無衍射光束簇

王碩琛， 梅小華， 謝曉霞， 吳逢鐵

(1. 華僑大學 信息科學與工程學院， 福建 廈門 361021；

2. 福建省光傳輸與變換重點實驗室， 福建 廈門 361021)

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無衍射光束簇

王碩琛1,2， 梅小華1， 謝曉霞1,2， 吳逢鐵1,2

(1. 華僑大學 信息科學與工程學院， 福建 廈門 361021；

2. 福建省光傳輸與變換重點實驗室， 福建 廈門 361021)

摘要：波動方程在笛卡爾坐標系、圓柱坐標系、橢圓柱坐標系及拋物線坐標系下可求得無衍射解，分別是余弦(Cos)光束、貝塞爾(Bessel)光束、馬蒂厄(Mathieu)光束和拋物線(Parabolic)光束，它們組成了無衍射光束家族(又稱亥姆霍茲光束).介紹這4種光束的具體表達式及光強分布圖和自重建過程.最后，對4種無衍射光束進行比較，總結(jié)了無衍射光束的應用熱點，并展望未來.

關鍵詞：無衍射光束; 光強分布圖; 自重建; 光束表達式

無衍射光束具有光場高度集中，中心光斑小及遇障礙物后傳播一段距離恢復原來的光強分布(自重建)等獨特的性質(zhì).由于無衍射光束在光學領域的廣泛應用，因此，受到國內(nèi)外學者不斷地探索研究.1987年，Durnin等[1-2]首次提出無衍射光-Bessel光束，這種光束是自由空間標量波動方程在圓柱坐標系下的一組特殊解.波動方程可在11種正交坐標系下分離變量，但只有在笛卡爾坐標系，圓柱坐標系，橢圓柱坐標系及拋物線坐標系下可求得無衍射解.這4種坐標系得到的解對應著不同的無衍射光束，分別是Cos光束、Bessel光束、Mathieu光束和Parabolic光束，它們組成了無衍射光束家族.2000年，Salo等[3]提出一種描述無衍射光波場的方法, 即任意的單色無衍射光都可以用波矢位于一個錐面上的所有平面波的疊加描述.對于Bessel光束，自提出的幾十年以來，便受到人們的大量研究[4-5]，但對其余3種研究較少.2000年，Gutiérrez-Vega等[6]報道了無衍射Mathieu光束.2001年，通過實驗得到這種光束[7].2004年，Bandres等[8]提出了Parabolic光束.2005年，López-Mariscal等[9]由實驗室得出Parabolic光束.近年來研究人員對無衍射光束仍在不斷地探索研究，特別是無衍射光束的自重建特性.1996年，Macdonald等[10]發(fā)現(xiàn)無衍射Bessel光束的自再現(xiàn)特性，這種新特性引起學者們的極大興趣.2002年，Garcés-Chávez等[11]將這種特性運用于多層面粒子微操作，從而使無衍射光束的應用進入了一個新的時代.2013年，Mendoza-Hernández等[12]通過實驗驗證了Parabolic光束的自重建特性.2015年，李冬等[13]利用Hankel波理論，論證并通過實驗，驗證了Mathieu光束的自重建特性.本文系統(tǒng)介紹了上述4種坐標系下的無衍射光束，并進行對比研究.

1Cos光束

單色無衍射光用Helmholtz 方程的Whittaker解[14]表示為

(1)

式(1)中：A(θ)為復角譜分布;kt,kz為波矢的徑向和軸向分量.A(θ)在4種不同的坐標系下取不同的形式，即對應4種不同的無衍射光波場.

(2)

式(2)中：kt為的是橫向波矢;A是歸一化常數(shù).

實驗室得到的是由高斯包絡面調(diào)制的近似無衍射光束，稱之為余弦高斯光束，即

Gutiérrez-Vega等[17]數(shù)值模擬了余弦高斯光束的光強分布圖，如圖1所示.圖1中：Z為z軸上的位置.由圖1可知：光束在最大無衍射范圍內(nèi)傳播時，橫向光強不變；超過最大無衍射距離后，光束開始發(fā)散.

(a) Z=0　　　　　　　　　　　(b) Z=0.6Zmax　　　　　　　　　(c) Z=1.2Zmax圖1　余弦高斯光束在自由空間傳播的橫向光強圖Fig.1　Transversal intensity distribution of Cos-Gaussian-beam propagating in free space

2Bessel光束

Bessel光束是Helmholtz方程在圓柱坐標系下的一組解，A(θ)取exp(imθ)形式.把角譜代入式(1)，化簡得到Bessel光束的解析式，即

(3)

式(3)中：m為Bessel函數(shù)的階數(shù)；α,β分別為徑向和軸向波矢.

Bessel光束呈環(huán)狀分布，零階的Bessel光束中心光強較強，而高階的Bessel光束中心光強為零，并具有角動量.Bessel光束是第一種被提出無衍射概念的光束，最先由Durnin利用環(huán)縫法，得到零階Bessel光束.數(shù)值模擬得到的零階Bessel光束光強圖樣和自重建光強分布圖，如圖2所示.

除此之外，其他實驗室利用計算機全息圖[18-19]、球差透鏡[20-21]、軸棱錐[22-24]及主動腔[25-26]等方法得到了不同階數(shù)的Bessel光束.其中,用軸棱錐產(chǎn)生Bessel光束的方法具有實驗裝置簡單、轉(zhuǎn)換效率高等優(yōu)點，是目前研究中最常使用的方法.但是受限于軸棱錐的加工技術，用此方法產(chǎn)生的Bessel光束的無衍射距離受到限制.Xie等[27]提出的AXIGRIN法,鄭維濤等[28]提出的雙軸棱錐法和孫川等[29]提出的梯度軸棱錐法得到Bessel光束,其無衍射距離大大增長,很好地解決這一問題.

Bessel光束除了具有無衍射特性外，還具有自重建特性，在Bessel光束的自重建性方面，吳逢鐵實驗室依據(jù)Hankel波理論做了大量工作：范丹丹[30]解釋分析了零階Bessel光束的自重建特性，并驗證了零階Bessel光束通過軸上圓形、方形障礙物和離軸圓形障礙物的自重建特性；之后，又利用非相干光源對零階Bessel光束的自重建進行了實驗驗證[31]；張前安等[32]實現(xiàn)了相干光源產(chǎn)生高階Bessel光束自重建的實驗；何西等[33]驗證了非相干綠光LED產(chǎn)生高階的Bessel光束的自重建.實驗室得到的零階Bessel光束的軸上自重建過程圖，如圖3所示.

(a) 二維 (b) 三維 (c) 縱向

(d) 自重建圖2　無衍射Bessel光束的光強分布圖Fig.2　Intensity distribution of non-diffracting Bessel beam

(a) z=-25 mm (b) z=3 mm (c) z=77.5 mm (d) z=150 mm圖3　實驗拍攝零階Bessel光束軸上自再現(xiàn)特性的演變過程Fig.3　Experimental pictures of the self-reconstruction evolution process for on-axis 0-order Bessel beam

3Mathieu光束

Mathieu光束是Helmholtz方程在橢圓柱坐標系下解出的一種無衍射光束，A(θ)取角Mathieu函數(shù)形式.Mathieu光束最先由Gutiérrez-Vega提出，具體表達式為

(4)

(5)

式(5)中：2h為橢圓兩焦點距離.任意階的Mathieu光束的光強分布圖由Alpmann等[34]給出，其中，1～6階Mathieu光束，如圖4所示.

(a) 數(shù)值模擬

(b) 實驗拍攝圖4　橫向光強分布圖Fig.4　Transverse optical intensity distribution

Mathieu光束的自重建現(xiàn)象也可以用Hankel波的疊加理論來論證，在障礙物后的一段距離內(nèi)，向內(nèi)傳播的橢圓錐面波(outgoing conical wave,OCW)和向外傳播的橢圓錐面波(incoming conical wave,ICW)會被障礙物遮擋.傳播一段距離后，未被遮擋的OCW和ICW繼續(xù)傳播、疊加，并再次出現(xiàn)Mathieu光束，即為Mathieu光束的自重建現(xiàn)象.李冬等[14]利用這一原理，得到了Mathieu光束的自重建現(xiàn)象.

4Parabolic光束

Parabolic光束是無衍射家族后來得到的一位成員，是在拋物線坐標系下的解，由Bandres等從理論上得出的.拋物線坐標系與笛卡爾坐標系的坐標為

在此坐標系下，角譜取形式為

(6)

代入式(2)，化簡得到Parabolic光束的表達式，即

(7)

式(7)中：σ=(2kt)1/2；a為拋物線光束的階數(shù).不同于Bessel和Mathieu光束，Parabolic光束的階數(shù)可以取非整數(shù).實驗室中的拋物線光束光強分布圖則由López-Mariscal等首先給出.利用光源,零階的Parabolic光束通過曝光過的相機膠片,由環(huán)縫法得到，如圖5(a)，圖5(b)所示.但對于高階的Parabolic光束，這種方法則行不通.用計算機全息法得到的4階Parabolic光束,如圖5(c),圖5(d)所示.

(a) 零階奇(下標e)　　　　(b) 零階偶(下標o)　　　　(c) 4階奇(下標e)　　　　(d) 4階奇偶(下標o)圖5　光束實驗光強分布圖Fig.5　Experimental pictures of the beam intensity

5結(jié)論

主要介紹無衍射光束家族的4種無衍射光束，及它們在各自的坐標系下的表達式(即它們的橫向光強分布圖).另外，從Hankel波的角度解釋了它們的無衍射重建過程.文中對于無衍射光束做了較為系統(tǒng)的介紹，對于進一步深入的研究有一定的意義.

研究結(jié)果表明：Cos光束是最簡單的一種無衍射光；Bessel光束由于相對簡單和極具規(guī)律性被廣泛研究，實驗室產(chǎn)生Bessel光束的技術也已相對成熟，其應用也被廣泛研究;而Mathieu光束和Parabolic光束則是近十年來才開始被研究，并且由于其光束的復雜性，使得應用上的研究相對較少，這也是今后研究的一個方面.

無衍射光束的應用范圍非常廣，利用其進行光學俘獲和操作[35-36]、光學拉力等[37]的實驗室技術已經(jīng)比較成熟，而在大氣湍流[38]、激光成像[39]、光通信和檢測等[40]方面的研究是目前研究熱點.另外，在醫(yī)學成像[41-42]、大型裝備的裝配定位、質(zhì)量檢測和安全監(jiān)測[43]及生命科學等領域[44]有廣闊應用前景.隨著無衍射光束研究的不斷深入和實驗室技術的成熟，無衍射光束將會在越來越多領域得到應用.

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(責任編輯： 陳志賢英文審校： 吳逢鐵)

Family of Non-Diffractting Beam

WANG Shuochen1,2, MEI Xiaohua1,XIE Xiaoxia1,2, WU Fengtie1,2

(1. College of Information Science and Engineering, Huaqiao University， Xiamen 361021, China,2. Fujian Key Laboratory of Optical Beam Transmission and Transformation, Xiamen 361021, China)

Abstract：Non-diffraction solutions of wave equation can be obtained in Cartesian coordinates, cylindrical coordinates, elliptical cylindrical coordinates and parabolic coordinates, those are Cos (Cosine) beam, Bessel beam, Mathieu beam and Parabolic beam, and they make up the non-diffracting family (also known as Helmholtz beam). In this article, we introduce their specific expression, beam intensity distribution and self-reconstruction process. At last the four non-diffracting beam were compared to each other, and we sum up the hot applications of the diffraction-free beam and look to the future.

Keywords：non-diffracting beam; the optical intensity distribution; self-reconstruction; expression of beam

中圖分類號：O 436.1

文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61178015)； 福建省科技創(chuàng)新平臺計劃項目(2012H2002)； 福建省泉州市科技重點項目(2013Z20， 2014Z127)

通信作者：吳逢鐵(1958-)，男，教授，博士，主要從事光束傳輸與變換，短脈沖技術及非線性光學的研究.E-mail:fengtie@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-08-29

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.02.0149

文章編號：1000-5013(2016)02-0149-06