非標準模型中*-映射的內(nèi)部刻畫

馮晶晶，陳東立

(1.西安培華學院基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125；

2.西安建筑科技大學理學院，陜西 西安 710055)

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非標準模型中*-映射的內(nèi)部刻畫

馮晶晶1，陳東立2

(1.西安培華學院基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125；

2.西安建筑科技大學理學院，陜西 西安 710055)

[摘要]介紹了超結(jié)構(gòu)的超冪模型及其有關(guān)結(jié)論，進一步給出了M-映射和e-映射的定義及其性質(zhì)，得到了*-映射的內(nèi)部構(gòu)造以及*-映射的性質(zhì).最后用*-映射的內(nèi)部構(gòu)造證明了轉(zhuǎn)換原理.

[關(guān)鍵詞]超冪模型；M-映射；e-映射；*-映射；轉(zhuǎn)換原理

非標準分析是數(shù)學中利用現(xiàn)代數(shù)理邏輯，把通常的實數(shù)結(jié)構(gòu)擴張為包括無窮小和無窮大的結(jié)構(gòu)后形成的一個分支，是使用非標準模型研究各種數(shù)學問題的新的數(shù)學理論.非標準分析已被廣泛應(yīng)用到巴拿赫空間、微分方程、概率論、數(shù)理經(jīng)濟學、數(shù)理物理學等領(lǐng)域.[1-3]關(guān)于非標準問題的研究大致分為兩個方面：一是對非標準模型的研究；二是利用非標準方法解決標準的數(shù)學問題.目前，絕大多數(shù)非標準分析方面的文獻均是討論用非標準的方法解決標準的數(shù)學問題，提供了把有限數(shù)學中的結(jié)論和方法應(yīng)用到無限數(shù)學中的可能.[4-7]但已有文獻對非標準模型的研究相對較少，隨著非標準分析的廣泛應(yīng)用，對非標準模型的深入研究顯得尤為迫切.

1預(yù)備知識

設(shè)S為個體集，令

V0(S)=S，

Vn(S)=Vn-1(S)∪P(Vn-1(S)).

令

V(S)I={f|fδ∈V(S) a.e.，δ∈I}，

即V(S)I為I到V(S)中的全體映射.記

則稱Z中的元素為有界映射.定義等價關(guān)系f~Fg?{δ∈I|fδ=gδ}∈F，容易證明~F是V(S)I中的等價關(guān)系.

令

V(S)I/~F={[f]|f∈V(S)I}，

其中[f]={g∈V(S)I|g~Ff}，則稱V(S)I/~F為V(S)的超冪，稱Z/~F={[f]|f∈Z}為V(S)上的有界超冪.

命題1Z/~F?V(S)I/~F.

證明對任意的[f]∈Z/~F，f∈Z，存在某個n∈N使得f∈Zn，從而

fδ∈Vn(S) a.e..

又

Vn(S)?V(S)，

所以

fδ∈V(S) a.e.，f∈V(S)I，[f]∈V(S)I/~F.

故

Z/~F?V(S)I/~F.

證明

2主要結(jié)果

定義1對任意f∈V(S)，設(shè)〈f〉為常值映射(f)δ∈I所在的等價類.則稱映射e:f→〈f〉為自然嵌入映射.

命題3自然嵌入映射e是V(S)到Z/~F內(nèi)的單射.

證明任意選取f，g∈V(S)，f≠g，假設(shè)e(f)=e(g).由于

e(f)=〈f〉，e(g)=〈g〉，

則fδ=gδ，從而f=g.這與f≠g矛盾，即e(f)≠e(g)，e是V(S)到Z/~F內(nèi)的單射.

定義2對任意的[f]，[g]∈V(S)I/~F，[f]∈F[g]是指fδ∈gδa.e..

注[f]≠{[g]|[g]∈F[f]}，其中“∈F”與“∈”不同.

設(shè)S是個體集，令*S=SI/~F={[f]|fδ∈S}，則*S也是個體集.?[f]∈*S，存在δ∈I，fδ∈S.由于S為個體集，則fδ≠?，且對任意的r∈S，r?fδa.e.，從而[f]≠?，且對任意的[g]∈*S，[g]?[f].

類似V(S)的構(gòu)造，我們構(gòu)造*S上的超結(jié)構(gòu)V(*S)如下：

V0(*S)=*S，

Vk+1(*S)=Vk(*S)∪P(Vk(*S))，

定理1存在Z/~F到V(*S)內(nèi)的單射M，使得:

(1) M在*S上是恒等映射；

(2) 對任意的[f]∈Z/~F*S，M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}.

證明(1) 定義M為：若[f]=V0(*S)=*S，則

M([f])=[f]∈V0(*S)=*S；

若[f]∈Vn(S)I/~F*S，且已定義了M([f])，則當[f]∈Vn+1(S)I/~F*S時，

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}.

對任意的[f]，[f′]∈Z/~F，且[f]=[f′]，有

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}，

M([f′])={M([g])|[g]∈F[f′]}.

又[f]=[f′]，從而

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}={M([g])|[g]∈F[f′]}=M([f′]).

故M是Z/~F到V(*S)內(nèi)的映射.特別地，由M的定義知M在*S上是恒等映射.

(2) 對任意的[f]，[g]∈Z/~F，且[f]≠[g]，有

M([f])={M([t])|[t]∈F[f]}，

M([g])={M([t])|[t]∈F[g]}.

若M([f])=M([g])，即

{M([t])|[t]∈F[f]}={M([t])|[t]∈F[g]}，

則

{M([t])|tδ=fδa.e.}={M([t])|tδ=gδa.e.}.

故fδ=gδa.e.，從而f~Fg，[f]=[g].這與[f]≠[g]矛盾，所以

M([f])≠M([g])，

即M是Z/~F到V(*S)內(nèi)的單射.

定義3令M°e:V(S)→V(*S).則對任意的a∈V(S)，稱*a=M(e(a))為a的非標準擴張.

注對任意的f∈Z，M([f])與*f是不同的.

定理2*-映射是V(S)到V(*S)內(nèi)的單射.

證明?x，y∈V(S)，若*x=*y，則M(e(x))=M(e(y)).由于M，e均為單射，所以x=y，即*-映射是V(S)到V(*S)內(nèi)的單射.

文獻[8]指出:一個給定的全域U的形式語言LV(S)由詞匯集和公式集兩部分組成，如果公式中的變量都不是自由出現(xiàn)的，則稱公式為句子.在下面的證明過程中，將有關(guān)*-映射分解為M-映射和e-映射的合成.

定理3[9](轉(zhuǎn)換原理)若α為形式語言LV(S)(其中S為非空個體集)中的有界句子，則V(S)|=α，當且僅當V(*S)|=*α.這里的*α是將α中的每個常量u替換為*u而得到的形式語言LV(S)中的句子.

證明對括號的個數(shù)m進行歸納證明.

當m=0時， α形如u=v，u∈v，其中u，v是V(*S)中的元.

若u=v，則

*u=M(e(u))=M(〈u〉)=M(〈v〉)=M(e(v))=*v；

反之，若*u=*v，即

M(e(u))=M(e(v)).

由于M，e均是單射，所以u=v.因此u=v，當且僅當*u=*v.

若u∈v，由于

同理可得

M(e(u))∈M(e(v))，

即

*u∈*v；

反之，若*u∈*v，即

M(e(u))∈M(e(v))，

從而

M-1(M(e(u)))∈M-1(M(e(v))).

于是e(u)∈e(v)，同理可得u∈v.所以u∈v當且僅當*u∈*v.由此證得當m=0時定理成立.

假設(shè)括號的個數(shù)小于m時定理結(jié)論成立，則當括號數(shù)為m時，α有三種情況：

(ⅱ) α=[β]∨[γ]；

(ⅲ) α=?xi[δ].

其中β，γ是句子，而δ或是句子或是僅以xi為自由變量的公式.顯然β，γ，δ的括號數(shù)小于m.下面分情況進行討論.

(ⅰ) V(*S)|=*α，當且僅當V(*S)|=*β不成立.由歸納假設(shè)，V(*S)|=*β不成立，當且僅當V(S)|=β不成立，當且僅當V(S)|=β，即V(S)|=α.所以V(*S)|=*α，當且僅當V(S)|=α.

(ⅱ) V(*S)|=*α，當且僅當V(*S)|=*β，且V(*S)|=*γ.由歸納假設(shè)，V(*S)|=*β且V(*S)|=*γ，當且僅當V(S)|=β且V(S)|=γ，當且僅當V(S)|=α.所以V(*S)|=*α，當且僅當V(S)|=α.

(ⅲ) 對V(S)中的任意元素u，用δ(u)表示把在δ中自由出現(xiàn)的xi換成u后得到的公式.若xi在δ中的出現(xiàn)都不是自由的，則δ(u)即是δ.由于xi是δ中可能出現(xiàn)的僅有變量，所以δ(u)中不再有自由變量，故是句子.因δ(u)的括號數(shù)小于m，由歸納假設(shè)V(S)|=δ(u)，當且僅當V(*S)|=*δ(*u).

若V(*S)|=*α，故存在V(*S)中的元*u，V(*S)|=*δ(*u).由歸納假設(shè)V(*S)|=*δ(*u)，當且僅當V(S)|=δ(u)，從而V(S)|=?xi[δ]，即V(S)|=α.

若V(S)|=α，于是A∈F，當i∈A時，有V(S)中的元素f(i)，使V(S)|=δ[f(i)].設(shè)v是V(S)中任一元素，對i∈Ac，令f(i)=v.于是由選擇公理，存在f:I→V(S)，使

V(S)|=δ[f(i)].

從而由歸納假設(shè)，V(*S)|=*δ[*f(i)]，即存在V(*S)中的元素*f(i)，使得

V(*S)|=*δ[*f(i)]，

即V(*S)|=*α.

綜上所述，V(S)|=α，當且僅當V(*S)|=*α.

[參考文獻]

[1]LEOB P A. Conversion from nonstandard measure space and application to probability theory [J]. Trans Math Soc，1975，211:113-122.

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[4]陳東立，史艷維，董歡歡.向量函數(shù)微分的非標準定義[J].東北師大學報(自然科學版)，2015，47(3):37-39.

[5]陳東立，馮晶晶，馬春暉.取值于Rd空間上函數(shù)積分的非標準定義[J].西北大學學報(自然科學版)，2010，40(3):379-381.

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[8]李邦河.非標準分析基礎(chǔ)[M].上海：科技出版社，1986:25-38.

[9]DAVIS M.Applied nonstandard analysis[M].New York：Wiley，1977:17-28.

(責任編輯：李亞軍)

*-Mapping of the nonstandard model

FENG Jing-jing1， CHEN Dong-li2

(1.Department of Basic Courses，Xi’an Peihua University，Xi’an 710125，China；2.School of Science，Xi’an University of Architecture and Technology，Xi’an 710055，China)

Abstract:Firstly，the ultrapowers of the superstructure and some related conclusions are introduced. Then the definitions and properties of the M-mapping and e-mapping are presented. Moreover，the natural construction of *-mapping is given and a property of *-mapping is proved. Finally，the transfer principle is proved by the natural construction of *-mapping.

Keywords:ultrapowers model；M-mapping；e-mapping；*-mapping；transfer principle

[中圖分類號]O 141.41[學科代碼]110·37

[文獻標志碼]A

[作者簡介]馮晶晶(1984—)，女，碩士，講師，主要從事應(yīng)用非標準分析研究；陳東立(1963—)，男，碩士，教授，主要從事應(yīng)用非標準分析研究.

[基金項目]陜西省自然科學基金資助項目(2007A12)；陜西省教育廳專項科學研究項目(11JK0507).

[收稿日期]2014-08-29

[文章編號]1000-1832(2016)01-0001-04

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.001