考慮大地影響高速鐵路軌道電路互阻抗快速計算簡化公式

杜學龍王智新鄒 軍（. 清華大學電機系 北京 00084 . 北京全路通信信號研究設計院 北京 00073）

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考慮大地影響高速鐵路軌道電路互阻抗快速計算簡化公式

杜學龍1王智新2鄒 軍1
（1. 清華大學電機系 北京 100084 2. 北京全路通信信號研究設計院 北京 100073）

摘要相鄰軌道電路互阻抗是軌道電路計算分析的重要參數之一。考慮大地影響，推導了相鄰軌道電路互阻抗簡化表達式。根據Deri地阻抗表達式，獲得兩個相鄰軌道電路之間的互阻抗；考慮軌道電路空間位置特點，采用泰勒公式對相鄰軌道電路互阻抗表達式進行化簡，得到一種快速計算公式。數值計算結果表明，化簡后的相鄰軌道互阻抗計算公式準確度高，可方便計算考慮大地情況下相鄰軌道電路互阻抗。

關鍵詞：高速鐵路 軌道電路 互阻抗

A Fast and Simplified Formula for Calculating the Mutual Impedance with the Earth Return of the High-Speed Railway Track Circuit

Du Xuelong1Wang Zhixin2Zou Jun1
（1. Electrical Engineering Department Tsinghua University Beijing 100084 China 2. Beijing National Railway Research & Design Institute of Signal & Communication Beijing 100073 China）

Abstract The mutual impedance of two adjacent track circuits is one of the important parameters for analyzing the track circuit. Considering the earth return of the high-speed railway track circuit, a fast and simplified formula for calculating the mutual impedance is studied in this paper. First, the mutual impedance of two adjacent track circuits is obtained based on the Deri’s ground impedance expression. Then, according to the spatial location characteristics of track circuit, the expression of the mutual impedance is simplified through Taylor formula. The results indicate that the simplified formula has high accuracy, and is suitable for calculating the mutual impedance with the earth return of two adjacent track circuits.

Keywords：High-speed railway, track circuit, mutual impedance

0 引言

軌道電路是保證高速鐵路穩定運行的重要技術之一[1-6]，軌道互阻抗是軌道電路計算的重要參數[7-9]。對于客運專線四對線路并行運行情況，相鄰線路同頻信號會通過空間耦合等方式在本區段產生干擾[10]，該干擾可能導致軌道電路信號的誤動作，需要分析相鄰線路互阻抗以設計正確的軌道電路。對于低頻軌道電路，可忽略大地對軌道互阻抗影響，但對于高速鐵路軌道電路（f =1 700～2 600Hz），應考慮大地對軌道互阻抗影響。

對于軌道互阻抗計算有多種方法。根據電磁場理論推導滿足邊界條件的波動方程，分析軌道電路的傳輸特性，該方法分析嚴謹但計算量大；采用數值計算方法可考慮不同的介質分布，但該方法對操作人員有一定的技術要求；根據Carson地阻抗公式計算軌道互阻抗，考慮了大地對軌道互阻抗影響，但涉及復數計算，計算復雜。

針對以上問題，本文采用Carson地阻抗簡化公式（Deri地阻抗公式）計算軌道互阻抗，考慮軌道電路空間位置特點，并采用泰勒公式對所求解進行化簡，得到快速計算軌道互阻抗的簡化公式。本文簡化的軌道互阻抗公式只涉及軌道間距、軌道高度、信號頻率和土壤電導率基本參數，便于計算且準確度高，適用于工程計算；同時，本文簡化公式給出了軌道互阻抗中電阻和電抗的顯式表達式。

1 快速計算軌道互阻抗簡化公式推導

1.1 軌道互阻抗求解問題

對于多條軌道并行運行情況，相鄰軌道通過空間耦合存在鄰線干擾問題。圖1為兩條并行軌道簡化圖，由圖可見，軌道1與軌道2之間存在耦合互感M，當軌道1存在軌道電路信號時，即圖1中電流I，該信號將在軌道1周圍產生磁場，并通過空間耦合方式在軌道2上產生干擾。若在考慮大地影響情況下求解軌道互阻抗，可采用Carson地阻抗公式[11]。

圖1 兩條并行軌道簡化Fig.1 Simplified diagram of two parallel tracks

圖2為地面上雙導線系統，在考慮大地影響情況下，導線k與導線l單位長度的互阻抗可由Carson地阻抗廣義積分形式表示為

圖2 地面上雙導線系統Fig.2 Double wire system above the ground

式中，ω為信號角頻率；μ0為真空磁導率；σg為大地電導率；hk為導線k到地面距離；hl為導線l到地面距離；dkl為兩導線水平距離。

為克服式（1）求解收斂的困難，Gary在研究電力系統故障時提出復深度地回路，并由A. Deri等人[12]在理論上證明了Carson方法與復深度地回路方法的關系，將大地用一組地回流導線代替[13]，簡化了Carson對地面上導線自阻抗和互阻抗的求解，即Deri地阻抗公式。圖3為低頻近似條件下，導線的鏡像及鏡像地回流線。圖中，l'為鏡像導線，l''為鏡像地回流導線，p為大地中低頻近似趨膚深度。

圖3 導線的鏡像及地回流線Fig.3 Tire image and ground return wire

根據Deri簡化公式，式（1）可近似表示為

式中，rkl為導線k與導線l的鏡像導線之間距離；Rkl為導線k與導線l的鏡像地回流導線之間距離。有

1.2 采用Deri地阻抗公式求解軌道互阻抗

圖4為兩條并行軌道互阻抗。圖中，d為一個軌道中兩鋼軌的間距（一般取值為1.435m）；D為相鄰軌道的間距；h為鋼軌中心線到地面的距離。

將鋼軌等效為其中心線處的導線，根據式（2）計算鋼軌1與鋼軌3互阻抗為

同理，計算鋼軌1、2與鋼軌3、4互阻抗為

圖4 兩條并行軌道互阻抗Fig.4 Mutual impedance of two parallel tracks

式中，rij為鋼軌i與鋼軌j的鏡像間距；Rij為鋼軌i與鋼軌j的鏡像地回流線間距。

所以，當鋼軌1、2組成的軌道電路通入信號時，采用Deri公式計算軌道互阻抗為1.3 軌道互阻抗公式化簡

式（8）涉及參數多，計算復雜，不適用于工程計算。根據高速鐵路軌道的空間位置特點，有

根據式（9）和式（10），通過泰勒公式和余弦定理對式（8）進行整理化簡可得

式中

對式（8）的具體簡化方法和過程見附錄。由式（11）～式（13）可看出，該化簡公式給出了軌道互阻抗中電阻和電抗的顯式表達式；并且通過軌道間距、軌道高度、信號頻率及土壤電導率四個基本參數可快速求解軌道互阻抗。

2 數值算例分析

2.1 大地對軌道互感影響

不考慮大地影響時，將鋼軌等效為其中心線處的導線，單位長度軌道互感可表示為[14]

通過式（8）計算考慮大地影響時軌道互感M有大地，圖5為有、無大地時軌道互感的相對差異。選取計算參數為D=5～15m，h=0.2m、0.4m、0.7m，f = 1 700Hz，σg=0.01S/m。相對差異計算式為

圖5 有、無大地時軌道互感的相對差異Fig.5 Relative difference between track mutual inductance with and without earth return

由圖5可知，在不同軌道高度和軌道間距時，考慮大地影響和不考慮大地影響兩種情況下，軌道互感的相對差異在5%～30%之間，因此對于高速軌道電路，應該考慮大地對軌道互感的影響。

2.2 軌道間距與軌道高度變化的影響

當D=5m，h=0.4m，f =1 700Hz，σg=0.01S/m時，由式（8）計算軌道互阻抗，其中電阻部分為0.147mΩ，電抗部分為0.169Ω（軌道長度為1 000m）。由此可見在軌道互阻抗中，電阻遠小于電抗，因此主要驗證化簡式（11）中電抗部分的正確性，同樣在計算過程中取軌道長度為1 000m。

根據實際情況，相鄰軌道間距最少為5m，軌道高度為0.4m左右，考慮四線并行，選取計算參數為：D=5～15m，h=0.2m、0.4m、0.7m，f =1 700Hz，σg= 0.01S/m。分別根據式（8）和式（11）計算軌道互阻抗中電抗部分，其對比結果如圖6所示，圖中XDeri為式（8）計算結果，X為式（11）計算結果。圖7為兩式計算軌道互阻抗中電抗的相對差異，該相對差異用δ1表示，并以XDeri為基準，其相對差異計算式與式（15）類似。

由圖6可知，在軌道間距和軌道高度變化時，式（11）與式（8）求解結果基本吻合，驗證了化簡式的正確性。由圖7可知，不同情況下，兩式求解結果最大相對差異在2.5%以下。考慮到軌道高度一般在0.4m左右，根據圖7可認為兩式求解結果相對差異在1%以下。

圖6 不同軌道間距和軌道高度時X與XDeri對比Fig.6 Comparison between X and XDeriwith different track spaces and track heights

圖7 不同軌道間距和軌道高度時X與XDeri相對差異Fig.7 Relative difference between X and XDeriwith different track spaces and track heights

2.3 信號頻率和土壤電導率變化的影響

根據實際軌道電路運行情況，選取計算參數為D = 5m，h=0.4m，f =1 700Hz、2 000Hz、2 300Hz、2 600Hz，σg=0.01～1S/m。分別根據式（8）和式（11）計算軌道互感，其對比結果如圖8所示，圖中MDeri為式（8）計算結果，M為式（11）計算結果。兩式計算軌道互感的相對差異如圖9所示，該相對差異用δ2表示，并以MDeri為基準，其相對差異計算式與式（15）類似。

由圖8可知，信號頻率和土壤電導率變化時，式（11）與式（8）求解結果相差小。由圖9可知，信號頻率和土壤電導率變化時，式（8）與式（11）所求結果的相對差異在4%以下。考慮到大地電導率一般小于0.5S/m，根據圖9可認為兩式所求結果相對差異在1%以下。

通過以上計算可知，在計算軌道互阻抗時，應考慮大地對其的影響；在不同軌道間距、軌道高度、信號頻率及土壤電導率情況下，本文化簡公式求解軌道互阻抗的結果與Deri地阻抗公式求解結果相對差異小，適用于工程計算。

圖8 不同信號頻率和土壤電導率時M與MDeri對比Fig.8 Comparison between M and MDeriwith different signal frequencies and soil conductivities

圖9 不同信號頻率和土壤電導率時M與MDeri相對差異Fig.9 Relative difference between M and MDeriwith different signal frequencies and soil conductivities

3 結論

本文根據Deri地阻抗公式及軌道電路空間位置特點，推導了考慮大地影響情況下高速軌道互阻抗簡化公式。計算表明：計算高速軌道互阻抗時，應考慮大地影響；本文推導的計算軌道互阻抗簡化公式計算簡便、準確度高，適用于工程計算；本文簡化公式給出了軌道互阻抗中電阻和電抗的顯式表達式；軌道互阻抗中電阻部分遠小于電抗部分，可忽略不計。

附 錄

根據泰勒公式得

對式（A1），若

則將式（8）表示為式中

根據圖4，將式（A5）整理為

因為軌道電路信號頻率可使式（9）成立，所以對于式（A7）中，有

根據式（A3），將式（A7）化簡整理為

對于式（A6），其中參數主要為鋼軌1、2與鋼軌3、4鏡像鋼軌之間的距離，如附圖1所示，四邊形123' 4'為平行四邊形，r13和r24為平行四邊形的對角線，r23和r14為平行四邊形的對邊，所以有在123'△中，利用余弦定理可得

附圖1 鋼軌1、2與鋼軌3、4的鏡像鋼軌之間的距離App. Fig.1 Distance between rail 1, 2 and the rail image of rail 3, 4

在△124'中，利用余弦定理可得

根據式（A12）～式（A14），將式（A6）整理得

軌道空間位置特點可使式（10）成立，并根據式（A1）對式（A15）進行泰勒公式展開，取前兩項并化簡整理得

根據式（A11）和式（A16），將式（A4）化簡整理可得式（11）。

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杜學龍 男，1988年生，博士研究生，研究方向為高速鐵路軌道電路鄰線干擾。

E-mail: xuelong.99@163.com（通信作者）

鄒 軍 男，1971年生，教授，博士生導師，研究方向為電磁場計算及應用。

E-mail: zoujun@tsinghua.edu.cn

作者簡介

收稿日期2014-08-25 改稿日期 2015-04-08

中圖分類號：TM153