解積分題目時，通過具體題目地講解學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠深刻地體會到積分實質(zhì)在解題中的作用，而不是只限于形式上的抽象符號計算，在遇到新問題時，以便更好地利用例題去解決，達(dá)到良好的正遷移．

2.3教會學(xué)生如何學(xué)習(xí)

大學(xué)數(shù)學(xué)課堂課程內(nèi)容多，課容量大，課堂以教師講授為主，因此對學(xué)生的學(xué)習(xí)提出了更高要求，只有平時多思考，多復(fù)習(xí)才能較好地掌握所學(xué)內(nèi)容．大學(xué)生學(xué)習(xí)有更多的獨立性與自主性，而獨立院校的學(xué)生大多缺少良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，課后不能及時復(fù)習(xí)與反思，不能使舊知識對新知識的學(xué)習(xí)產(chǎn)生正遷移，反而可能學(xué)了新知識忘記舊知識，或與舊知識相混淆，發(fā)生負(fù)遷移．因此，教師要對學(xué)生的學(xué)習(xí)加強指導(dǎo)．

教師在進行曲線與曲面積分教學(xué)時，不只是傳授學(xué)生知識，還要教授學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律和方法．新授課時不但帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)定積分的實質(zhì)，還要指出這種復(fù)習(xí)對于學(xué)習(xí)新知識的重要性．并且要在課堂上對學(xué)生適當(dāng)進行提問，讓學(xué)生自己比較新知識與舊知識的異同，促進正遷移的發(fā)生．

2.4制定符合獨立學(xué)院學(xué)生特點的教學(xué)目標(biāo)

對于獨立院校數(shù)學(xué)專業(yè)而言，曲線與曲面積分教學(xué)要針對學(xué)生特點設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)計劃．要重點突出積分實質(zhì)，淡化復(fù)雜計算．

隨著計算機的普及，越來越多的數(shù)學(xué)計算問題可以借助數(shù)學(xué)軟件來作出結(jié)果．但計算的掌握并不代表對于實質(zhì)的真正理解，深刻的數(shù)學(xué)思想才是學(xué)生最應(yīng)該掌握的．并且復(fù)雜的計算并不是該部分知識的重點．

教師是教教材而不是用教材，對于獨立院校而言，培養(yǎng)應(yīng)用型人才是其主要的教學(xué)目標(biāo)．而現(xiàn)在多數(shù)數(shù)學(xué)分析教材還比較側(cè)重理論，對于知識的來龍去脈著墨較少，也很少將數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)方法呈現(xiàn)出來．因此，教師要針對學(xué)生特點，基于教材和學(xué)生的水平，做出更好的教學(xué)設(shè)計．在教學(xué)中，要淡化理論證明，注重概念的引入，重點講清楚曲線與曲面積分的概念，指出每種積分的計算都是轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的積分，即定積分的計算．使學(xué)生體會到先前知識對于新知識學(xué)習(xí)的影響，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，在教學(xué)中發(fā)揮正遷移的作用．

曲線與曲面積分的計算也是獨立院校學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，教材中題目起點略高，要找尋一些簡單的題目，在課堂上重點講解，而課本上較復(fù)雜的例題，則可讓學(xué)生作為課下的練習(xí)，這樣還能給學(xué)有余力的學(xué)生提供進一步學(xué)習(xí)的機會．

[1] 唐榮榮，蔡靜．不同專業(yè)下曲線與曲面積分教學(xué)模式探討[J]．湖州師范學(xué)院學(xué)報，2011（2）：109-114

[2] 江蓉，王守中．關(guān)于曲線積分與曲面積分教學(xué)的探討[J]．西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012（2）：142-146

[3] 鄭連存．從曲線積分的教學(xué)談對知識的追蹤溯源[J]．高等理科教育，2005（3）：38-40

[4] 張建軍，喬松珊．化歸轉(zhuǎn)化思想在曲線與曲面積分教學(xué)中的應(yīng)用[J]．高等函授學(xué)報：自然科學(xué)版，2012（2）：24-26

[5] 劉玉璉，楊奎元，劉偉，等．?dāng)?shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書[M]．北京：高等教育出版社，2003：350-353

[6] 鄧樂斌．初等積分中的常見問題[M]．北京：科學(xué)出版社，2009：143

[7] 郭玉峰，劉春艷，程國紅．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2015：120

[8] 孔凡哲，曾崢．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2009：123-124

Discussion on the curve and surface integral teaching from the perspective of transfer theory

LIU Ming，LIU Wei

（Jingu College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Curve and surface integrals have always been the difficult point in mathematical analysis teaching，and they are especially hard for students of independent colleges．Previous studies were mostly made from mathematical perspective the abstract nature of curve and surface integrals as well as the complication calculation．From the perspective of learning theory，combines the characterizes of students in independent colleges and makes analysis from leering transfer theory，gives some teaching suggestions in order to improving the teaching of curve and surface integrals．

curve integrals；surface integrals；transfer theory

O172∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.017

2015-12-20

劉明（1989-），男，天津人，助教，碩士，從事數(shù)學(xué)教育研究．E-mail：121816834@qq.com

1007-9831（2016）04-0062-03