函數組的廣義仿射線性相關性及其推廣

孫愛慧，程曉亮，吳秀蘭

(吉林師范大學數學學院，吉林 四平 136000)

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函數組的廣義仿射線性相關性及其推廣

孫愛慧，程曉亮，吳秀蘭

(吉林師范大學數學學院，吉林 四平 136000)

[摘要]給出了函數組廣義仿射線性相關與強仿射線性相關等概念，得到了函數組及其導函數組廣義仿射線性相關的充要條件和必要條件，證明了函數組線性相關與仿射線性相關等價的條件.

[關鍵詞]函數組；線性相關；強線性相關；廣義仿射線性相關；強廣義仿射線性相關

在代數學的發展進程中，線性相關性一直是人們熱衷的問題之一：文獻[1-2]給出了向量組線性相關性的概念和一些重要結論；文獻[3]提出了向量組強線性相關性的概念與一些相關結論；文獻[4-5]將仿射線性相關性和強仿射線性相關性的概念引入到向量組中；文獻[6-7]將線性相關性和廣義線性相關性引入到數列組中.受此啟發，將向量組的情形一般化到函數組、將仿射線性相關等性質引入到函數組并推廣到廣義的情形是十分必要的.

1預備知識

用f(x)，g(x)，h(x)表示定義在區間I上的一元實函數，為了書寫簡便，簡記為f，g，h.我們約定：同一個定義或定理中出現的函數的定義域均相同；文中出現的數均為實數.

2主要結果

定理1已知F1，F2，…，Fn是定義在區間I上的n個C1-函數，f1，f2，…，fn是其導函數組.則F1，F2，…，Fn廣義仿射線性相關，當且僅當f1，f2，…，fn仿射線性相關.

證明先證必要性.由已知，存在不全為零的n個實數λ1，λ2，…，λn，使得?x∈I，

λ1F1+λ2F2+…+λnFn+a=0.

對該式兩端求導得

即

λ1f1+λ2f2+…+λnfn=0，

從而f1，f2，…，fn仿射線性相關.

下證充分性.由f1，f2，…，fn仿射線性相關，一定存在不全為零的n個數λ1，λ2，…，λn，使得

λ1f1+λ2f2+…+λnfn=0.

又知F1，F2，…，Fn分別是f1，f2，…，fn的原函數，故對等式λ1f1+λ2f2+…+λnfn=0兩端同時求不定積分有

∫λ1f1dx+∫λ2f2dx+…+∫λnfndx=0，

即

λ1F1+C1+λ2F2+C2+…+λnFn+Cn=0.

令C1+C2+…+Cn=a，則

λ1F1+λ2F2+…+λnFn+a=0，

即F1，F2，…，Fn廣義仿射線性相關.

推論1設F1，F2，…，Fn是定義在區間I上的n個C1-函數，f1，f2，…，fn是其導函數組.則F1，F2，…，Fn強廣義仿射線性相關，當且僅當f1，f2，…，fn強仿射線性相關.

推論2設A:f1，f2，…，fn是定義在區間I上的n個Cm-函數.若函數組A廣義仿射線性相關，則

必仿射線性相關.進一步地，若m≥n，則

則A線性相關，當且僅當A仿射線性相關.

即

設

則

而d≠0，故λ1+λ2+…+λn=0.即函數組A仿射線性相關.

類似地，我們可以得到下面結論.

則A強線性相關，當且僅當A強仿射線性相關.

我們下一步試圖將本文中函數組的結論推廣到向量函數組上，同時由于文獻[8]中給出了向量函數微分的非標準定義，于是，我們還要將著眼點放到更一般的非標準微分的情形上.

[參考文獻]

[1]北京大學數學系.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2013:164-167.

[2]張禾瑞，郝炳新.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2007:217-254.

[3]楊聞起.強線性相關性與弱無關性[J].寶雞文理學院學報，2009，29(2):1-3.

[4]香花.關于仿射線性相關性的探討[J].數學實踐與認識，2012，42(7):219-225.

[5]香花.強仿射線性相關性與強線性相關性[J].安徽師范大學學報，2013，36(3):211-215.

[6]楊建華.數列組的齊次線性相關性[J].武漢工程大學學報，2009，31(9):81-82.

[7]楊建華.數列組的廣義線性相關性[J].武漢工程大學學報，2009，31(12):79-81.

[8]陳東立，史艷維，董歡歡.向量函數微分的非標準定義[J].東北師大學報(自然科學版)，2015，47(3):37-39.

(責任編輯：李亞軍)

The generalized affine linear correlation of function group and the forms of promotion

SUN Ai-hui，CHENG Xiao-liang，WU Xiu-lan

(College of Mathematics，Jilin Normal University，Siping 136000，China)

Abstract:The present paper puts forward the concepts on generalized and strongly generalized affine linear correlation of function group. Some sufficient and necessary conditions are deduced to judge the generalized or strongly generalized affine correlation between the function group and its derivatives，as well as a necessary and sufficient condition on linear correlation and affine linear correlation of function group.

Keywords:function group；linear correlation；strongly linear correlation；generalized affine linear correlation；strongly generalized affine linear correlation

[中圖分類號]O 151[學科代碼]110·21

[文獻標志碼]A

[作者簡介]孫愛慧(1978—)，女，碩士，主要從事基礎數學研究.

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11301215)；吉林省青年科研基金資助項目(20130522094H).

[收稿日期]2014-10-11

[文章編號]1000-1832(2016)01-0005-03

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.002