整式加減有高招

□朱元生

整式加減有高招

□朱元生

整式的加減是一種非常重要的運算，也是學好初中數學的基礎.整式加減的實質就是“去括號”和“合并同類項”法則的綜合運用.現就整式加減各個環節的解題高招，分類闡述如下.

一、兩同兩無關——識別同類項

例1指出下列多項式中的同類項.

分析：（1）與－yx3，系數及字母的排列順序雖然不同，但它們所含的字母及相同字母的指數分別相同，故為同類項；與－2xy3，系數不同，但它們所含的字母及相同字母的指數也分別相同，故為同類項；3與都不含字母，它們是常數項，也是同類項；

解：（1）與－yx3是同類項；與－2xy3是同類項；3與是同類項.

點評：同類項不僅要求所含字母相同，而且相同字母的指數也應分別相同，與字母的排列順序無關，與系數無關.另外所有的常數項都是同類項.

二、一相加二不變——合并同類項

合并同類項，就是把同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變.

例2合并下列多項式中的同類項：

（1）8x2y－4xy2－2xy＋3xy2－8x2y＋5xy；

（2）a2b2＋2ab－7a2b2－－1＋5a2b2.

分析：首先要找出同類項，然后再按照法則進行合并.在多項式（1）中，8x2y和－8x2y是同類項，它們合并的結果為0；－4xy2和3xy2是同類項，它們合并的結果為－xy2；－2xy和5xy是同類項，它們合并的結果為3xy.在多項式（2）中，a2b2，－7a2b2，5a2b2是同類項，它們合并的結果為－a2b2；2ab，是同類項，它們合并的結果為

解：（1）8x2y－4xy2－2xy＋3xy2－8x2y＋5xy

＝（8x2y－8x2y）＋（－4xy2＋3xy2）＋（－2xy＋5xy）

＝－xy2＋3xy.

（2）a2b2＋2ab－7a2b2－ab－1＋5a2b2

＝（a2b2－7a2b2＋5a2b2）＋（2ab－ab）－1

＝－a2b2－ab－1.

點評：合并同類項的依據是加法的交換律、結合律，乘法的分配律和有理數的加法法則.在合并同類項時，我們可以采用標記的方法，在同類項的下方標出相同的符號，這樣出現問題也容易查找根源.

三、負變正不變——運算更簡便

去括號的法則是：括號前面是“＋”號，把括號和它前面的“＋”號去掉，括號內的各項都不變號；括號前面是“－”號，把括號和它前面的“－”號去掉，括號內的各項都要改變符號.

例3 先去括號，再合并同類項：

（1）（5a2－2a－3ab＋b2）－（5a2－ab）；

分析：分別按照去括號和合并同類項的法則進行運算.

解：（1）（5a2－2a－3ab＋b2）－（5a2－ab）

＝5a2－2a－3ab＋b2－5a2＋ab

＝－2a－2ab＋b2.

＝（6xy－6x）＋（－6xy＋2y－1）

＝6xy－6x－6xy＋2y－1

＝－6x＋2y－1.

點評：當括號外面有因數時，要用這個因數遍乘括號內的各項，然后再根據去括號法則去掉括號.特別要注意，括號前面是“－”號，把括號和它前面的“－”號去掉，括號內的各項都要改變符號，如果有同類項，還應合并同類項.

四、先化簡再求值——事半功倍

例4先化簡、再求值：

（1）（4a2－3a）－（2a2＋a－1）＋（2－a2－4a），其中a＝－2.

（2）4xy－[（x2＋5xy－y2）－（x2＋3xy－2y2）]，其中x＝

分析：整式的加減實質上就是“去括號”和“合并同類項”法則的綜合運用.有括號，要先去括號，有同類項，再合并同類項，最后代入求值.

解：（1）（4a2－3a）－（2a2＋a－1）＋（2－a2－4a）

＝4a2－3a－2a2－a＋1＋2－a2－4a

＝a2－8a＋3.

當a＝－2時，原式的值為（－2）2－8×（－2）＋3＝23.

（2）4xy－[（x2＋5xy－y2）－（x2＋3xy－2y2）]

＝4xy－（x2＋5xy－y2）＋（x2＋3xy－2y2）

＝4xy－x2－5xy＋y2＋x2＋3xy－2y2＝2xy－y2.

點評：化簡實質上就是通過去括號和合并同類項，把繁瑣的式子化成最簡形式，這樣再求值就能收到事半功倍的效果.

五、整體代換——方法獨特

例5 （1）已知a2＋2a＋1＝0，試求2a2＋4a－5的值.

（2）已知a2＋bc＝14，b2－2bc＝－6，試求3a2＋4b2－5bc的值.

分析：（1）根據現有知識，無法求得a的值.觀察所求式與已知式，可將它們適當變形，再整體代入，比較簡便；

（2）由已知條件，顯然無法直接求得a，b，c的值，這時可將待求式3a2＋4b2－5bc變形，用已知式表示為3（a2＋bc）＋4（b2－2bc），再把已知條件整體代入，問題則化難為易.

解：（1）由a2＋2a＋1＝0，可得a2＋2a＝－1.

則2a2＋4a－5＝2（a2＋2a）－5＝2×（－1）－5＝－7.

（2）3a2＋4b2－5bc＝3（a2＋bc）＋4（b2－2bc）＝3×14＋4×（－6）＝18.

點評：代數式的條件求值有較強的靈活性和技巧性，解題時往往要采用一些特殊的方法和技巧，而“整體代換”則是條件求值最常用的方法之一.根據題目的結構特點，尋求已知條件與待求式之間的內在聯系，巧妙代換，會使問題化難為易.

六、特殊值代換——別有洞天

例6 若（3x＋1）4＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，試求a－b＋c－d＋e的值.

分析：由已知條件難以求得待求式中字母的具體數值，也就無法求得代數式的值，但是我們可以根據條件，在取值范圍內賦予字母特殊值，代入計算，會使問題變簡捷.

解：取x＝－1，

代入可得[3×（-1）＋1]4＝a·（－1）4＋b·（－1）3＋c·（－1）2＋d·（－1）＋e.

整理可得：a－b＋c－d＋e＝16.

點評：這種根據條件在取值范圍內賦予字母的特殊值，再代入計算的方法，也可謂匠心別具.

其實，條件求值的方法和技巧還有很多，只要大家用心體會，相信隨著知識的不斷積累，同學們定會掌握越來越多的條件求值的好方法.