《認識面積》教學的重構與思考

龔斌斌

【教學內容】

什么是面積呢？2011版新教材中取消了原來“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”的定義，取而代之的是“某件物品表面的大小就是某件物品表面的面積”這樣的描述，這里的“大小”不是有的大、有的小“相差”的意思，而是“每個面各有確定的大小”的意思。面的大小可以通過測量得到，測量是將一個待測的量和一個公認的標準量進行比較的過程，這個標準量就是“面積單位”。基于這樣的思考，筆者對教材中提供的學習材料進行了整合與優化，在核心概念的深度、廣度和貫通度上做文章，讓學生真正把“面積”學懂、學活、學透。

一、導學材料結構化——從“面”到全面

結構化材料就是從數學知識結構和學生的數學認知結構出發設計和組織的學習材料，以完善和發展學生原有數學認知結構為目的。即教師要從數學知識體系高度“結構化”的特點和學生認知結構的形成、發展規律出發，站在整體、系統和結構的高度把握學習材料，提高學生原有認知結構的可利用性、穩定性與清晰性，為新知識融入已有的認知結構創造條件。

【案例描述】

師：能用“面”字組詞嗎？

生：面包、面條、表面、上面、桌面……

教師根據學生的組詞，分類介紹“面”在字典里的幾種意思，提示“表面”的含義。

師：你覺得表面是什么樣的？

生：平的、各種形狀的，不是內部的、光滑的、彎曲的……

師：能舉個例子和大家說明嗎？

生：黑板面是平的；練習本的表面是長方形的，我這塊橡皮的表面是小鴨形的；文具盒的表面就是文具盒外面這里，不是放鉛筆的里面；玻璃窗表面是光滑的，墻面就點粗糙了；球的表面是這樣彎曲著的……

師：馬上在身邊找兩樣物體摸一摸它的表面，說說表面在哪里，是怎樣的？

師：誰愿意介紹數學書的表面？

生：這一圈都是數學書的表面。

生：我知道上面這個面叫封面，下面這個面叫封底，還有左面這個面……

生：我還知道數學書上、下、左、右、前、后一共有6個面。

生：它們都是長方形的。

師：同學們不只找到了數學書的表面，還發現了它不同方向上的表面。這里的四個面，我們也可以叫它的側面。（教師邊摸各方向的面邊說）

課始導學的學習材料就一個“面”字，卻喚起了學生對“面”“表面”的原有認知結構中的知識點，如平面、曲面、各種形狀的面。在描述各種面的樣子時，又生成很多新的學習材料，這些新材料成為學生明晰表面概念的一個個“生長點”，表面的數學含義逐步納入到學生的認知結構中。最值得一提的，從數學書的表面介紹中，理清了學生原有認知中的幾個誤區：一是簡單地認為表面就是外面；二是對表面的單一性認識，認為向上的面才是表面。一個“面”字、一本數學書，兩個簡單的學習素材恰到好處地把握了學生思維的發展點，全面地認識了“面”。

二、研學材料數學化——從“比“到對比

《數學課程標準》中指出：數學教學是數學活動的教學。這個過程中要引導學生用一種新的思維方式進行一種思維活動，而不是簡單的程序操作。這就需要教師提供有效的學習材料，利于學生通過觀察、比較、類比、歸納找出事物的共性和規律，形成數學的抽象和概括，對數學有本質的領悟，逐步形成數學化觀念。

1.比出大小。

【案例描述】

師：數學書的封面和它的這個側面哪個大？

生：封面大。

師：像這樣說（數學書的封）面比（數學書的側）面大。

師：說說理由？

生：封面是這么一大塊長方形，側面只是這么一小條長方形，所以……

師：一眼就看出來了是嗎？

生：封面和側面的兩個長方形都是一樣的長，封面寬一些，側面細一些，所以……

生：用我的封面和同桌的側面比一比，就知道了（邊說邊比）。

師：大家想到了觀察、重疊這些不同的方法來比出數學書封面和側面的大小。數學上“物體表面的大小，就是物體表面的面積”（板書）。數學化地比它們的大小怎么說？

生：（數學書封面）的面積比（數學書側面）的面積大。

師：選面前的兩樣物體，比比它們表面的面積，像這樣說一說。

教師在此環節中仍然采用數學書作為學習材料，在比較封面和側面的大小時，不只讓學生說出比的結果，還追問“說說理由”，讓學生經歷數學化的過程，體會可以通過觀察、重疊或測量等比出大小。

2.比出異同。

【案例描述】

師：生活中的物體表面都有面積，那我們學過的平面圖形有面積嗎？

課件呈現：

生：④號和⑤號圖形沒有面積。

師：為什么沒有面積？

生：④號是一條線段，它只有長度；⑤號圖形沒有圍起來，所以沒有面積。

師：他對④號線段的解釋怎么樣？好！我們把它請出去（隱去④號）。

師：他說⑤號圖形沒圍起來就沒有面積是什么意思？

生：沒圍起來就沒有面，⑤號也只有三條邊的長度。

師：你們聽懂了嗎？用電腦畫圖時，給⑤號圖形涂顏色會發生什么情況？

生：整個屏幕都被涂上了。

師：是呀，所以只有封閉圖形才有面積（板書），我們把⑤號也請出去（隱去⑤號）那①號、②號、③號圖形都有面積嗎？它們還有什么？

生：還有長度。

生：是周長。

師：這些封閉圖形既有面積，又有周長？怎么在圖上表示出來？

生：（屏幕前比劃）涂滿色的這塊大小就是這個圖形的面積（電腦及時演示涂色）；這外面一圈的線的長度就是這個圖形的周長（電腦及時演示描線）。

師：它們三個圖形誰的面積大？

生：圓的最小。

一份辨析式的學習材料，既揭示了封閉圖形也有面積，也在學生的辯論分析中發現不封閉的圖形只能量出長度，而封閉圖形有周長也有面積。同時，通過學生現場涂、畫，體會周長與面積的不同，也隱含著周長是長度可量，面積也可量。

3.比出矛盾。

【案例描述】

師：周長能用尺子量出來大小，面積怎么量？比如說我們的課桌面，它的面積多大？

生：也用尺量。

師：怎么量？

生：……

師：說不清楚是嗎？能不能選一個工具來量，比如說數學書？

生：能！看看桌面能擺幾本數學書。

師：那別的工具也行嗎？（生:能）下面各小組成員合作，選擇一樣工具來量課桌面的面積，說說課桌面大約是（）個（）面。

（學生活動后組織匯報：12個信封面、10本練習本、5本數學書、6個信封面……）

師：你們量的都是教室的課桌面？你們的課桌都一樣大？這是怎么回事？（指著板書上的匯報情況）

生：我們用的工具不一樣。

師：那這兩組同學都用的是信封，怎么也不一樣？（兩個小組的同學連忙舉起各自的信封）原來兩個信封工具也不一樣，那對這次測量你們有什么想說的？

生：隨便找工具不行，得用一樣的工具。

師：就是得有一個標準才行，是嗎？

面積可量對學生來說不難理解，只是怎么量沒有方法。本次活動的學習材料仍然是就近取材，一個是課桌，一個是裝學具的信封，還有就是學生自己的學習用品。面對老師提出的用自選的工具量一量的辦法，學生最初沒有過多的思考，但是數據匯報出來的同時，引發了學生的認知沖突。在認知矛盾中學生明確地提出要用一樣的工具，也就是統一測量的標準才行。這樣的安排比教材中小精靈提出的“可以用一種圖形作單位來量”要求更具體，讓學生自己經歷了數學建構、解構、重構的過程。

4.比出優劣。

【案例描述】

師：信封里為各組準備了一樣的標準圖形，請你們量出剩下這兩個圖形的面積。

生：我們是用小正方形量的，長方形是8個小正方形，正方形是9個小正方形；

生：我們是用圓形量的，長方形擺了8個圓形，正方形擺了9個圓形；

生：我們是用三角形量的……

師：現在全班出現了三種標準，我們把它們都請上來，（屏幕投影）大家討論討論，哪個標準作面積的“尺子”最合適呢？

生：正方形的能鋪滿，另外兩種圖形都有空余，那就不是它的面積了。圓形擺起來不方便，三角形還能兩個拼著擺……

教師仍選用教材提供的三種圖形素材，但為每組只提供了一種圖形，全班進行對比分析，各組在應用材料時就發現了自己的圖形標準的優劣，明確了選擇圖形標準時，既要鋪滿要量的表面，還要拼擺方便的道理。

三、固學材料層次化——從“思”到反思

每節課上的鞏固練習是讓學生從“會”過渡到“熟”;再由“熟”過渡到“活”的一個過程。好的練習材料，能引起學生思考的同時促進學生的反思學習，往往會收到事半功倍的效果。

材料一：

圖片材料（由課件依次展示）：

問題材料：（1）這個圖形有面積嗎？面積是多大？（2）提供方格圖后，能表示它的面積了嗎？（3）變個魔術，黑色圖形的面積是16個方格，面積變大了嗎？

材料二：

畫一畫：畫一個與下圖面積一樣的圖形，想一想：他們的面積為什么相同？

面積作為量與計量范疇的教學內容，在本課教學中有三方面的問題：一是量什么？度量的對象可以是桌面、書面、黑板面、地面等；二是用什么量？學生對面積單位的選擇經歷了從非標準單位到標準單位的過程；三是怎么量？面積單位要鋪滿所度量的對象。三個問題呈螺旋形遞進，學生的思維也要螺旋上升，才能對面積的“面”和“大小”有深入的認知。由上述兩份學習材料可以看出，一幅L形圖貫穿了全部的練習，可以說是一材多用，小“材”大用。通過材料一的練習，學生經歷了“量什么？用什么量？怎么量？”的思考過程，問題（3）又將學生的思考推向質疑，推向反思，反思中面積的概念得以重構。材料二中有一個重要的畫等積圖形的活動，該活動又將“量”的知識深化，學生又要經歷“畫什么？用什么畫？怎么畫”的思考過程，思考時又要不斷倒退一步，反思自己的操作，反思前面的思考，形狀變了、擺放形式變了……可面積不變，面積守恒的思想無需定義就已經深入學生的頭腦中了。

“材料引起學習，材料引起活動”。不同材料的選擇與使用、材料的不同組織與呈現，往往會影響學生的數學經歷和感悟，甚至影響學生對數學知識的理解和數學能力的形成。因此，我們每一位教師要不斷提高自己的數學素養，提高自己對學習材料的理解和把握能力，課前精心設計教學和選擇學習材料，思考和挖掘每一個學習材料的教育價值，課中把握材料生成，使學習材料的作用得到充分發揮。只要我們牽好學習材料之手，整體把握，精心梳理，智慧引領，定能讓小“材”大用!