淺談數學中函數定義域優先問題

江西省豐城中學 張 璐

淺談數學中函數定義域優先問題

江西省豐城中學 張 璐

思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現。它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質。函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。

函數關系式 函數最值 函數值域 函數單調性 函數奇偶性

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式就可能是錯誤的。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：S=x（50-x），

故函數關系式為：S=x（50-x）．

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就是說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0

即：函數關系式為：S=x（50-x）（0

二、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1

剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函數，

所以當t=0時，ymin=1．

故所求的函數值域是[1，+∞）．

三、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。

四、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

綜上所述，在求解函數關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。