He-變分方法在求解廣義（2+1）-Boussinesq方程和（2+1）-KP方程中的應用

白　秀，楊培鳳（.呼和浩特民族學院　數學系，內蒙古　呼和浩特　0005) （.內蒙古建筑職業技術學院　公共教學部，內蒙古　呼和浩特　00070)

?

He-變分方法在求解廣義（2+1）-Boussinesq方程和（2+1）-KP方程中的應用

白秀1，楊培鳳2
（1.呼和浩特民族學院數學系，內蒙古呼和浩特010051) （2.內蒙古建筑職業技術學院公共教學部，內蒙古呼和浩特010070)

摘要：利用He--變分方法構造廣義(2+1)-Boussinesq方程和（2+1）-KP方程等的孤子解.該方法也可以適用于求解其它非線性偏微分方程的精確解中.

關鍵詞:偏微分方程；孤子解；He--變分方法；半逆解法

隨著非線性科學的迅速發展，非線性微分方程滲透到應用數學、物理學、力學、地球科學、經濟學、生命科學和工程技術科學的諸多領域中，從而求解其解析解和數值解是揭示其各類屬性方面具有重要的理論意義和實際意義.近三十多來，國內外專家學者在求解非線性偏微分方程的精確解方面做了很多卓有成效的工作，推出很多有效的求解技巧和方法，如齊次平衡法[1]-[3]、輔助方程法[4,5]、Paialeve截尾展開法[6]、Tanh函數方法[7]、Exp—展開法[8]、變分迭代法[9]、He-變分方法[10,11]、同倫攝動方法[12]和廣義（G'/G）-展開法[13]等．這些方法中，He-變分方法具有既簡單又直接的特性，它基于He—半逆解法[10]建立一種巧妙的變分泛函，進而構造非線性偏微分方程（組）的孤立子解等精確解.該方法已成功應用到求解Benjanmin One方程[14]和吸孤子方程[15]的孤子解中.

本文從文獻[11,14-16]得到啟示，利用變分方法對廣義（2+1）—Boussinesq方程和（2+1）—KP方程等進行求解，成功推出這些方程的孤子解.

1　利用變分法求解廣義(2+1)—Boussinesq方程

著名的廣義(2+1)—Boussinesq方程[17]為

其中參數a,b,c和d是任意常數,且cd≠0，此方程在淺水波長波分析和表層多孔滲水物質材料的水滲透分析中廣泛應用.

根據變分方法的基本思想，設行波變換u(x,y,t)=u(ξ),且ξ=kx+ly-λt，對方程（1）行波約化，再將所得到的低維形式常微分方程經兩次積分得到下列二階微分方程：

再利用半逆解法，便得（2）的如下變分公式

設方程（2）的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

再把（5）帶入到（3）里，得到下列雙參數函數

同樣，也可以將（5）帶入到(4)得到對應的雙參數函數J2(p,q).

為了討論（6）的穩定性，求得：

然后，建立如下方程組：

求解上述方程組，得到

所以,廣義(2+1)—Boussinesq方程（2）的孤子解為：

其中ξ=kx+ly-λt.

2　利用變分方法求解（2+1）—KP方程

具有兩個空間變量與一個時間變量的(2+1)—KP方程[18]

其中α為任意常數，該方程描述弱色散和非線性介質微擾現象.

設行波變換u(x,y,t)=u(ξ),且令ξ=kx+ly-λt，對方程（14）行波約化，再將所得到的低維形式常微分方程經兩次積分得到下列二階微分方程：

再利用半逆解法，可得到（15）的變分公式

為了求解該方程，通過構造下列2種形式的孤子解，能得到方程（14）的解：

情形1設(14)的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

把（18）帶入到（16）里，得到雙參數函數

同樣，可以帶入（17）里得到對應的雙參數函數J(p,q).

為了考慮(19)的穩定性,求得：

再建立聯立方程組(20)和(21)，并求解得到：

所以，原(2+1)維KP方程（14）的孤子解為：

其中ξ=kx+ly-λt.

情形2設(14)的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

把（25）帶入到（16）里，再對通過討論得到的雙參數函數的穩定性，求關于參數p，q的方程組，并求解得到參數p，q以下解：

所以，原(2+1)維KP方程（14）又具有以下形式的孤子解：

其中ξ=kx+ly-λt.

3　結論

He--變分方法是求解偏微分方程精確解的有效工具，本文基于He—半逆解法，對廣義(2+1)—Boussinesq方程和（2+1）—KP方程等進行構造對應變分公式，進而尋找這些方程的孤子解.這些結果顯示，該變分方法簡單明了，利用它可以構造其它諸多非線性偏微分方程的孤立子解和周期解.

參考文獻：

〔1〕M.L. Wang. Solitary solutions for variant Boussinesq equations[J].Phys Lett A, 1995(199): 169 - 172.

〔2〕M.L. Wang. Exact solution for a compound KdV -Burgers equation[J],Phys Lett ,1996(213): 279 - 287.

〔3〕M.L. Wang. Application of a homogeneous balance methods to exact solutions of nonlinear equations in Mathematical physics[J]. Phys Lett A, 1996(216): 267-270.

〔4〕李志斌.非線性數學物理方程的行波解[M].北京：科學出版社，2006.

〔5〕Sirendaoreji, Sun J. Auxiliary equation method for solving nonlinear partial differential equati- ons [J]. Phys Lett A, 2003(309): 387-396.

〔6〕李翊神.孤子與可積系統[M].上海：上海科技教育出版社，1999.

〔7〕E.G. Fan. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations [J]. Phys Lett A, 2000 (277): 212-218.

〔8〕J.H. He, X.H. Wu. Exp-function method for nonlinear wave equations [J], Chaos Solition Fractals, 2006(30): 700-708.

〔9〕J.H. He. Variational iteration method-Some recent results and new interpretations [J], Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007 (207):3-17.

〔10〕J.H. He. Some Asymptotic Methods for Strongly Nonlinear wave equition [J], Internat J. Modern Phys. B, 2006 (20) (10):1141-1199.

〔11〕J.H. He. Non-perturbative methods for strongly Nonlinear problems [J] , Berlin: dissertation. de-Verlag im Internet GmbH, 2006.

〔12〕J.H. He. New interpretation of homotopy perturbation method[J], Internet J. Modern Phys. B, 2006 (20): 2561-2568.

〔13〕Erdunbuhe, Temuerchaolu. A Generalized (G'/G) -Expansion Method and Its Applications to the Whitham-Broer-Kaup-Like Equations [J].內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版）, 2012，(41)(2):120-131.

〔14〕Z.L. Tao. Variational approach to the Benjamin Ono equation [J]. Nonlinear analysis: real world applications, 2009 (10):1939-1941.

〔15〕Z.L. Tao. Solving breaking solution equation by He’s variational method [J] . Comput. Math. Appl., 2009 (58):2395-2397.

〔16〕J. Zhang, Variational approach to solitary wave solution of the generalized Zakharov equation [J], Comput. Math. Appl., 2007 (54):1043–1046.

〔17〕H.T. Chen, H.Q. Zhang. New double periodic and multiple soliton solutions of the eneralized (2+1)-dimensional Boussinesq equation[J]. Chaos Solitons Fract, 2004(20)(4):756-769.

〔18〕Kadomtsev, B.B., Petviashvili, V.I.. On the stability of solitary waves in weakly dispersive media [J], Sov Phys Dokl, 1970 (15) (1):539-541.

基金項目:內蒙古自然科學基金資助項目( 2013MS0118),內蒙古高等學校科學研究資助項目(NJZC13276，NJZZ14210)和呼和浩特民族學院科技創新團隊建設資助項目(CXTD1402)

收稿日期：2015年10月22日

中圖分類號：0175.29

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）01-0010-02