初中數學分類討論思想運用的案例分析

周務新

【關鍵詞】初中數學 分類思想

案例分析

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）02A-0073-02

分類思想是基于對象本質屬性的異同，將數學研究對象根據一定的關系，合理劃分為不同的種類進行分類討論，再將討論的結果進行總結歸納，得出題目和要研究問題的答案。比較是分類討論的基礎，分類討論思想是深入研究問題的一種常用思想方法，需要在實踐應用中掌握解題思路與技巧，做到觸類旁通，舉一反三。

在初中數學教學中，分類討論思想的運用較為廣泛，關于絕對值、有理數、與圓有關的位置關系等概念的分類，還有不等式、含有字母的方程相關解題方法的分類，圖形位置關系、等腰三角形頂點不確定問題的分類等。本文就幾個重要的分類思路與解題策略進行討論分析。

一、坐標與圖形分類問題

分類討論思想的運用中，坐標與圖形分類的運用較多，大多將重點集中在坐標系中各類圖形的變換方式，將坐標與矩形、三角形、拋物線、雙曲線等圖形相結合，綜合考查這些圖形的基本性質在坐標系下的運用，增加了題型的難度與變化程度，也重點強調了對學生想象力的培養。

例1：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（1，√3），M為坐標軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數有幾個？

【解答】本題考查等腰三角形的判定、坐標與圖形性質、數形結合、分類討論等相關知識，通過數形結合，畫圖分析，了解到滿足條件的M的個數有6個。

例2：在平面直角坐標系中，已知點E（-4，2），F（-2，-2），以原點O為位似中心，相似比為2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的坐標是？

【解答】本題考查位似變換、坐標與圖形性質、操作題、分類討論等相關知識。根據題意畫出相應的圖形，可以分析出點E的對應點E′的坐標是（-2，1）或（2，-1）。

例3：（如圖1）在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為？

【解答】當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論：（1）PD=OD=5，點P在點D的左側，計算出P的坐標為（2，4）;（2）P在D的左側，OP=OD=5，計算出P的坐標為（3，4）;（3）PD=OD=5，點P在點D的右側，計算出P的坐標為（8，4）。

【分析】本題考查矩形的性質、坐標與圖形性質、等腰三角形的性質、勾股定理等動點型相關知識，需要運用到分類討論的思想進行解答。P是一個不確定的點，在矩形與等腰三角形性質下，有三種不同的位置，再運用勾股定理，可以解答出P點的坐標。

二、等腰三角形分類問題

等腰三角形分類問題屬于分類討論中經常考查的一類問題，中考考查頻率高。常會涉及腰長與底邊長的確定、底角與頂角的確定等。較為復雜的是與圓、坐標等結合起來進行綜合考查，綜合題型較為復雜，學生要把握等腰三角形性質的核心，有效變通。

例4：若（a-1）2+|b-2|=0，則以a、b為邊長的等腰三角形周長為多少？

【解答】先根據非負數性質求解出a與b的結果，得出a=1，b=2。再結合三角形三邊的關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得出腰只能為2，底只能為1，所以，周長為2+2+1=5。

【分析】本題考查等腰三角形的性質、非負數的性質—絕對值、非負數的性質—偶次方、三角形三邊關系的相關知識，需要運用到分類討論思想，進行結果的分類討論與說明。難點在于討論求解的思路。

例5：等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數是多少？

【解答】①80°角是頂角時，三角形的頂角為80°，②80°角是底角時，頂角為180°-80°×2=20°。綜上，該等腰三角形頂角的度數為80°或20°。

【分析】本題考查等腰三角形兩個底角相等，兩腰長度相等，再結合三角形基本性質，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，就能得出問題的答案。

三、動點型分類討論問題

動點型分類討論問題一般是中考題型中的壓軸題，也是學生較為頭疼的問題。解決這類問題需要牢固掌握基礎知識，綜合運用三角形、圓形、坐標系、運動理論等相關知識，找準問題的關鍵，把握變化量及運動要素，有效解決問題。

例6：射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm.動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，√3cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值。

【解答】結合切線的性質、等邊三角形的性質相關知識，已知△ABC為等邊三角形，AM=MB=2cm，在沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動的過程中，會有3種切線情況，分別如下圖2、圖3、圖4。

運用切線性質中直角三角形的勾股定理、等邊三角形的相關知識，以及運動中速度、時間與路程的關系，得出圖2中t=2，圖3中t=3與t=7，圖4中t=8。由分類討論，總結得出答案為t=2或3≤t≤7或t=8。

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，勾股定理，含30°角的直角三角形性質，切線的性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行計算的能力，注意要進行分類討論，將分類討論的結果進行總結歸納，得出正確結果，還需要進行再次檢驗，以求結果的準確性，提高解題效果。

對于動點型分類討論，重要是進行分類思想與方法的運用，全面考慮每種情況，并驗證其正確性，再進行分類計算，總結出最后的結果，確保結果的全面、準確、有效。

四、圖形的拼接分類討論

在幾何圖形的拼接過程中，也運用到了分類討論思想，拼接問題需要注意拼接的合理性，要從角度、長度進行配合，不能隨意拼接，觀察拼接后想要的圖形，再整體規劃拼接前的切線，找到切線，計算各部分線段的長度，再計算面積、周長等。

例7：如圖，有一張一個角為30°，最小邊長為2的直角三角形紙片，沿圖中所示中位線剪開后，將兩部分拼成一個四邊形，所得四邊形的周長是多少？

【解答】根據三角函數可以計算出BC=4，AC=2√3，再根據中位線的性質可得CD=AD=√3，CF=BF=2，DF=1，然后拼圖，出現兩種情況，如圖5與圖6，一種是拼成一個矩形，另一種拼成一個平行四邊形，進而算出周長即可。結合計算得出，所得四邊形的周長是8或4+2√3。

【分析】這道題主要考查了圖形的剪拼，關鍵是根據條件畫出圖形，要考慮全面。實施分類討論，采取數形結合的方法，全面分類與總結歸納。

【總結】對于該類型問題的分析，需要畫出圖形，運用數形結合的方法，再加上空間想象能力的運用，有效實施分類討論，得出正確結果。

總之，分類討論思想的應用非常廣泛，需要深入到問題本質，展開思想方法的研究，發現數學本質屬性的相同點與不同點，將研究對象有效分類。基于不遺漏、不重復的原則，展開合理、科學的分類討論，并歸納總結分類結果，進行驗證思考，繼而得出問題的答案。分類討論思想是初中數學重點學習的思想方法，也是能夠有效培養學生創新思維、想象能力的關鍵因素，教師要重視對學生分類討論思想方法的引導教學，并讓學生在長期的實踐練習中，提升解決問題的能力。

（責編 林 劍）