基于蒙特卡羅方法的固體火箭姿態控制系統設計

王辰琳，趙長見，宋志國

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

基于蒙特卡羅方法的固體火箭姿態控制系統設計

王辰琳，趙長見，宋志國

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

在固體火箭姿態控制系統設計過程中，為保證設計結果的可靠性，需要針對發動機性能、全箭質量及氣動參數等進行拉偏仿真分析，各項偏差的大小及使用方法直接影響對固體火箭控制能力的需求。傳統固體火箭姿態控制系統設計時，一般針對各項偏差進行極限拉偏組合仿真，導致設計結果較為保守。針對總體各項偏差量，建立概率模型，采用蒙特卡羅方法進行控制力分析。數學仿真結果表明，相比傳統設計方法，在保證系統具有一定的可靠度情況下，大幅降低了對姿態控制系統的需求，優化了系統方案。

概率設計方法；總體偏差量；蒙特卡羅方法

0 引 言

固體火箭控制系統設計的基本目標是：在一定的可靠度下保證固體火箭飛行過程中舵機所能產生的控制力和控制力矩不低于箭身所受的干擾力和干擾力矩，否則，固體火箭會因所受干擾力矩過大而失控。由于輸入參數存在不確定性，這里的控制力、控制力矩和干擾力、干擾力矩都不是一個確定的值，而是由若干隨機變量組成的多元隨機變量，它們都具有一定的分布概率[1]。

在目前工程應用中，為提高設計的可靠性，通常按3σ要求給出偏差量的取值區間，并對各偏差量采用極限和的方法處理，然后在極限和的基礎上乘以安全系數，以此作為選擇舵機力矩大小的依據[2～4]。由于偏差量取值過于保守，安全系數依據主觀經驗選取[5]，導致傳統設計方法中理論計算出的干擾力和力矩過大，對執行機構推力需求余量過大，提升了設計的難度[6]。

為解決這個問題，本文以概率設計的方法來確定控制力矩需求，將設計中所考慮的總體偏差量當作隨機變量來處理，建立總體偏差量的概率模型，通過蒙特卡羅仿真方法計算由偏差量引起的干擾力矩，避免出現傳統設計中為追求安全可靠，對控制系統執行機構要求過高，造成不必要的成本上升，研制難度增大的問題。

1 姿態控制數學模型

固體火箭控制系統屬于多維非線性時變的系統。為了使非線性的問題得以解決，工程上常常運用在一定的假設條件來進行擾動線性化，才能把空間運動分解成相互獨立的平面運動。由于非線性微分方程可以進行線性化處理的最基本的假設是變量和工作點之前的偏差量非常小，并且要求變量在該點處存在導數或者偏導數。若該條件成立，則可以在該工作點的附近區域中將描述控制系統特性的非線性微分方程通過變量偏差形式展為泰勒數，并忽略高階偏差小量，就可以得到以變量相應于平衡點處的偏差量作為自變量的線性微分方程[7]。通過理論推導，建立固體火箭的三通道線性化模型[8]：

設計控制系統時要了解箭體的動態特性，在經典自動控制理論中用傳遞函數等來表征系統的動態特性。傳遞函數概念一般只適合于線性控制系統，為解決非線性時變的問題，實際工程上一般運用系數凍結法。系數凍結法是依據控制系統參數變化的范圍和快慢來進行分段凍結的方法[9]，不同段的取值不同，同段內參數值相同并按定常系統處理。由于固體火箭繞質心運動的暫態過程比方程系數變化快得多，所以可以近似認為在姿態角偏差暫態過程中方程系數不變，即將方程系數凍結在相應的飛行秒上，因此可將傳遞函數概念用在控制系統的分析設計上。

由式（1）～（3）可得剛性箭體的傳遞函數：

2 蒙特卡羅方法

蒙特卡羅方法也稱為隨機模擬方法，有時也被稱為隨機抽樣技術或統計試驗方法。它的基本思想是為了求解數學、物理、工程技術以及生產管理等方面的問題，首先建立一個概率模型或隨機過程，使它的參數等于問題的解；然后通過對該模型或過程的抽樣試驗（仿真）來計算所求參數的統計特征；最后給出所求解的近似值，而解的精確度可用估計值的標準誤差或其它統計特征來表示。

用蒙特卡羅方法模擬某過程時，需要產生各種概率分布的隨機變量。為了方便，通常把[0,1]區間上均勻分布隨機變量的抽樣值稱為隨機數，其他分布隨機變量的抽樣都是借助于隨機數來實現的。現在，隨機數基本上都是用計算機來產生的，例如Matlab里的Random函數。嚴格地說，這種隨機數是由一種迭代過程即數學工程產生的，能通過一系列的局部隨機性檢驗，如均勻性、獨立性檢驗，通常稱這樣產生的數為偽隨機數。

假定已獲得了上述隨機數，根據概率模型的特點和隨機變量的分布特性，設計和選取合適的抽樣方法并對每個隨機變量進行隨機抽樣。這里的抽樣方法有直接抽樣、分層抽樣、相關抽樣等，選取合適抽樣方法的目的是降低模擬結果的估計方差，提高模擬精度，或者在保證精度的前提下提高計算效率[10]。

設ri(i=1,2,...,12)是[0,1]區間上均勻分布隨機量的12次抽樣值，根據概率統計理論，隨機數ri的期望值為1/2，標準差為則可由如下的近似抽樣法產生一個標準正態分布隨機數

從仿真結果可知，為保證固體火箭各通道姿態可控，俯仰通道至少需要10 053.769 N·m的控制力矩，偏航通道至少需要11 271.419 N·m的控制力矩，滾動通道至少需要1932 N·m的控制力矩，單舵最大舵偏角可達29.81°，超出最大舵偏27°限制，控制力無法滿足需求。

假設需要的正態隨機量滿足η～N(μ,σ2)，則η可由下式得到：

式中 μ,σ分別為隨機變量η的期望值和標準差。

3 基于蒙特卡羅的姿態控制系統概率設計

3.1 總體偏差量概率模型

對固體火箭設計、生產與使用過程進行分析可知，引起固體火箭戰技指標偏離的原因有2類：a）系統偏差，如發射平臺的固有系統誤差、瞄準誤差、射擊諸元裝訂誤差、大地測量誤差、恒風測量誤差等[11]，這些誤差所引起的偏差是確定的，是可以消除的；b）隨機偏差，包括固體火箭質量特性偏差、發動機性能偏差、氣動特性偏差等。固體火箭總體設計的偏差量特指隨機偏差。

通過對大量實測及計算數據的統計分析，建立了總體各項偏差的概率分布模型，見表1。

表1 總體偏差量的概率分布

3.2 控制力分析

3.2.1 傳統設計方法

由于總體各項參數與實際飛行時有差異，姿態運動方程式系數額定狀態并不能完全代表飛行器的飛行條件，因此要進行上下限偏差設計。在傳統設計方法中，將偏差量的取值組合按照對控制系統的影響分為姿控上限狀態和下限狀態。

a）系統的上限狀態選取固體火箭總體參數、控制系統參數的偏差組合，應使開環幅頻增大，高頻幅裕度減小；

b）系統的下限狀態選取固體火箭總體參數、控制系統參數的偏差組合，應使開環幅頻減小，低頻幅裕度減小。

選取式（4）～（6）各項系數的上限、下限狀態，可以得到姿控系統的上限、下限狀態。按姿控上限、下限狀態分別進行仿真，結果見表2。

表2 傳統設計方法仿真結果

3.2.2 蒙特卡羅方法

以Matlab/Simulink為平臺，根據式（1）～（3）所描述的固體火箭三通道姿態運動方程，搭建姿態控制系統仿真模型。仿真計算流程見圖1。

表1中的總體偏差量數據利用Matlab軟件中的normrnd函數生成，部分擬合結果分布見圖2。

經驗證，各偏差量均獨立且符合其概率分布模型。采用蒙特卡羅方法仿真計算50 000次，得到各通道舵機偏轉角和干擾力矩隨時間變化的曲線，通過提取每條曲線上舵機偏轉最大值和干擾力矩最大值，統計并計算其均值和標準差。仿真過程中3個通道的最大需用舵偏角的統計結果見圖3。

圖1 蒙特卡羅方法流程

圖2 擬合結果分布

圖3 三通道仿真最大舵偏角數據直方圖

在給定置信度（3σ）條件下，確定出最大舵偏角和控制力矩的許用設計值列于表3。俯仰通道至少需要8519.193 N·m的控制力矩，偏航通道至少需要9869.928 N·m的控制力矩，滾動通道至少需要1657.033 N·m的控制力矩，單舵最大需用舵偏角為19.475°。

表3 概率設計方法仿真結果

3.2.3 對比分析

表4為概率設計方法和傳統方法的對比。從表4可知，在設計輸出參數滿足3σ要求的同時，概率設計方法能降低執行機構的需求力矩和需用舵偏角，滿足執行機構對舵偏角的限制。

表4 傳統方法與概率設計方法對比

4 結 論

本文按照概率設計方法的思想，在滿足給定置信度的要求下，建立了固體火箭總體偏差量的概率模型，采用蒙特卡羅方法進行大量仿真計算，結果證明：概率設計方法可在一定程度上減少姿態控制系統的需用力矩和最大需用舵偏角，在保證設計可靠的同時又不過于保守，降低對控制系統要求，優化固體火箭姿態控制系統設計方案。

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Design of Solid-fuel Rocket Attitude Control System Based on Monte Carlo Method

Wang Chen-lin, Zhao Chang-jian, Song Zhi-guo
(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

In the design process of solid-fuel rocket attitude control system, it is necessary to simulate based on population deviations of engine performance, whole solid-fuel rocket mass and aerodynamic parameter in order to assure the reliability of design results, because the using method of deviation factors are accounted for the demand of solid-fuel rocket control. The extreme value of population deviations are taken in the traditional design method, but it leads to more conservative design results. The probability models of population deviations are established, and then Monte Carlo methods are introduced to analysis the controlling force. The simulated results show that, compared to the traditional design method, the probability design method reduces the demand of solid-fuel rocket attitude control system and optimizes the system design scheme obviously.

Probability design method; Population deviation; Monte Carlo method

V448.22

A

1004-7182(2016)05-0028-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20160506

2015-12-14；

2016-03-30

王辰琳（1991-），女，碩士，主要研究方向為飛行器姿態控制系統設計