基于稀疏表征的降噪方法及其在振動激勵控制中的應用

孟利波，秦毅，合燁，郭磊

(國家山區公路工程技術研究中心，重慶400044)

基于稀疏表征的降噪方法及其在振動激勵控制中的應用

孟利波，秦毅，合燁，郭磊

(國家山區公路工程技術研究中心，重慶400044)

針對振動控制中因混有噪聲而導致控制精度降低，影響振動控制研究效果的現實問題，提出基于稀疏表征的降噪方法，并通過引入峭度作為測度指標改進基于分離變量的增廣拉格朗日收斂算法(SALSA)的基追蹤降噪方法。然后，提出獲取優化的拉格朗日乘數的方法，從而使得基追蹤降噪可以獲得更佳的降噪性能。最后將降噪信號反饋給前端控制器，以達到預期的控制目的。通過仿真實例，驗證基于SALSA的基追蹤降噪方法的有效性。結果表明:將該方法用于水潤滑軸承實驗的振動控制，能夠有效地去除所測力矩信號中不同強度的高斯白噪聲，因而可以較好地應用在振動控制中的反饋環節。

稀疏表征;降噪;SALSA算法;峭度;振動控制

0 引言

在研究旋轉機械中的軸承、齒輪等零部件的動態特性時，往往需要對該部件進行動態加載。這一過程就是一個振動控制過程。但在振動控制的過程中，扭矩傳感器所采集的力信號往往會受到噪聲的影響，使得加載力帶有隨機誤差，并最終影響加載精度。因此，必須抑制這些噪聲以提高加載器的加載精度。

目前，在振動控制的降噪處理中，廣泛是采用小波或小波包進行閾值降噪處理［1－2］。Li和Dang［3］提出改進的小波閾值降噪算法對無線通信信號進行降噪。Xu和Wang［4］將小波閾值和解調技術相結合用于激光信號降噪。Chen等［5］利用斯坦無偏風險估計組提出重疊多小波組閾值降噪方法，并應用于軋機傳動系統狀態監測。但是以上方法均是采用二進小波變換，這雖然能達到無冗余存貯與重建信號的目的，但隨著分解層數的增加，各層、各頻段序列的數據點數也減半、采樣頻率也減半，當數據點數太少時，信號細節會丟失，并且小波分解的結果存在著各頻帶間能量的交疊問題［6－7］。于是，學者們提出了基于經驗模式分解(empirical mode decomposition，EMD)的信號降噪方法。例如，Yang等［8］提出了EMD區間閾值降噪方法;Tian等［9］提出了清晰首區間閾值EMD降噪方法(clear first interval thresholded empirical mode decomposition，EMD－CIIT)。但是EMD存在模態混疊問題，且容易受到強噪聲干擾。

自然環境和工程中大部分噪聲都是高斯白噪聲，目前信號降噪方法也主要針對該類噪聲。為了更好地實現自適應信號降噪，本文基于基追蹤(BP)問題，采用了一種新的線性凸優化算法——SALSA算法［10－11］，得到了信號的一種稀疏表示，并通過引入譜峭度作為目標函數來改進SALSA算法，從而使改進后的SALSA算法在降噪過程中具備更好的適應性，將其運用在軸承的振動控制中，降噪效果好，計算效率高。

1 稀疏信號

稀疏信號就是指信號可以用少數幾個特征向量的線性組合進行表示。信號的稀疏表示，就是找到一種簡潔的方式來表示信號，使得絕大部分變換系數的值接近于零或等于零，從而使得到的變換信號是稀疏或者近似稀疏的。

對于某一個信號，均可以用欠定方程表示為

其中，A為M×N矩陣，y為長度為M的向量，x為長度為N的向量，且N＞M。

該系統未知量的個數多于方程的個數，同時矩陣A的寬度大于其長度，當假定AA*可逆時，則方程組有無窮解。

為解決該方程，常用的方法是基于最小二乘的方法。對于本文，為使得信號更加稀疏，采用的是基于基追蹤的降噪方法(BPD)。首先需引入范數l1定義為

然后求解式(1)的方法就是使得x的絕對值之和最小，即基追蹤(BP)問題，如下式:

當y含有噪聲時，這種狀況下，需尋求一種近似的目標函數式，該式即為基追蹤降噪(BPD)問題:

對于傳統的最小二乘法，它是求取平方和的最小值，相比求取絕對值和的最小值，其對信號中的較大值更加敏感，如圖1所示。因此，當采用最小二乘法時，為保證平方和最小，需要取得少量的較大值，因為相比于小值，它們的影響更大，因此，最后求取的信號中有更多的小值，也就造成了信號的不稀疏。相反，基于基追蹤降噪(BPD)的方法就不會包含很多較小值，從而會獲得更加稀疏的信號。針對高斯白噪聲信號，本文選用冗余傅里葉變換基進行降噪，該變換基A定義為

式中，0≤m≤M－1和0≤n≤N－1。

圖1 和x2函數圖像

2 稀疏表征算法——SALSA

由式(4)發現，由于‖x‖1不可微，給計算增加一定難度。并且容易發現，該問題屬于凸優化問題，基于這種性質，就有內部局部最小值。此外，對于凸優化問題，目前已有很多算法能夠進行求解。例如ISTA［12］和Split Bregman迭代算法［13］，其能夠保證在每次迭代后成本函數值的減小，但是這種算法具有收斂慢的缺點。最近興起的分離變量的增廣拉格朗日收斂算法(SALSA)，其與Split Bregman迭代算法均先采用了分離變量，但SALSA的解決方式是基于增廣的拉格朗日模型，而該模型是解決優化問題中更基礎更標準的工具。在實踐的過程中也證明了該算法有很好的收斂性質。

在RN上定義兩個凸能量函數f1(x)和f2(x)，其中x為自變量，給出極小化模型:

為分離變量，引入中間變量v，并將v作為函數f2的自變量，這樣上式就轉化為以下約束問題:

該問題顯然等價于問題(6)。欲解決該問題，可以利用增廣型拉格朗日模型解決，模型如下:

式中，λ為拉格朗日乘數，μ≥0被稱為懲罰參數。

對于該增廣型拉格朗日模型，可以引入序列dk，進行迭代，從而達到不斷收斂的效果，迭代算法過程如下:

要想很好地利用上述模型，必須能夠解決式(9)，可以采用分裂的方法，分別按x和v迭代求極小，從而有效地求得方程的極小值。具體步驟如下:

步驟1:

步驟2:

為了有效解決本文討論的線性凸優化問題公式(4)，分別令

由此可以建立完整的SALSA迭代計算過程，如圖2所示。

相比傳統的懲罰函數方法，SALSA迭代算法有很多優點。首先，它基于l1正則項的問題，使得其收斂速度很快。當其收斂很快時，就可以直接利用無約束問題。其次，λ是一個固定常數，只需選擇一個合適的值使得條件數達到最少，從而使迭代優化算法快速收斂。通過計算出的x就可以估算出原始信號^y=Ax。

圖2 SALSA算法流程圖

3 利用SALSA算法進行去噪仿真

現有一組含有500個采樣點的音頻信號，其采樣率為16 000，持續時間約為31 ms，用s(m)表示，圖形如圖3(a)所示，可以看出該音頻信號主要集中在低頻部分，但高頻部分仍有部分微弱的信號。用w(m)表示采樣點數為500的高斯噪聲信號，由于其具有隨機性，因此會造成信號的不稀疏。可用y(m)表示含有噪聲的信號如式(12)，其圖形如圖3(d)所示，頻域圖涵蓋整個范圍，造成信號的不稀疏。

圖3 原始信號、加噪信號、降噪信號的時域波形以及對應的頻域圖

然后利用SALSA算法對其進行稀疏表征。采用50次迭代，得到降噪信號，如圖3(e)所示。可以看出，噪聲信號大大削減，而波形的基本形狀幾乎沒發生變化，并且與低通濾波不同，高頻部分并沒有完全衰減，仍然保留了原始信號中的部分高頻成分。

4 基于譜峭度的算法優化

前面已經討論過，在使用SALSA算法時，需選取合適的λ。經過多次試驗發現:若選擇較大的λ，則降噪后的信號，不僅噪聲大大衰減;有用信號也大大衰減;反之，若選擇較小的λ，將不能完全把噪聲濾除。

峭度(kur)表示故障形成的大幅值脈沖出現的概率，按下式定義為

式中，Xi為原信號，為信號均值。為了將脈沖響應與背景噪聲的差距拉大以提高信噪比，峭度系數取脈沖響應幅值的4次方為判斷依據，準確度大大提高。于是在尋求算法優化階段同時引入了信噪比和峭度來尋找最佳λ。

在仿真實驗中引入余弦信號作為模擬仿真信號，將其與隨機信號進行疊加得到一個模擬試驗中的信號。在仿真實驗中引入一個比例參數rate:

從圖中可見，結論1)是成立的。在同樣的噪聲和λ取值范圍下，令余弦信號幅值取值范圍為(1.0，0.9，…，0.1)，此時所得近似最佳λ(1 030)，如表1所示。從表中可知，在隨機信號一定時，rate值不會發生很大的變化，由rate值求出的近似最佳λ也是非常接近在信噪比與λ關系圖上得出的最佳λ(1 030)，于是，在真實信號未知的情況下可以參考模擬仿真信號下得到的rate值反求出一個十分接近最佳真實值的λ，從而獲得優化的降噪結果。

圖4 余弦信號取不同幅值時降噪結果信噪比隨λ變化的示意圖

表1 不同余弦信號幅值對應的近似最佳λ

5 實驗驗證

將上述降噪方法運用在水潤滑軸承激勵控制中，實驗平臺如圖5所示。該實驗臺能夠通過二通道電液伺服協調加載系統對實驗軸進行靜態加載和動態激勵。在進行動態激勵時，可根據需要，選擇相應的波形，如正弦波、三角波、方波等進行激勵。

圖5 軸承加載實驗臺

對于本實驗，可采用15 Hz的正弦波進行激勵。通過扭矩傳感器采集到的力矩信號如圖6(a)所示，通過選定一系列的λ值進行降噪，預估噪聲強度為0.7。根據前述方法求得真實信號近似最佳λ值為110。通過扭矩傳感器采集到的力矩信號和采用本文方法獲得的降噪信號如圖6(b)所示。可以看出，所加載的力矩由于受到噪聲污染，含有許多毛刺，但經過本文的方法處理后，具有明顯的降噪效果。將降噪后的信號反饋給前端控制器，用來不斷修正被控量與輸入量之間的偏差，從而能夠達到更準確的控制效果。

圖6 低噪聲時實測信號與降噪信號

為了進一步驗證本文所提方法的有效性，通過調整信號調理裝置，增加噪聲強度，所測得信號如圖7(a)所示。采用本文方法所得降噪結果如圖7(b)所示。同樣地，可以將降噪后的信號反饋給前端控制器，以提高控制精度。

圖7 高噪聲時實測信號與降噪信號

6 結束語

對于混有噪聲的振動控制信號，利用本文敘述的方法可以達到良好的降噪效果，可見引入峭度和反求最佳λ值的方法，使得降噪效果更加明顯，更加具有適應性，最后將降噪信號反饋給前端控制器，用來不斷修正被控量與輸入量之間的偏差，從而能夠提高控制精度。該方法的不足之處在于，為了獲取最佳λ，通常要使λ取值范圍較大，這就會顯著地增加計算量。但是就目前計算機性能而言，該方法仍然具有很快的計算速度。

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(編輯:李妮)

De－noising method based on sparse representation and its application invibration control

MENG Libo，QIN Yi，HE Ye，GUO Lei
(National Engineering and Research Center for Mountainous Highways，Chongqing 400044，China)

Aimed at the fact that the control accuracy declines due to the noise effect on the vibration control，a de－noising method based on sparse representation is put forward to improve the control signal.To obtain a better noise－reduction result，the basis pursuit denoising method based on split variable augmented Lagrangian shrinkage algorithm(SALSA)is improved by using kurtosis as measurement index.Then，a method for obtaining the optimized Lagrange multiplier parameter is proposed，which can improve the denoising performance of basis pursuit denoising.Finally the de－noising signal is fed back into the front controller in order to obtain the expected control effect.The simulation result validates the effectiveness of basis pursuit denoising based on SALSA.Finally，the proposed method is applied to the vibration control of a water water－lubricated bearing test，and the results show that this method can effectively remove the noises with different intensity from the sampled torque signals，thus it can be well used in the feedback element of the vibration control.

sparse representation;de－noising;SALSA algorithm;kurtosis;vibration control

A

1674－5124(2016)11－0094－06

10.11857/j.issn.1674－5124.2016.11.020

2016－01－07;

2016－03－04

國家山區公路工程技術研究中心(GSGZJ－2014－04)

孟利波(1977－)，男，重慶市人，研究員，博士，研究方向為結構監測與控制。