水下量子通信的數值模擬及誤碼率分析?

趙士成， 史　鵬， 李文東， 顧永建

(中國海洋大學信息科學學院， 山東 青島 266100)

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水下量子通信的數值模擬及誤碼率分析?

趙士成， 史鵬， 李文東， 顧永建??

(中國海洋大學信息科學學院， 山東 青島 266100)

摘要：水下量子密鑰分配可以為水下通信提供絕對安全的保密手段。本文采用蒙特卡洛方法，結合海水信道的光學性質和光子的量子特性模擬了光子在海水中的傳輸過程，研究其衰減和偏振特性，計算了接收到的光子數隨接收端口徑、視場角和傳輸距離的變化，從保真度的角度分析散射光的偏振變化情況，并結合背景光的影響分析了水下量子通信誤碼率。結果表明，水下量子通信理論上可以實現百米量級的安全通信。

關鍵詞：量子通信；蒙特卡洛模擬；保真度；海水信道；量子誤碼率

ZHAO Shi-Cheng, SHI Peng, LI Wen-Dong, et al. Simulation and QBER analysis of underwater quantum communication[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(2): 131-137.

在水下傳感網絡、潛艇、各種水下航行器等水下系統通信需求的強烈驅動下，近年來水下無線光通信技術得到了迅速發展，水下量子密鑰分配技術可以為其提供絕對安全的保密手段。1984年Bennett和Brassard[1-2]提出了第一個安全的量子密鑰分配協議——BB84協議，之后又成功完成第一個量子密鑰分配實驗[3]，開創了量子密碼理論和實驗的先河。隨后，量子密碼在理論和應用方面都得到了蓬勃發展。作為最基本的量子密鑰分配方案，BB84協議安全性已經被證明[4-6]，自由空間量子密鑰分配距離達到144km[7]。自由空間中的量子通信發展已經較為成熟，趨于實用化，而國際上水下量子通信的研究則剛剛展開，美國ITT公司[8]對水下量子通信的可行性做出了論證，但國內尚未開始進行水下量子通信的研究。

光作為信息載體速度快、效率高，但對于水下通信，由于其信道是海水信道，其衰減比在自由空間中嚴重，傳輸距離也將受到限制。經典的水下光通信研究中，Sermsak Jaruwatanadilok[9]研究了海水信道對通信的影響并對光的偏振變化情況做出了相關研究，但考慮到光子的量子特性，其研究并不能完全適用于水下量子通信。水下量子通信中，信息載體是單光子，單光子與海水中顆粒物質作用后，每次作用光子都將概率性的被吸收，此外，海水中顆粒物質可以認為是隨機分布[10]的，處理隨機性問題一般采用蒙特卡洛方法。基于以上背景，本論文結合海水信道的光學性質和量子力學基本原理，對水下量子通信中的偏振光子進行了蒙特卡洛模擬，研究了偏振光子在海水信道中的傳輸特性并對水下量子通信的誤碼率進行了分析。

1信道模型與分析方法

水下量子通信可以為水下通信提供絕對安全的保密手段，水下量子通信的示意圖見圖1。

圖1　水下量子通信示意圖

1.1 海水信道

光在海水中傳輸將會由于和海水相互作用而衰減，因而，光在海水中的傳輸距離受到限制，但對于藍綠波段的可見光[11-12]而言，其衰減作用則相對較弱，本文主要研究此波段的光在受到海水的吸收和散射作用時的傳輸特性。真實的海水成分復雜，但根據其對光的作用不同可將海水中光學性質重要的成分作如下劃分：對吸收起主要作用的是純海水、浮游生物、有機碎屑和黃色物質；對散射起主要作用的是浮游生物、礦物質和碎屑。

考慮到在不同水體中光的衰減程度也會不同，研究水下量子通信，參考Underwater communication一書中列出的波長480nm的光在3種Jerlov型水體(I,II,III)的光學性質進行研究，對于這3種水體480nm波長的光衰減系數分別為0.03、0.18、0.3m-1。觀測表明，通常采用一粒徑分布函數就可以描述海水中光學性質重要的粒子，其表達式如下[10]：

(1)

式中：D0是參考直徑；K是直徑為D0的粒子數密度，對于不同的粒子，各參數的取值也會不同。對于海洋顆粒物來說，ε的取值一般其值在2～5之間，典型值在3～4之間。為了使模型簡化，本文做了一個基本假定——研究的粒子均為球形粒子；此外為了簡化計算，在程序中將海水及其溶解物對光子的影響和粒子對光子的影響分別計算。

研究中需要考慮環境光的強弱，本文研究的背景光主要考慮從海面入射的環境光。根據海水的深度不同有如下公式[13]：

(2)

1.2Mie散射理論

斯托克斯矢量可以完全描述一個光子的偏振，可以用以下表達式來描述[14]：

(3)

(4)

(5)

(6)

公式中下標表示散射次數。

1.3 量子誤碼率和保真度

誤碼率是量子通信的一個重要參數，誤碼率的大小反應了通信的安全性。對于BB84協議，在僅考慮背景光和散射光時，計算誤碼率的公式如下[8]：

(7)

式中：Ω是探測器的立體角；h是普朗克常量；N1是衰減后剩余的光子總數；N2是散射噪聲；Δλ是譜線寬度；Rd是環境輻照度；c是光速；Δt是脈沖周期；Δt'是開門時間；A是探測器面積，N1和N2。通過程序模擬求得。

(8)

保真度的范圍在0～1之間。保真度為0意味著這2個態正交；保真度越接近于1，表明這2個狀態相似程度越高，當保真度為1時，這2個狀態相同。

2水下量子通信中光傳輸的Monte Carlo模擬

2005年，Jessica C. Ramella-Roman等人介紹了3種矢量蒙特卡洛模擬方案[17]，其中歐拉蒙特卡洛方法在散射時候對斯托克斯矢量旋轉次數少，大大減少了計算量，我們根據海水中粒徑分布和光子散射時候的量子效應對其做了修改，并用修改后的程序模擬了光子在海水信道中的傳輸過程，具體的模擬流程見圖2。

圖2　蒙特卡洛模擬流程圖

2.1 發射光子和確定散射步長

初始時刻假定光子沿著Z軸正方向(0,0,1)入射，初始位置為(0,0,0)，確定一個初始參考平面(例如XOZ)，入射Stokes矢量s。根據該參考平面規定。光子在介質中傳播時滿足以下公式：

N=N0e-(ua+us+um)l。

(9)

式中：ua,us和um分別代表粒子的吸收系數、粒子的散射吸收和海水(包括溶解物)的吸收系數；l是傳輸距離；N0是初始時刻發射的光子數；散射步長ΔL為：

(10)

P是(0,1]之間的隨機數，每產生一個散射步長，該光子在此處碰到粒子。

2.2 確定發生碰撞的散射體

(11)

根據此概率可以對碰撞粒子進行抽樣，確定與光子相互作用的粒子參數。

2.3 散射角和方位角

Mie理論的一個基本問題就是散射角和方向角的確定，在本程序中是通過舍選法根據散射相函數求得散射角和方位角，散射相函數[18]為：

(12)

舍選法選擇散射角和相位角的過程是：利用隨機數程序隨機的產生一個0～1之間的數Pr，一個0～θ之間的隨機角度θ和一個0～φ之間的角度φ，如果這2個角度滿足Pr≤P(θ,φ)，則認為該角度θ是本次散射的散射角，φ是本次散射的方位角；如果Pr≥P(θ,φ)，則重新產生一個隨機數和2個隨機角度進行比對，直至產生合適的角度。

2.4 傳輸終止的判定

定義權重因子W=μs/(μa+μs)，表示的是光子在碰撞時的生存幾率。在本文中，根據量子力學判斷光子在碰撞時是否被吸收[13]，每次光子和粒子相互作用時，光子都有一定的概率被吸收，在程序中處理過程如下：產生一個隨機數P和W進行比較，如果P>W，則光子被吸收；如果P

(13)

根據光子打在探測器的位置和方向判斷該光子是否在探測器允許的范圍內，若是，則記錄數據，如不是，則不記錄數據，發射下一個光子，直至發射到最后一個光子。

3結果和討論

本文通過蒙特卡洛模擬程序研究了光子在一類水體中的傳輸特性，考慮到一類水體顆粒物中浮游生物占大多數，為簡化計算，模擬參數主要參考浮游生物的參數；另外，由于黃色物質的主要來源是陸生植物[10]，因而在研究開闊大洋中的光傳輸時也不考慮黃色物質的影響。主要模擬參數見表1。

表1　關鍵模擬參數

Note：①Wavelength;②Refractive index of the particle;③Number of launched photons;④Index of particle size distribution;⑤Range of particle size distribution

3.1 光的衰減

首先模擬了在3種不同渾濁度的海水中光的衰減情況，模擬結果見圖3。光子在海水中傳輸，隨著距離增加探測到的光子數在不斷減少，對于不同渾濁度的海水，最大的傳輸距離也不相同，對于Ⅱ和Ⅲ的2種海水傳輸至30和20m處時幾乎接收不到光子，因而，為了保證通信距離，主要考慮在清澈海水中光子的傳輸情況。但對于最清澈的海水量子通信的傳輸距離也被限制在百米量級，在傳輸距離為100m處，接收到的光子數為發射光子數的4.9%左右，這和理論值5%也很接近。

圖3　光子數隨距離的變化

圖4　光子數隨孔徑的變化

圖5　光子數隨視場角的變化

此外，研究了光子數隨接收端口徑和視場角(FOV)的變化。圖4和5是傳輸至60m處光子數隨口徑和視場角的變化，從圖中數據可以看出，雖然光子數隨著口徑和視場角的增加呈增加趨勢，但是其增加程度很低，探測器直徑從4cm增加至50cm時，光子數增加量最大約為8%；視場角從174mrad增加至522mrad時，光子數增加量最大約為1%，并且視場角增加到一定程度后，曲線趨于平緩。因此可以認為，口徑和視場角大小對成碼率有影響，但影響結果并不明顯。因此在進行水下量子通信選擇口徑和視場角時，應主要考慮口徑和視場角對誤碼率的影響。

3.2 保真度

光子發生散射以后，其偏振態會發生變化，散射光子將會帶來誤碼，故研究散射光的狀態變化情況對于分析誤碼率是十分必要的，對于接收到的光子狀態變化，本文從保真度的角度來研究。圖6是研究保真度隨著傳輸距離(探測器直徑為20cm，視場角為174mrad)的變化情況。

從圖6可以看出，光子的保真度接近于1，說明接收到的光子狀態和光子初始狀態近似相同。分析結果出現的原因：首先，探測到光子大部分是未經散射的；其次，散射光子中絕大多數發生一次(超過99%)小角度散射就被探測到。可以得出以下結論：對于本文研究的水下量子信道模型，散射光子的偏振態變化不大，誤碼的來源應主要考慮背景光。

3.3 誤碼率

研究在幾種不同的天氣情況下(1晴朗天氣，滿月；2晴朗天氣，僅有星光；3陰天夜間)海水信道中(深度選為200m)量子通信誤碼率的變化情況。模擬程序中激光器參數選擇如表2所示[8]：環境福照度根據Light and Water[13]一書中所列的輻照度對于滿月的晴朗天氣Rd(0)=1×10-3W·m-2，對于晴朗星空Rd(0)=1×10-6W·m-2，對于陰天夜間Rd(0)=1×10-7W·m-2。

圖7描述了在3種不同天氣情況下誤碼率隨著口徑和視場角的變化情況。從圖中可以看出：散射光引起的誤碼率數幾乎為0，遠遠小于背景光對誤碼率帶來的影響；在考慮到背景光之后，誤碼率的變化隨著口徑和視場角增加相當明顯，當口徑和視場角到達一定值以后，由于誤碼率過高，通信的安全性已經無法得到保證，而考慮到口徑和視場角對光子數目的增加影響并不是特別明顯，因而在進行水下量子通信的時候，以小視場角和小口徑為宜。

對于BB84協議，當誤碼率小于25%時，通信對于簡單的攔截-重發攻擊是安全的；誤碼率小于10%時，通信是絕對安全的[17]。

表2　誤碼率計算參數取值

Note：①Wavelength bandpass;②Solid angle;③Wavelength;④Gate time;⑤Bit peniod;⑥Fov

圖6　保真度隨距離的變化

圖7　誤碼率隨探測孔徑和視場角的變化

圖8是在接收端半徑5cm，視場角為174mrad條件下模擬所得的誤碼率隨距離變化的曲線，可以看出，對于陰天夜間這種天氣條件，量子通信的誤碼率在距離為130m處為8.45%，此時可以進行絕對安全的量子通信；對于晴朗天氣下僅有星光的天氣，量子通信在60和105m處的誤碼率分別為10%和24.4%，在60m處進行通信是絕對安全的，在105m處進行通信可以抵抗簡單的攔截-重發攻擊。

圖8　誤碼率隨距離的變化

4結語

本文結合海水信道的光學性質以及光子與粒子作用時的量子效應，對標準的蒙特卡洛算法進行了必要的修改，通過修改后的蒙特卡洛算法模擬了偏振光子在海水中的傳輸過程。考慮到光子的衰減情況，以清澈海水為例，計算了光子的衰減情況和偏振態變化情況，并研究了在幾種不同天氣情況下的誤碼率。對于本文研究的水下量子信道模型，由于海水的吸收作用，水下量子通信的距離被限制在百米量級；隨著口徑和視場角的增加，探測到光子數的增加并不太明顯，但是在考慮到背景光的影響之后，其對誤碼率的影響則相當嚴重，因而水下量子通信中，應以小口徑和小視場角為宜；在小口徑和小視場角的條件下，信道中粒子散射引起的光子偏振態變化很微弱，其對誤碼率幾乎沒有影響；通過對誤碼率的分析，當背景光較弱時(如夜間)，在清澈的海水中進行量子通信,理論上可以實現百米量級的安全通信。

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責任編輯陳呈超

Simulation and QBER Analysis of Underwater Quantum Communication

ZHAO Shi-Cheng, SHI Peng, LI Wen-Dong, GU Yong-Jian

(College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:Underwater quantum key distribution (QKD) can provide absolute security for underwater communication. In this paper, we study the attenuation and depolarization of photons propagating underwater with Monte Carlo method, based on the Mie scattering theory and the vector Radioactive transport theory and combined with the optical properties of ocean and the quantum properties of photons. Firstly, we set up an ocean channel modeling. The ocean water in our model is considered as the mixture of pure seawater and some kinds of particles meeting a certain particle size distribution, and the effects of ocean on the photons that we mainly consider are absorption and scattering. The absorption will mainly affect the number of detected photons and the scattering will affect both the number and the polarization states of the detected photons. Secondly, we simulate the transmission of photons in the clearest ocean when the attenuation coefficient is 0.03/m. Because bit rate and quantum bit error rate (QBER) are two important parameters in QKD, we then investigate the varying of the number of detected photons, which will directly affect the bit rate, with the distance, aperture and field of view(FOV) of the detector, and we analyze the depolarization of the detected photons, which will directly affect the QBER. Finally, we study the QBER of underwater QKD when background noise is considered. Our simulation results show that, because of the effect of water, the transmission distance is limited at a level of 100 meters, where the number of detected photons will keep around 4.9% of the initial one, which is close to the theoretical result, 5% . When the distance is 60m, the number of detected photons increase by at most about 8% as the aperture of the detector increase from 4cm to 50cm and by at most about 1% as the FOV increase from 174mrad to 522mrad. When the aperture of the detector is 20cm and the FOV is 174mrad, the fidelity of detected photons keeps close to 1, which means that the polarization states of most of the detected photons keep unchanged or change a little. When we consider the effect of background noise on the QBER under the condition that the aperture of the detector, FOV and the irradiance is 5cm, 174mrad and 1×10-6Wm2separately, the QBER is 10% at the distance of 60 meter, which is absolutely secure for any kind of attack, and 24.4% at the distance of 105 meter, which is able to resist intercept and re-send attack. Our conclusion is that when background noise is weak it is theoretically feasible to have absolutely secure underwater QKD up to about 60m in the clearest ocean and secure against simple intercept and re-send attacks up to more than 100m in the same type of ocean water.

Key words:quantum communication; fidelity; Monte Carlo simulation; ocean channel; Quantum Bit Error Rate(QBER)

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140121

中圖法分類號：O4-39；O43；P733.3+2

文獻標志碼：A

文章編號：1672-5174(2016)02-131-07

作者簡介：趙士成(1987-)，男，博士。E-mail：zhaosc1987@126.com??通訊作者： E-mail:guyj@ouc.edu.cn

收稿日期：2014-04-09；

修訂日期：2015-07-12

基金項目：? 國家自然科學基金項目(60677044；11005099)；中央高校基本科研業務費專項資金(201313012)資助

引用格式：趙士成， 史鵬， 李文東, 等. 水下量子通信的數值模擬及誤碼率分析[J]. 中國海洋大學學報(自然科學版)， 2016, 46(2)： 131-137.

Supported by Natural Science Foundation of China(60677044；11005099); The Fundamental Research Funds for the Central Universities(201313012)