2種改進(jìn)的TOPSIS模型在地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用研究

顧學(xué)志，肖長(zhǎng)來，姜興明，梁秀娟，王岳航，婁 洋

(1.吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院，長(zhǎng)春 130021；2.吉林大學(xué) 地下水資源與環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130021)

地下水水環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)是隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展所造成的地下水環(huán)境問題日益突出而產(chǎn)生和發(fā)展起來的。目前，地下水資源問題在很大程度上是水質(zhì)問題，尤其是各種人類活動(dòng)改變了地下水水環(huán)境狀態(tài)，使地下水資源因?yàn)樗|(zhì)變化而難以利用，從而嚴(yán)重制約了社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展[1]。地下水質(zhì)量評(píng)價(jià)以地下水水質(zhì)調(diào)查分析資料或水質(zhì)監(jiān)測(cè)資料為基礎(chǔ)，雖然地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)方法有很多，如內(nèi)梅羅指數(shù)法、聚類分析法、模糊數(shù)學(xué)法等，但這些方法模型往往存在局限性，如評(píng)價(jià)方法中涉及評(píng)價(jià)因子的選取，一般采取專家評(píng)判法，容易發(fā)生重點(diǎn)不突出等問題。灰色聚類法及模糊評(píng)判法，需要構(gòu)造函數(shù)，存在一定的人為性，并且由于計(jì)算時(shí)丟失信息而導(dǎo)致評(píng)價(jià)結(jié)果與實(shí)際不符[2]。為了對(duì)水質(zhì)進(jìn)行更好的評(píng)價(jià)，筆者采用2種改進(jìn)的TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)模型及采用熵權(quán)法確定客觀因子權(quán)重，采用層次分析法確定主觀因子的權(quán)重對(duì)吉林市進(jìn)行地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)，以期達(dá)到更好的評(píng)價(jià)效果。

1 數(shù)據(jù)來源

采用在吉林市平原區(qū)8眼監(jiān)測(cè)井2006年的水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，通過對(duì)水質(zhì)數(shù)據(jù)的陰陽離子進(jìn)行平衡分析，被選取數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性得到很好的驗(yàn)證。以《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 14848-93)[3]為水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)，選取總硬度、總錳、總鐵、硝酸根、亞硝酸跟、硫酸根、及氟化物7項(xiàng)實(shí)測(cè)水質(zhì)指標(biāo)作為水質(zhì)影響因子，對(duì)8眼監(jiān)測(cè)井的水質(zhì)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

2 研究方法

2.1 傳統(tǒng)的TOPSIS方法

TOPSIS是理想值逼近排序法，是一種適用于以多屬性指標(biāo)為依據(jù)，對(duì)多個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行比較、排序的分析方法。通過構(gòu)造了n維屬性向量空間，確定正、負(fù)理想解，并求解各評(píng)價(jià)對(duì)象與正、負(fù)理想解之間的歐式距離，測(cè)度該評(píng)價(jià)對(duì)象在靠近正理想解的同時(shí)遠(yuǎn)離負(fù)理想解的疊加狀態(tài)，并將此疊加狀態(tài)作為衡量評(píng)價(jià)對(duì)象的綜合指標(biāo)[4]。但傳統(tǒng)的TOPSIS法有一定的局限性，當(dāng)2個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象位于正、負(fù)理想解之間的中垂線上時(shí)，對(duì)于正理想解的歐式距離可能與對(duì)于負(fù)理想解的歐式距離相等[5]，因此可能無法合理比較出這2個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的優(yōu)劣程度。

2.2 改進(jìn)的TOPSIS方法

2.2.1基于“垂面距離”的TOPSIS方法----正交投影法[6-9]

以三維空間為例，3個(gè)坐標(biāo)軸分別代表3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，A、B分別為評(píng)價(jià)方案中的正、負(fù)理想解。X、Y分別代表2個(gè)評(píng)價(jià)方案，這2個(gè)參評(píng)方案的垂面距離可概括為：以過正、負(fù)理想解A、B連線的直線為法向量，分別做經(jīng)過X點(diǎn)與經(jīng)過Y點(diǎn)的平面，如圖1所示，即2個(gè)平面X1X2X3X4與Y1Y2Y3Y4，此2個(gè)平面之間的距離，也就是X、Y在直線AB上的正交投影點(diǎn)P和Q之間的歐氏距離。設(shè)A、B、X、Y所對(duì)應(yīng)的向量分別為a、b、x、y，則X與Y的垂面距離為：

圖1 垂面距離示意圖Fig.1 Schematic diagram of vertical distance

正交投影法是以與理想解的“垂面距離”大小作為衡量評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，正交投影法在地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)中的具體計(jì)算步驟如下。

(1)建立評(píng)價(jià)集。設(shè)各水質(zhì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的集合為M=(M1，M2，…，Mm),評(píng)價(jià)指標(biāo)集N=(N1，N2，…，Nn),Mi對(duì)指標(biāo)Nj的值為aij，形成矩陣A=(aij)m×n：

(2)建立規(guī)范化矩陣以消除評(píng)價(jià)指標(biāo)具有不同的量綱對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果產(chǎn)生影響，因此需要建立規(guī)范化矩陣，對(duì)各組評(píng)價(jià)方案進(jìn)行無量綱化處理。即：

(1)

(3)將無量綱化矩陣與指標(biāo)權(quán)重向量相乘，得到加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣R=(rij)m×n：

rij=wjviji=1,2,…,m;j=1,2,…,n

(2)

(4)確定計(jì)算正理想解和負(fù)理想解。j個(gè)指標(biāo)的正理想解x+j及負(fù)理想解x-j,在地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)中：

(3)

(5)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到正理想點(diǎn)，平移后矩陣T=(tij)m×n：

tij=rij-x+ji=1,2,…,m;j=1,2,…,n

(4)

經(jīng)過平移后，正理想解變?yōu)閧0,0,…，0},負(fù)理想解變?yōu)椋?/p>

(5)

(6)計(jì)算各待評(píng)價(jià)方案與理想解的“垂面距離”D。經(jīng)過平移，此距離計(jì)算公式可簡(jiǎn)化為：

(6)

Di越小，水質(zhì)等級(jí)越低，水質(zhì)越好。

2.2.2基于Kullback-Leibler距離的TOPSIS方法----相對(duì)熵排序法[10]

文獻(xiàn)[10]通過實(shí)例分析證明了基于Kullback-Leibler距離的相對(duì)熵排序法有效地解決了中垂線上點(diǎn)的排序問題，并且證明了此方法的正確性及穩(wěn)定性?；贙L距離的TOPSIS法在地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)中的前4步與上述正交投影法的(1)、(2)、(3)、(4)相同，各監(jiān)測(cè)點(diǎn)各個(gè)指標(biāo)與正、負(fù)理想解之間的距離D+i、D-i采用KL距離來計(jì)算：

(7)

(8)

各監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)值與理想解的相對(duì)貼進(jìn)度:

(9)

根據(jù)Ci的大小對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分級(jí)排序，Ci越大，水質(zhì)越好。

3 權(quán)重的確定

權(quán)重的確定主要2種方法：一是主觀賦權(quán)法，如層次分析法，此方法雖然能充分反映專家的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)閷?fù)雜的問題層次化，將定性問題定量化，所以評(píng)價(jià)結(jié)果有較強(qiáng)的主觀性；二是客觀賦值法，如熵權(quán)法，權(quán)重由原始數(shù)據(jù)所包含的信息量大小來確定[11]。為了使評(píng)價(jià)結(jié)果更符合實(shí)際，根據(jù)主、客觀法的優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)，本文結(jié)合層次分析法確定主觀權(quán)重和權(quán)熵法確定客觀權(quán)重相結(jié)合的方法確定指標(biāo)權(quán)重[12]。

3.1 層次分析法確定主觀權(quán)重

層次分析法是采用1～9級(jí)及其倒數(shù)的評(píng)定標(biāo)度來描述各要素相對(duì)重要性的一種方法[13]。判斷矩陣主要由專家判定，記此判斷矩陣為M，并計(jì)算判斷矩陣特征值λ以及特征向量ω。在對(duì)特征向量ω進(jìn)行歸一化處理之前，首先要對(duì)判斷矩陣M進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，當(dāng)其排序結(jié)果具有滿意一致性的時(shí)候再進(jìn)行歸一化計(jì)算，從而得到權(quán)重向量W1。

3.2 權(quán)熵法確定客觀權(quán)重[14]

首先對(duì)判斷矩陣歸一化處理后得到判斷矩陣V=(vij)。確定評(píng)價(jià)指標(biāo)的熵值Hi：

(11)

最后對(duì)熵值進(jìn)行歸一化處理得到客觀權(quán)重W2：

(12)

3.3 確定組合權(quán)重W

組合權(quán)重計(jì)算公式：

(13)

W=(WZ1,WZ2,…,WZm)

(14)

4 實(shí)例分析

本文選擇的研究對(duì)象為位于吉林市平原區(qū)的8眼監(jiān)測(cè)井的水質(zhì)實(shí)測(cè)資料。吉林市位于吉林省中部偏東，地處長(zhǎng)白山區(qū)向松嫩平原過渡地帶，地貌類型較為復(fù)雜。研究區(qū)內(nèi)水系發(fā)育，由松花江、拉林河及牡丹江3個(gè)水系的部分河段及支流組成，水利資源蘊(yùn)藏量較為豐富。氣候?qū)贉貛Т箨懶约撅L(fēng)氣候，四季分明，夏季溫?zé)岫嘤?，冬季寒冷干燥?/p>

4.1 權(quán)重的確定

專家對(duì)地下水水質(zhì)因子權(quán)重的評(píng)估結(jié)果見表1。

表1 地下水水質(zhì)因子權(quán)重評(píng)估結(jié)果Tab.1 Weights assessment results of groundwater quality

根據(jù)表1建立判斷矩陣，采用Matlab計(jì)算判斷矩陣的最大特征值 ，特征向量λmax=(0.780 9，0.498 4，0.303 6，0.180 2，0.105 3，0.064 2，0.044 4)。一致性比率CR=0.04<0.08，說明排序結(jié)果滿意一致性較好。因此可以進(jìn)行歸一化處理，處理結(jié)果W1=(0.395 0，0.252 1，0.153 6，0.091 15，0.053 26，0.032 47，0.022 46)。采用熵權(quán)法確定客觀權(quán)重，根據(jù)公式(7)計(jì)算結(jié)果熵值權(quán)重向量W2=(0.088 3，0.223 4，0.164 8，0.141 6，0.132 4，0.135 6，0.113 9)。最后根據(jù)公式(10)計(jì)算組合權(quán)重，結(jié)果為W=(0.208 0，0.264 5，0.177 2，0.126 6，0.093 5，0.073 9，0.056 3)。

4.2 基于“垂面距離”的TOPSIS方法----正交投影法

吉林市各監(jiān)測(cè)井水質(zhì)數(shù)據(jù)及地下水質(zhì)量分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)見表2、表3。

表2 吉林市各監(jiān)測(cè)井水質(zhì)監(jiān)測(cè)結(jié)果 mg/L

表3 地下水水質(zhì)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn) mg/L

將5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的限值作為增廣矩陣參與本次運(yùn)算，并建立評(píng)價(jià)矩陣A，根據(jù)式(1)、(2)構(gòu)建加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Rij。

為了方便運(yùn)算，根據(jù)文獻(xiàn)[9]，將標(biāo)準(zhǔn)化矩陣每行、每列乘以相同的倍數(shù)P，正交投影法的評(píng)估結(jié)果將擴(kuò)大P2，不影響排序，評(píng)價(jià)結(jié)果不變。將Rij每行、每列同乘以100，得到矩陣Mij，根據(jù)(3)得到正理想解,將Mij平移至正理想解處，根據(jù)式(4)、(5)、(6),可計(jì)算出各監(jiān)測(cè)點(diǎn)和各指標(biāo)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)限值與正理想解的“垂面距離”，結(jié)果見表4、表5。

表4 各監(jiān)測(cè)點(diǎn)水質(zhì)實(shí)測(cè)值與正理想解的“垂面距離” Tab.4 “Vertical distance” between each water quality measure data and positive ideal solution

表5 各分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)與正理想解的“垂面距離” Tab.5 “Vertical distance” between each classification standard limits and positive ideal solution

將各監(jiān)測(cè)點(diǎn)水質(zhì)實(shí)測(cè)值及水質(zhì)等級(jí)限值的垂面距離進(jìn)行排序，由此可以得出基于“垂面距離”的TOPSIS方法----正交投影法的水質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果，見表6。

表6 幾種水質(zhì)評(píng)價(jià)方法評(píng)價(jià)水質(zhì)的評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of the evaluation results of several water quality evaluation method

4.3 基于Kullback-Leibler距離的TOPSIS方法----相對(duì)熵排序法

基于Kullback-Leibler距離的TOPSIS方法評(píng)價(jià)地下水水質(zhì)的計(jì)算過程中的前2步：構(gòu)建增廣矩陣、加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化增廣矩陣，與上述正交投影法評(píng)價(jià)地下水水質(zhì)的計(jì)算過程中前2步相同。根據(jù)公式(7)、(8)，可計(jì)算得各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的各個(gè)指標(biāo)實(shí)測(cè)值及各級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)的限值與正、負(fù)理想解之間的距離，根據(jù)公式(9)可得出各個(gè)指標(biāo)實(shí)測(cè)值及各級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)的限值與理想解的相對(duì)貼近度，見表7、8。

表7 各分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)限值與理想解的相對(duì)貼近度Tab.7 Relative closeness between each classification standard limits and ideal solution

表8 各檢測(cè)點(diǎn)水質(zhì)實(shí)測(cè)值與理想解的相對(duì)貼近度Tab.7 Relative Closeness between each water quality measure data and Positive ideal solution

將各監(jiān)測(cè)點(diǎn)水質(zhì)實(shí)測(cè)值及水質(zhì)等級(jí)限值與理想解的相對(duì)貼近度進(jìn)行對(duì)比排序，由此可得出基于Kullback-Leibler距離的TOPSIS方法----相對(duì)熵排序法的水質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果，見表6、圖2。

圖2 幾種水質(zhì)評(píng)價(jià)方法評(píng)價(jià)水質(zhì)的評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)比Fig.2Comparison chart of the evaluation results of several water quality evaluation method

4.4 綜合分析

為了驗(yàn)證2種改進(jìn)的TOPSIS法在地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)中的評(píng)價(jià)結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文引入Nemerow法及模糊數(shù)學(xué)法，將此4種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)比分析，見表6及圖2，同時(shí)把水質(zhì)級(jí)別Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ以及Ⅴ轉(zhuǎn)化為數(shù)字1、2、3、4以及5，以便做折線圖，使對(duì)比結(jié)果更直觀。由圖2可知，從總體上來說，基于“垂面距離”的TOPSIS方法----正交投影法與Nemerow法及模糊數(shù)學(xué)法的評(píng)價(jià)結(jié)果較為接近，大部分評(píng)價(jià)結(jié)果差異控制在一個(gè)等級(jí)之內(nèi)，水樣G031及G045的Nemerow法評(píng)價(jià)結(jié)果稍高，原因是Nemerow指數(shù)沒有考慮每個(gè)因子的權(quán)重。雖然有些評(píng)價(jià)結(jié)果的差異在2個(gè)等級(jí)，但是可以綜合Nemerow法、模糊數(shù)學(xué)法及基于“垂面距離”的TOPSIS方法，來對(duì)水質(zhì)數(shù)據(jù)更加客觀地評(píng)價(jià)分析。然而基于Kullback-Leibler距離的TOPSIS方法----相對(duì)熵排序法與上述3種方法在大部分監(jiān)測(cè)點(diǎn)的評(píng)價(jià)結(jié)果相差較大，主要表現(xiàn)為評(píng)價(jià)結(jié)果等級(jí)普遍偏低，水質(zhì)普遍偏優(yōu)，說明此方法存在其自身的弊端，有一定的適用范圍，并不能適用于所有水質(zhì)評(píng)價(jià)。

5 結(jié) 論

通過實(shí)例證實(shí)，采用主客觀相結(jié)合的賦權(quán)法對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行賦權(quán)，并且以“垂面距離”替代傳統(tǒng)的歐式距離對(duì)地下水水環(huán)境狀況進(jìn)行評(píng)價(jià)，并與Nemerow法及模糊數(shù)學(xué)法的評(píng)價(jià)結(jié)果作對(duì)比分析，此3種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果較為接近，可以在地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)中相互對(duì)比分析?；凇按姑婢嚯x”的TOPSIS方法----正交投影法為地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)提供一種新方法。但是以Kullback-Leibler距離來替代傳統(tǒng)的歐式距離對(duì)地下水水環(huán)境狀況進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到的評(píng)價(jià)結(jié)果等級(jí)普遍偏低，有一定的適用范圍，沒有普適性，其適用條件還需作進(jìn)一步研究分析。

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