隨機(jī)多種群互惠系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

王麗順，李海紅，李海霞

(1.中國國防科技信息中心，北京 100142；

2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024；

3.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長春 130024；

4.長春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林 長春 130024)

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隨機(jī)多種群互惠系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

王麗順1，李海紅2，3，李海霞4

(1.中國國防科技信息中心，北京 100142；

2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024；

3.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長春 130024；

4.長春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林 長春 130024)

[摘要]研究了帶有隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的多種群互惠系統(tǒng)，證明了系統(tǒng)解的存在唯一性，給出了時(shí)間均值意義下的持久性概念，并指出所討論系統(tǒng)在此意義下是持久的.

[關(guān)鍵詞]隨機(jī)微分方程；李亞普諾夫函數(shù)；平穩(wěn)分布；持久性

互惠行為廣泛存在于各種生物種群中，因其普遍性和重要性，使得對共生生物之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的研究一直占據(jù)著生態(tài)學(xué)研究的主導(dǎo)地位.[1-6]著名的種群動(dòng)態(tài)模型——Lotka-Volterra互惠系統(tǒng)，已受到眾多學(xué)者的大量關(guān)注和廣泛研究.[5-6]

眾所周知，Lotka-Volterra互惠系統(tǒng)可描述為

(1)

(2)

Goh[7]研究了兩個(gè)種群的互惠系統(tǒng)，其模型為

還有很多學(xué)者研究了互惠系統(tǒng)及其延展形式，如考慮時(shí)滯對互惠系統(tǒng)的影響等.[8]本文考慮隨機(jī)互惠系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為.

1全局正解的存在性，唯一性

這里采用類似文獻(xiàn)[9]中的證明方法得到系統(tǒng)(1)全局正解的存在唯一性.

P{τ∞≤T}>ε，

結(jié)合τ∞的定義，則存在整數(shù)k1≥k0，當(dāng)k≥k1時(shí)有

P{τk≤T}≥ε.

(3)

由于

從而

對上式兩端取期望可得

(4)

于是由(1.4)式可得

V(x(0))+KT≥E[1Ωk(ω)V(x(τk，ω))]≥

其中1Ωk表示Ωk的特征函數(shù).令k→∞，上式顯然矛盾，因此τ∞=∞，a.s..定理1.1證畢.

2系統(tǒng)在均值意義下的持久性

在確定性系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[10]給出了均值意義下持久性的概念.這里，我們對隨機(jī)系統(tǒng)也給出相應(yīng)的定義.

定義2.1稱系統(tǒng)(1.1)在時(shí)間均值意義下是持久的，是指

我們做如下假設(shè)：

文獻(xiàn)[10]研究了隨機(jī)Logistic微分方程

得到如下結(jié)論.

由隨機(jī)比較定理可得

xi(t)≥φi(t)，i=1，2，…，n，a.s.，

其中φi(t)是如下方程的解：

(5)

另外，Gray等[11]研究了如下帶有隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的SIS傳染病模型：

dI(t)=I(t)[(βN-μ-γI(t))dt+σ(N-I(t))dB(t)]，

(6)

其中B(t)是一維的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，I(0)=I0∈(0，N)，N是受傳染病傳染的人群數(shù)量.

當(dāng)假設(shè)(P)滿足時(shí)，由引理2.1和引理2.2可知系統(tǒng)(5)存在平穩(wěn)分布，并且

綜上，我們有下面結(jié)論.

即系統(tǒng)(1)在均值意義下是持久的.

[參考文獻(xiàn)]

[1]高芳.帶有食餌避難的Leslie-Gower捕食者-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及最優(yōu)稅收[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，46(2)：1-8.

[2]于新艷.污染環(huán)境下具有Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，45(1)：6-12.

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[4]LI H H. Persistence and non-persistence of a food Chain model with stochastic perturbation[J/OL]. Abstract Appl Anal，2013[2014-04-29]. http://dx.doi.org/10.1155/2013/125089.

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[7]GOH B S. Stability in models of mutualism[J]. Amer Nat，1979，113：261-275.

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[11]GRAY A，GREENHALGH D，HU L，A stochastic differential equation SIS epidemic model[J]. SIAM J Appl Math，2011，71：876-902.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Dynamic behavior of a stochastic multiple species mutualism system

WANG Li-shun1，LI Hai-hong2，3，LI Hai-xia4

(1.China’s National Defense Science and Technology Information Center，Beijing 100142，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；3.Department of Basic Science，Jilin Construction University，Changchun 130024，China；4.School of Business，Changchun Guanghua University，Changchun 130024，China)

Abstract:In this paper，we analyze a n-species mutualism stochastic system. First of all，a unique positive solution of the system is considered which is essential in any population dynamics model. Then，we deduce a condition to keep the system being persistent in sense of time average.

Keywords:stochastic differential equation；Lyapunov function；stationary distribution； permanent

[中圖分類號]O 175.14[學(xué)科代碼]110·34

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[作者簡介]王麗順(1966—)，女，博士，高級工程師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究；通訊作者：李海紅(1983—)，女，博士，主要從事微分方程研究.

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171350).

[收稿日期]2014-04-29

[文章編號]1000-1832(2016)01-0022-04

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.006