非線性擾動(dòng)方程研究平面混合層發(fā)聲機(jī)制

張程遠(yuǎn)，方一紅

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津300072)

非線性擾動(dòng)方程研究平面混合層發(fā)聲機(jī)制

張程遠(yuǎn)，方一紅*

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津300072)

在流動(dòng)過程中由脈動(dòng)引起的噪聲問題在自然界和工業(yè)界中廣泛存在，研究流動(dòng)過程中不穩(wěn)定波的發(fā)聲機(jī)制對(duì)于理解、預(yù)測(cè)并最終控制氣動(dòng)噪聲有著重要意義。本文以二維Blasius相似性解作為基本流場，以超聲速混合層作為研究對(duì)象，采用非線性擾動(dòng)方程(NLDE)研究超聲速混合層不穩(wěn)定波的近場動(dòng)力學(xué)特性與遠(yuǎn)場聲輻射之間的內(nèi)在聯(lián)系。針對(duì)不同類型的對(duì)流馬赫數(shù)，分別研究對(duì)流馬赫數(shù)Mc=0.5(＜1)和Mc=1.2(≥1)兩種情況下的擾動(dòng)發(fā)聲機(jī)制，結(jié)果表明:當(dāng)對(duì)流馬赫數(shù)Mc＜1時(shí)，流場中的發(fā)聲機(jī)制主要由大尺度結(jié)構(gòu)的渦條發(fā)聲，且基本波與亞諧波之間的非線性作用能增強(qiáng)輻射強(qiáng)度;當(dāng)對(duì)流馬赫數(shù)Mc≥1時(shí)，根據(jù)擾動(dòng)相速度是相對(duì)于上層還是下層自由流速度為超聲速，可以進(jìn)一步分為快慢兩種模態(tài)，分別對(duì)快慢兩種模態(tài)以及其相互作用模態(tài)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，計(jì)算得到流場中的發(fā)聲機(jī)制是以馬赫波形式輻射向遠(yuǎn)場，即馬赫波輻射，其輻角的計(jì)算結(jié)果與理論值相符。

非線性擾動(dòng)方程;超聲速混合層;對(duì)流馬赫數(shù);渦條發(fā)聲;快慢模態(tài);馬赫波輻射

0 引言

流動(dòng)中由脈動(dòng)導(dǎo)致的噪聲問題在航空和自然工業(yè)中廣泛存在，例如發(fā)動(dòng)機(jī)射流噪聲、機(jī)翼和旋翼噪聲、燃?xì)庠肼暤龋殡S著航空航天飛行器的發(fā)展，由非定常氣動(dòng)力產(chǎn)生的氣動(dòng)噪聲對(duì)環(huán)境造成了嚴(yán)重地污染，氣動(dòng)噪聲問題開始得到大家的重視，在此期間，相關(guān)的科研人員開始著手氣動(dòng)噪聲問題的研究，隨之形成了氣動(dòng)聲學(xué)這門學(xué)科［1］。流動(dòng)中的強(qiáng)剪切區(qū)域一般具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，最終將導(dǎo)致大范圍內(nèi)的時(shí)間和空間尺度的湍流結(jié)構(gòu)。湍流噪聲是流動(dòng)中的雷諾應(yīng)力輻射的噪聲，從穩(wěn)定性理論的角度來看，對(duì)于可壓縮流動(dòng)來說，流體中的不穩(wěn)定波與聲音的產(chǎn)生存在著直接的聯(lián)系，因此研究流動(dòng)過程中不穩(wěn)定波的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)于理解、預(yù)測(cè)并最終控制氣動(dòng)噪聲是十分必要的。這也引起了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的日益重視［2］。

流動(dòng)中不穩(wěn)定波與聲輻射之間是如何聯(lián)系在一起的?近年來已經(jīng)有許多學(xué)者開始研究二者之間的內(nèi)在聯(lián)系。Colonius等［3］和Bogey等［4］采用直接數(shù)值模擬研究二維平面混合層聲輻射問題，Mitchell等［5］利用數(shù)值模擬的方法研究對(duì)稱渦結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的聲場，李曉東和高軍輝［6］使用線性Euler方程研究二維平行剪切層聲波產(chǎn)生和輻射，邢超和羅紀(jì)生［7］使用直接數(shù)值模擬研究聲波與剪切層的相互作用，Tam等［8-9］等使用漸進(jìn)展開的方法在無粘和局部平行流假設(shè)的前提下研究剪切層中不穩(wěn)定波與聲輻射之間的關(guān)系，Wu［10-11］使用漸進(jìn)分析的方法結(jié)合三層結(jié)構(gòu)理論，將流場分為粘性亞層、主層和勢(shì)流層，研究了剪切層中的聲輻射問題，Bertolotti等［12］使用線性拋物化穩(wěn)定性方程(Parabolized Stability Equations，PSE)研究射流聲輻射問題，這些研究主要還是從單個(gè)擾動(dòng)波的演化性質(zhì)著手，入口加入的擾動(dòng)初始幅值較小，對(duì)不穩(wěn)定波的非線性作用考慮較少。

相比于線性不穩(wěn)定波的特性，對(duì)于非線性不穩(wěn)定波的近場動(dòng)力學(xué)特性和遠(yuǎn)聲場輻射之間的內(nèi)在聯(lián)系方面的研究較少，Cheung等［13］使用線性和非線性PSE研究二維可壓縮剪切層聲輻射問題，在亞聲速剪切層中出現(xiàn)了渦條結(jié)構(gòu)，但是并沒有很好地捕捉到遠(yuǎn)聲場的特性，可能的原因是PSE在法向上采用的是齊次邊界條件，而且PSE方法假設(shè)沿流向是緩慢變化，但混合層的增長速度較快，擾動(dòng)在向下游演化過程中會(huì)受到強(qiáng)非平行性影響，這些都會(huì)影響到流場和聲場信息的捕捉。

為了進(jìn)一步研究剪切層中不穩(wěn)定波與聲輻射之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，本文采用非線性擾動(dòng)方程(Nonlinear Disturbance Equations，NLDE)研究二維超聲速可壓縮混合層的聲輻射問題。同時(shí)考慮了非線性相互作用和非平行性的影響，數(shù)值模擬了對(duì)流馬赫數(shù)Mc＜1和Mc≥1兩種情況下不穩(wěn)定波的擾動(dòng)演化，給出了不同情況下擾動(dòng)演化的計(jì)算結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上研究擾動(dòng)波的發(fā)聲機(jī)制。

1 控制方程

對(duì)當(dāng)前混合層的穩(wěn)定性分析，采用非線性擾動(dòng)方程的分析方法，推導(dǎo)擾動(dòng)方程的基本思想是:將二維可壓縮N-S方程中的守恒量分解為基本流與擾動(dòng)量之和的形式并帶到N-S方程中，去掉滿足定常流N-S方程的基本流項(xiàng)，經(jīng)過化簡可得到擾動(dòng)方程，方程形式如下:

粘性擾動(dòng)項(xiàng):

2 差分格式和邊界條件

計(jì)算過程中，粘性項(xiàng)采用六階中心差分格式，具體形式如下:

對(duì)流項(xiàng)采用通量分裂，對(duì)正通量E+和負(fù)通量E－在空間上采用五階弱迎風(fēng)緊致格式:

時(shí)間項(xiàng)采用非TVD特性的四階四步Runge-Kutta格式:

對(duì)于每一個(gè)邊界，都有四個(gè)特征波穿過，其特征波的傳播方向由各自的特征值正負(fù)號(hào)決定。對(duì)于超聲速流，四個(gè)特征值都為正，其對(duì)應(yīng)的特征波都向右傳;對(duì)于亞聲速流，有一個(gè)特征值為負(fù)，其它特征值為正，即三個(gè)波向右，一個(gè)波向左。本文考慮的是超聲速流動(dòng)。入口邊界條件由線性穩(wěn)定性理論給出，其擾動(dòng)形式為出口邊界條件由單邊差分給出，同時(shí)，為了減弱出流反射波的強(qiáng)度，在出口處添加一段嵌邊區(qū)［14］，其中預(yù)先指定的嵌邊區(qū)出流處的擾動(dòng)值設(shè)定為0，即Uc=0，上下邊界采用完全無反射邊界條件［15］。

3 數(shù)值算例

3.1 對(duì)流馬赫數(shù)Mc=1.2(≥1)的情況

基本流通過求解定常可壓縮二維邊界層方程［16］得到，入口取無量綱長度δω0=1，對(duì)應(yīng)的流向長度x0≈337.50，圖1給出了入口處的基本流剖面。

圖1 入口處基本流剖面Fig.1 Base flow profile at the inflow

由線性穩(wěn)定性理論得到，對(duì)于Mc≥1.0的超聲速混合層流動(dòng)，同一擾動(dòng)頻率ω0對(duì)應(yīng)兩個(gè)增長波－αi，根據(jù)擾動(dòng)相速度相對(duì)于自由流速度Mr，j= |ω/Re{α}－Ui|/ai(i，j=1，2)是否大于1，可以把擾動(dòng)形式分為快慢兩種模態(tài)［17］，當(dāng)擾動(dòng)相速度相對(duì)于快速流為亞聲速，相對(duì)于慢速流為超聲速，即Mr，1＜1.0，Mr，2＞1.0，稱其為快模態(tài);當(dāng)擾動(dòng)相速度相對(duì)于快速流為超聲速，相對(duì)于慢速流為亞聲速，即Mr，1＞1.0，Mr，2＜1.0，稱其為慢模態(tài)。

下面計(jì)算在入口處分別加入不同擾動(dòng)模態(tài)下的擾動(dòng)演化過程，選取的擾動(dòng)頻率為慢模態(tài)情況下最不穩(wěn)定波頻率，其具體的計(jì)算參數(shù)如表1。

表1 入口加入不穩(wěn)定波的具體參數(shù)Table 1 Parameters of inflow instability wave

圖2、圖3分別是工況A和工況B條件下擾動(dòng)特征函數(shù)圖像，分別對(duì)應(yīng)于擾動(dòng)快慢模態(tài)兩種情況，同一擾動(dòng)頻率ω0=0.2，分別對(duì)應(yīng)著兩種不穩(wěn)定擾動(dòng)波，它們的增長率－αi分別為0.0114和0.0131，圖2給出的是超聲速擾動(dòng)波快模態(tài)情形，擾動(dòng)相速度相對(duì)于上層快速流為亞聲速M(fèi)r，1=0.904(＜1.0)，而相對(duì)于下層慢速流為超聲速M(fèi)r，2=1.496(＞1.0)，擾動(dòng)的特征函數(shù)沿上層快速流方向呈指數(shù)形式衰減，而擾動(dòng)沿下層慢速流方向呈正弦波的形式衰減;與圖2的情況相反，圖3給出的是超聲速擾動(dòng)波慢模態(tài)情形，擾動(dòng)相速度相對(duì)于上層快速流為超聲速M(fèi)r，1=1.52 (＞1.0)，而相對(duì)于下層慢速流為亞聲速M(fèi)r，2=0.88 (＜1.0)，擾動(dòng)的特征函數(shù)沿上層快速流方向呈正弦波的形式衰減，而擾動(dòng)沿下層慢速流方向呈指數(shù)形式衰減。

為了驗(yàn)證程序，當(dāng)前用擾動(dòng)方程計(jì)算了慢模態(tài)下最不穩(wěn)定頻率ω=0.2的擾動(dòng)波的演化，初始幅值A(chǔ)0=0.0001，圖4給出了擾動(dòng)方程與LST的計(jì)算結(jié)果，二者吻合的很好，表明擾動(dòng)方程程序的正確性。

圖2 快模態(tài)的特征函數(shù)圖像Fig.2 Eigenfunction for fast mode

圖3 慢模態(tài)的特征函數(shù)圖像Fig.3 Eigenfunction for slow mode

圖4擾動(dòng)波幅值演化，ω=0.2，A0=0.0001Fig.4 Amp lification of the disturbance，ω=0.2，A0=0.0001

圖5、圖6分別給出在入口處加入A、B工況下的不穩(wěn)定波，初始幅值都給A0=0.005，其擾動(dòng)向下游演化過程中的壓力擾動(dòng)等值線p1。

比較A、B兩種工況的壓力等值線圖，可以看出對(duì)于擾動(dòng)相速度相對(duì)于自由流速度為超聲速(Mr，j＞1.0)的部分，壓力擾動(dòng)以一定的角度向遠(yuǎn)場輻射，形成馬赫波輻射，通過馬赫角的計(jì)算公式μ= arcsin(1/Mr，j)可以求出快模態(tài)擾動(dòng)的理論馬赫角為μ≈41.9°，由圖5的壓力等值線求得輻角μ≈40.7°，與理論值相符。同理，由圖6的慢模態(tài)等值線可以求得馬赫角為μ≈40°，也與理論值μ≈41.0°相符。

圖5 加入快模態(tài)擾動(dòng)壓力等值線Fig.5 Pressure contours for fast mode

圖6 加入慢模態(tài)擾動(dòng)壓力等值線Fig.6 Pressure contours for slow mode

圖7 加入快慢模態(tài)的擾動(dòng)壓力等值線Fig.7 Disturbance pressure contours for fast and slow mode

在入口處同時(shí)加入快慢模態(tài)的擾動(dòng)波，得到圖7所示的近場展向渦量和遠(yuǎn)場擾動(dòng)壓力等值線，它兼有二者的特性，擾動(dòng)壓力向自由流兩側(cè)方向以馬赫波的形式輻射，從近場展向渦量ωz等值線看，沒有出現(xiàn)大尺度渦結(jié)構(gòu)，圖8對(duì)應(yīng)著基本波能量幅值E10與其倍頻波的能量幅值E20。

圖8 基本波與其倍頻波的能量幅值曲線Fig.8 Energy for the fundamental and first harmonic mode

因此，對(duì)于Mc≥1的超聲速混合層流動(dòng)，其發(fā)聲機(jī)制主要是不穩(wěn)定波以馬赫波的形式向遠(yuǎn)場輻射。

3.2 對(duì)流馬赫數(shù)Mc=0.5(＜1.0)的情況

利用線性穩(wěn)定性理論，可以求出入口處所加的擾動(dòng)的特征值和特征函數(shù)，計(jì)算求出的具體參數(shù)見表2。

表2 入口加入不穩(wěn)定波的具體參數(shù)Table 2 Parameters of inflow instability wave

圖9給出了最不穩(wěn)定波ω0=0.578對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)特征函數(shù)幅值曲線，可以看出擾動(dòng)特征函數(shù)幅值以指數(shù)形式向自由流兩側(cè)快速衰減。

圖10、圖11分別是在入口處加入工況D和E情況下的擾動(dòng)波，使用非線性擾動(dòng)方程(NLDE)計(jì)算得到擾動(dòng)向下游演化過程中的遠(yuǎn)場壓力等值線p和近場展向渦量云圖ωz，圖12是其兩組工況下所對(duì)應(yīng)的能量幅值曲線E。

圖9 特征函數(shù)幅值曲線Fig.9 Amp litudes curve of the eigenfunction

從圖10的近場渦量等值線可以看到明顯的大尺度渦結(jié)構(gòu)，伴隨著渦結(jié)構(gòu)向下游演化，其擾動(dòng)壓力直接輻射向自由流遠(yuǎn)場，渦結(jié)構(gòu)形成位置在x≈100處，從圖12的能量幅值曲線上看，在此處，能量幅值達(dá)到最大，且正好對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)場擾動(dòng)壓力開始輻射的位置。

圖10 工況D遠(yuǎn)場壓力和近場渦量云圖Fig.10 Contours of the far-field pressure and nearfield spanw ise vorticity for case D

圖11是在入口處加入基本波與亞諧波的計(jì)算結(jié)果，與在入口處只加入基本波的情況相似，其近場區(qū)出現(xiàn)大尺度渦結(jié)構(gòu)，渦結(jié)構(gòu)形成的位置與遠(yuǎn)場壓力輻射位置相對(duì)應(yīng)，不同的是，渦結(jié)構(gòu)在更下游的位置處發(fā)生了渦與渦之間的合并，其渦合并發(fā)生在x≈190處，渦合并現(xiàn)象是基本波與亞諧波的非線性相互作用導(dǎo)致，圖12中的能量幅值曲線顯示在渦合并處，基本波與亞諧波的能量都處于峰值，此時(shí)，它們之間的非線性作用是最強(qiáng)的，從遠(yuǎn)場壓力等值線圖可以看出它們的壓力強(qiáng)度也同時(shí)達(dá)到最大。

圖11 工況E遠(yuǎn)場擾動(dòng)壓力和近場渦量云圖Fig.11 Contours of the far-field pressure and near-field spanw ise vorticity for case E

圖12 基本波與其倍頻波的能量幅值曲線Fig.12 Am p litudes of energy for the fundamental and subharmonic mode

因此，對(duì)于對(duì)流馬赫數(shù)Mc＜1.0的超聲速混合層，其發(fā)聲機(jī)制主要是由大尺度渦結(jié)構(gòu)及其合并引起，且基本波與亞諧波之間的非線性相互作用能增強(qiáng)聲輻射強(qiáng)度。

4 結(jié)論

本文采用非線性擾動(dòng)方程(NLDE)研究了超聲速情況下擾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性和遠(yuǎn)場發(fā)聲機(jī)制間的關(guān)聯(lián)，分析了對(duì)流馬赫數(shù)Mc=0.5(＜1)和Mc=1.2 (≥1)兩種情況下不穩(wěn)定波的發(fā)聲機(jī)制。得到了以下幾點(diǎn)結(jié)論:

1)對(duì)流馬赫數(shù)Mc≥1.0的情況，同一頻率ω0的擾動(dòng)對(duì)應(yīng)著兩個(gè)不同的不穩(wěn)定波－αi，分別對(duì)應(yīng)著快慢兩種模態(tài)，其擾動(dòng)特征函數(shù)呈現(xiàn)兩種完全不同的形式。

2)分別對(duì)快慢兩種擾動(dòng)模態(tài)及其相互作用進(jìn)行數(shù)值模擬研究，計(jì)算得到流場中不穩(wěn)定波的發(fā)聲機(jī)制:壓力擾動(dòng)以馬赫波形式向遠(yuǎn)場輻射，即馬赫波輻射。

3)對(duì)于Mc＜1.0的情況，非線性擾動(dòng)方程(NLDE)能夠準(zhǔn)確捕捉到大尺度渦結(jié)構(gòu)，并在下游處捕捉到渦對(duì)合并現(xiàn)象。

4)對(duì)于Mc＜1.0的情況，不穩(wěn)波產(chǎn)生遠(yuǎn)聲場的機(jī)理主要是大尺度渦運(yùn)動(dòng)及渦對(duì)的合并，而基本波與亞諧波之間的非線性相互作用能明顯增強(qiáng)聲輻射的強(qiáng)度。

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Studing sound generation mechanism s of m ixing layer using nonlinear disturbance equations

Zhang Chengyuan，F(xiàn)ang Yihong*
(Department of Mechanics，School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

The noise problem caused by pulse exists in the aviation and natural industry，studying sound generation mechanism of the unstable wave is of important significance for understanding，predicting and controlling the aerodynamic noise.In this paper，Nonlinear Disturbance Equation(NLDE)is used to study the relationship between near field dynamic characteristic and the far field sound radiation for supersonic mixing layer.For different types of convective Mach number，disturbance pressure are selected and calculated respectively.It is gained two different sound generation mechanisms.When the convective Mach number of supersonic mixing layer is less than 1，the sound is generated by the largescale vortex structure in near-field.Otherwise，the generation of sound is depended on whether the phase velocity of disturbance is supersonic relative to the upper flow or not.It turned out that the supersonic part of the disturbance pressure radiate to far-field at a fix angle，that is so called Mach wave radiation.The calculated angle of Mach wave is consistent with the theoretical one.

nonlinear disturbance equations;supersonic mixing layer;convective Mach number; noise generation by vortex pairing;fast and slow mode;Mach wave radiation

V212.1

A

10.7638/kqdlxxb-2014.0117

0258-1825(2016)05-0659-07

2015-01-15;

2015-04-15

國家自然科學(xué)基金(11332007，10972156)

張程遠(yuǎn)(1990-)，男，福建，碩士研究生，主要從事邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的研究.E-mail:zhangcy9798@163.com

方一紅*，副教授，主要從事流動(dòng)穩(wěn)動(dòng)性和空氣動(dòng)力學(xué).E-mail:yhfang@tju.edu.cn

張程遠(yuǎn)，方一紅.非線性擾動(dòng)方程研究平面混合層發(fā)聲機(jī)制［J］.空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2016，34(5):659-665.

10.7638/kqdlxxb-2014.0117 Zhang C Y，F(xiàn)ang Y H.Studing sound generation mechanisms of mixing layer using nonlinear disturbance equations［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2016，34(5):659-665.