基于Hertz接觸理論的齒輪接觸分析

胡夏夏，宋斌斌，戴小霞，劉曉曼

(浙江工業大學 特種裝備制造與先進加工技術教育部重點實驗室，浙江 杭州 310014)

?

基于Hertz接觸理論的齒輪接觸分析

胡夏夏，宋斌斌，戴小霞，劉曉曼

(浙江工業大學 特種裝備制造與先進加工技術教育部重點實驗室，浙江 杭州 310014)

摘要：由于齒輪嚙合過程中齒廓接觸點曲率半徑變化以及單雙嚙合交替的存在，而引起齒面載荷分布不均勻和沖擊的問題，根據Hertz接觸原理對接觸模型和接觸應力進行了研究.分析提取嚙合線上不同嚙合點的綜合曲率半徑，利用包絡線繪制一條連續的曲率曲線，并根據該曲線生成特征曲面；利用有限元方法分別對齒輪接觸、特征曲面與平板之間接觸進行了接觸應力分析；分析結果顯示兩種接觸模型的接觸應力分布相似度比較高，簡化后的齒輪接觸理論模型可為齒輪接觸應力實驗分析提供參考依據.

關鍵詞：Hertz接觸原理；綜合曲率半徑；有限元；接觸應力

漸開線齒輪是工程應用最為廣泛的機械零件之一，齒輪傳動具有傳遞功率大、傳動比準確、安全可靠等優點.但是齒間接觸屬于高副，因此接觸區域必然會存在應力集中現象，齒輪的接觸應力循環作用下容易產生齒面接觸疲勞現象.國內外有不少研學者對齒輪嚙合過程中接觸應力做過大量研究，并取得了豐碩的成果[1-4].但是大多數學者僅研究了節點嚙合位置的接觸應力，而對接觸線上不同位置接觸應力分布的研究較少，且相對精確的齒輪接觸應力實驗模型方面的研究就更少了.因此，開展對接觸模型以及接觸應力分布的研究有著重大實際意義[5].本研究根據Hertz接觸原理[6]對齒輪接觸模型和接觸應力分布進行了分析，對比了簡化前后齒輪接觸模型的接觸應力分布情況，為齒輪接觸應力的實驗分析提供了理論參考.

1簡化模型的建立

1.1　Hertz接觸原理

漸開線齒輪齒面為形狀較復雜的特殊曲面，由于接觸區寬度小于齒面在接觸區域的曲率半徑，因而可對嚙合齒面作適當簡化.Week等[7]試驗結果表明：當運轉條件相同時，輪齒間的接觸狀態可用一對滾子來模擬(圖1)，一對輪齒之間的嚙合可以轉換為兩個圓柱體沿其母線的接觸.圖1中兩個圓柱體滾子的半徑R1,R2分別為齒輪嚙合位置的曲率半徑.

圖1　接觸模型簡化示意圖Fig.1　A simplified contact model

由Hertz接觸理論推出的接觸區最大觸應力σH公式[8]為

(1)

(2)

式中：ZE為配對齒輪的材料系數；Fn為載荷；b為兩圓柱體的接觸寬度；ρ為綜合曲率半徑；ρ1，ρ2分別為兩圓柱體接觸線處的曲率半徑.

齒面接觸應力的計算是以兩圓柱體接觸時的最大接觸應力推到出來的.由漸開線性質可知：一對齒輪嚙合過程，由于齒輪表面嚙合位置不同，可以看成為兩個曲率半徑隨時變化著的平行圓柱體的接觸過程，故各嚙合位置的接觸應力各不相同[9].因此，圖1中一對輪齒的嚙合可以簡化成一對對應接觸半徑圓柱體的接觸，建立了二個數值分析模型，下文將對其合理性進行驗證.

1.2　特征曲面的生成

圖2　綜合曲率半徑等效過程Fig.2　Equivalent process of synthetical curvature radius

同理，可將齒輪嚙合線上每個嚙合點通過圖2的方法等效成一個綜合曲率半徑圓柱體與一個平板之間的接觸.由齒輪嚙合傳動示意圖以及齒輪各個參數的關系得出嚙合線上兩齒面的綜合曲率半徑為

(3)

將綜合曲率半徑數值曲線導入到二維繪圖軟件AutoCAD中，利用包絡線原理繪制出的綜合曲率曲線[10]，如圖3所示.圖3中加粗曲線為綜合曲率半徑數值曲線，通過450個曲率圓包絡成綜合曲率曲線.最后在三維軟件Pro/E中根據綜合曲率曲線生成特征曲面.因此，特征曲面上的曲率半徑的變化符合所研究直齒圓柱齒輪中一對輪齒從嚙入到嚙出過程中綜合曲率半徑的變化特征.在相同邊界條件下，特征曲面與一平板的接觸模型和齒輪接觸模型在接觸應力分布方面應具有一定相似度.

圖3　綜合曲率曲線形成過程Fig.3　A form process of synthetical curvature curve

2模型接觸分析

2.1　載荷的確定

漸開線直齒圓柱齒輪在嚙合過程中，為保證傳動的連續性和平穩性，重合度ε必須大于1.當重合度ε在1~2之間時，嚙合線兩端各有一段兩對輪齒同時嚙合的區段，在這兩區段里，每對齒輪副只承受一部分載荷；嚙合線中間有一段只有一對輪齒嚙合的區段，在這一區段里，由一對輪齒承受所有載荷.然而，載荷在同時嚙合的輪齒之間存在一個分配問題，即載荷分配系數XΓ.根據ISO425E中關于XΓ的表達式[11]以及齒輪嚙合過程示意圖，如圖4所示，齒輪嚙合線上載荷分配系數的計算式為

圖4　齒輪嚙合過程示意圖Fig.4　Gear meshing process

(4)

式中：嚙合點P從嚙入點K向嚙出點K′逐漸移動；XΓ為嚙合點K點處輪齒的載荷分配系數.運用MATLAB對式(4)求解并得到嚙合點位置與載荷分配系數的關系曲線，如圖5所示.

圖5　載荷分配系數與嚙合位置關系圖Fig.5　A load distribution coefficient via meshing position

2.2　接觸應力分析及結果

在Pro/E中建立實體模型，通過無縫接口將實體模型導入到ANSYS Workbench中，選擇材料屬性，劃分網格，完成有限元模型的建立.采用ANSYS Workbench接觸分析模塊，由于齒輪接觸時表面既有滾動又有滑動，因此接觸類型設置為Frictional，摩擦系數為0.06[12]，計算時的接觸算法控制方程設置為Augmented lagrange.增廣拉格朗日法比罰函數法加大了接觸力的計算，對接觸剛度變得不敏感，減少了接觸滲透量，但會導致非線性計算迭代次數增多，因此大變形Large deflection要設置為ON.設置彈性模量E=211 GPa，泊松比μ=0.277，接觸剛度系數K=1.

從動輪內圈約束條件設置為固定約束Fixed support，主動輪約束條件為Cylindrical support并且保留Tangential方向上的自由度[13].在主動輪上施加T=165 000 N·mm的動力扭矩，則單齒嚙合區段齒間法向載荷Fn=2T/d2=1 833.3 N.在兩個雙齒嚙合區段上各取5個嚙合點，在單嚙合區段上取4個嚙合點，利用ANSYS Workbench計算，并利用后處理查看齒面接觸應力的變化云圖，如圖6所示.

圖6　ρ=6.650嚙合點接觸應力Fig.6　Contact stresses of ρ=6.650

本次接觸分析一共提取了嚙合線上均勻分布的14個接觸點作為研究對象，近似得到單個輪齒在一個嚙合周期內的接觸應力變化規律，結果如表1所示.嚙合線上均勻分布的14個接觸點作為研究對象，近似得到單個輪齒在一個嚙合周期內的接觸應力變化規律，結果如表1所示.

表1　齒輪各嚙合點接觸應力值

根據載荷分配系數XΓ分別求得14個嚙合點處的法向載荷Fni(i=1,2，…,14)，如表2所示.

利用接觸分析模塊求解出特征曲面與平板對應接觸點的接觸應力，如圖7所示.本次接觸分析同樣提取特征曲面上均勻分布的14個接觸點，得到特征曲面上接觸應力變化情況，如表3所示.

表2　嚙合點法向載荷

圖7　特征曲面上ρ=6.650位置接觸應力Fig.7　Characteristic surface stresses(ρ=6.650)

嚙合點σH/MPa嚙合點σH/MPa165.48141.2269.59123.5360.310118.2481.111102.3580.81272.36118.31383.27168.31468.9

2.3　結果對比

根據表1和表3所得數據，得到兩種模型的接觸應力變化趨勢，如圖8所示.隨著齒輪開始進入雙齒嚙合區，載荷分布系數慢慢增大，兩種模型1~5號接觸點的接觸應力都呈逐漸上升趨勢；進入單齒嚙合區段，兩種模型的6~9號接觸位置都出現了應力峰值；之后由于再次進入雙嚙合區段，10~14號接觸點應力逐漸下降.

兩種模型接觸應力計算結果表明:在接觸過程中經簡化后的接觸應力模型與齒輪接觸模型在接觸應力分布趨勢上相似度比較高，說明筆者提出的簡化模型在模擬齒輪嚙合過程中接觸應力方面具有一定的準確性和可行性.

圖8　接觸應力Fig.8　A distribution of contact stresses

3結論

根據Hertz接觸原理以及綜合曲率半徑的等效法將曲面之間的接觸等效成曲面與平面之間的接觸，并利用載荷分配系數提取了不同接觸位置的動力載荷，利用有限元分別對兩種模型進行接觸應力分析.分布曲線表明：兩種模型在接觸應力分布趨勢上相似度比較高，因此簡化模型的方法具有一定的合理性.由于齒輪的嚙合是一個連續的運動過程，可將簡化模型(特征曲面與平板的接觸)轉變成特征曲面凸輪與平板接觸的實驗模型.通過主動件凸輪的旋轉而達到不同綜合曲率半徑之間的接觸，可以模擬齒輪接觸過程的接觸應力變化，本研究可為齒輪接觸應力實驗分析提供一定的理論依據.

參考文獻：

[1]李碧波，李素有，吳立言，等．漸開線齒輪接觸應力分布規律的研究[J]．機械與電子，2010(6):69-71.

[2]LI Shuting. Gear contact model and loaded tooth contact analysis of a three-dimensional, thin-rimmed gear[J].Journal of mechanical design, 2002,124(3):511-517．

[3]張永棟，謝小鵬，廖錢生，等．基于有限元方法的齒輪接觸仿真分析[J]．滑與密封，2009，34(1)：49-51．

[4]李杰，孫青軍，王樂勤．漸開線齒輪的接觸分析[J].工程設計學報，2009，16(1)：27-31．

[5]楊凡，孫首群，于建華，等．齒輪嚙合過程中接觸力的精確分析[J]．機械傳動，2010，34(7)：56-59．

[6]WECK M, KRUSE A, GOHRITZ A. Determination of surface fatigue of gears material by roller test[J]. Journal of mechanical design,1978(100):433-439．

[7]唐銳，張敬東，張祺．新型齒輪傳動副建模及接觸分析[J]．機械傳動，2013，37(2)：76-79．

[8]馮劍軍，譚援強．基于Hertz理論圓柱和平面之間的滑動接觸分析[J]．摩擦學學報，2009(4):346-350.

[9]包家漢，張玉華，薛家國，等．齒輪嚙合過程齒間載荷分配的有限元分析[J].機械傳動，2004，28(5)：14-17．

[10]金壽松,徐澤俠,楊東坡，等.基于VB和AutoCAD的齒輪滾刀鑒定系統研究[J].浙江工業大學學報,2013,41(5):514-518.

[11]李慶遠．漸開線圓柱齒輪的載荷分配系數與齒間載荷分布系數[J]．昆明理工大學學報(理工版)，1986(4)：22-26.

[12]高創寬，李群.齒面粗糙紋理方向對輪潤滑的影響[J].工程設計報，2014(4)，393-397．

[13]金玉萍.QTZ63塔式起重機有限元分析[J].浙江工業大學學報，2010，38(3):242-245.

(責任編輯：劉巖)

Research of gear contact based on Hertz contact theory

HU Xiaxia, SONG Binbin, DAI Xiaoxia, LIU Xiaoman

(Key Laboratory of Special Purpose Equipment and Advanced Manufacturing Technology, Ministry of Education, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract:The problems of uneven load distribution and impact are caused by a curvature radius variation and a single-double meshing area in the process of gear meshing. Contact models and contact stresses are studied based on the Hertz contact theory. Synthetical curvature radii in different meshing positions are obtained after analysis, and by using an envelope line a continuous curve is drawn, and a characteristic surface based on the curve is generated. A gear contact model and a curved surface-plane contact model are analyzed through Finite Element method. The results indicate that the stress distributions of the two contact models are similar, the simplified gear contact model may provide a reference basis for gear contact stress experiment analysis.

Keywords:Hertz contact theory; synthetical curvature radius; finite element method; contact stress

中圖分類號：TH132.413

文獻標志碼：A

文章編號：1006-4303(2016)01-0019-04

作者簡介：胡夏夏(1963—)，男，浙江湖州人，教授，主要從事機械結構和動力學方面的研究，E-mail：xxhu@zjut.edu.cn.

收稿日期：2015-09-14