具有年齡結構的三種群捕食與被捕食系統的最優邊界控制

卜 紅 彧

(遼東學院師范學院數學系，遼寧 丹東 118003)

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具有年齡結構的三種群捕食與被捕食系統的最優邊界控制

卜 紅 彧

(遼東學院師范學院數學系，遼寧 丹東 118003)

[摘要]研究了一類具有年齡結構的三種群非線性捕食系統的最優邊界控制問題，由Mazur定理得到了最優邊界控制的存在性，利用法錐概念給出了最優控制滿足的條件.

[關鍵詞]捕食系統；年齡結構；最優邊界控制；最優條件

1預備知識

對單種群動力系統最優控制問題的研究具有重要的應用價值，且已獲得了較為系統的成果.[1-3]但對于多種群系統控制問題的研究，因其復雜性，尚不夠完善.已有主要成果如下:文獻[4-5]討論了具有年齡結構的捕食-食餌種群動力系統的最優收獲控制；文獻[6-8]研究了具有年齡結構的競爭種群系統的適定性及最優控制問題；文獻[9]討論了具有空間擴散和年齡結構的三種群捕食與被捕食系統的最優收獲問題；文獻[10]討論了具有年齡結構的兩種群非線性競爭系統的最優邊界控制.本文將在此基礎上，討論三種群捕食與被捕食系統的最優邊界控制問題.考慮如下數學模型：

(1)

其中：Q=(0，A)×(0，T)，A為種群最大年齡，T為時間周期；pi(r，t)為第i個種群的分布密度；μi，βi分別為第i個種群的平均死亡率和平均生育率；λi為種群間的相互作用系數；pi0是第i個種群的初始分布密度；Pi(t)為第i個種群t時刻的種群總量；Si(t)為第i個種群t時刻的加權總量；wi(r，t)為權函數；fi是種群的外部擾動函數，如遷移等；控制變量vi(t)為r=0時的邊界函數.

考慮如下的最優邊界控制問題

(2)

(H2) 對(r，t)∈Q，βi∈L∞(Q)；若s∈R+，對任意(r，t；s)∈Q×(0，+∞)，0≤βi(r，t；s)≤C1(C1為正常數)，βi關于s兩次連續可微，偏導數有界且是不減的.

(H3)λi∈L∞(Q)，0≤λi(r，t；s)≤C2，這里C2為正常數.

(H4)pi0(r)∈L∞(0，A)，0≤pi0(r)≤C3，0≤w(r，t)≤C4，這里C3，C4為正常數.

(H5) 0≤fi(r，t)≤Ki，(r，t)∈Q，Ki為正常數，i=1，2，3.

定義1所謂系統(1)的解，是指存在函數p=(p1，p2，p3)∈L∞(Q；R3)且滿足方程(1).

2最優邊界控制的存在性

證明設

(3)

(4)

(5)

根據文獻[11]中引理5.1.1知

(6)

(7)

由(6)與(7)式及極限的唯一性得

(8)

同理可推得

(9)

因Ui(i=1，2，3)有界，則U1×U2×U3中存在一個子序列，仍記為{(v1n，v2n)}，當n→∞時

(10)

(11)

(12)

由J的凸性知

(13)

在(13)式中令n→∞，再由(3)式得

(14)

而顯然有

(15)

由(11)、(14)及(15)式得

(16)

由(5)、(6)、(9)式及假設(H1)、(H2)得：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

3最優條件

在不影響問題討論的實質性的前提下，假設種群的外部擾動函數fi(r，t)=0，i=1，2，3.

(24)

其中qi為下列對偶系統的解：

(25)

上式移項整理并兩端同除以ε，取ε→0+的極限得

(26)

(27)

將(27)式中第一式兩邊乘以q1(r，t)并在Q上積分，利用(25)式中第四、五式，(27)式中第五式有

將(25)式中第一式代入上式，并注意到(27)式中第四式，

(28)

同理將(27)式中第二、三式分別乘以q2(r，t)、q3(r，t)，在Q上積分，并將(25)式中第二、三式分別代入得：

(29)

(30)

將(28)、(29)、(30)式相加，并注意到(27)式中第六式，有

(31)

將(31)式代入(26)式可得(24)式成立.定理證畢.

綜合上面的結果，我們有如下結論.

[參考文獻]

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(責任編輯：李亞軍)

Optimal boundary control for an age-dependent predator-prey population dynamics of three species

BU Hong-yu

(Mathematics Department of Teacher’s College，Eastern Liaoning University，Dandong 118003，China)

Abstract:The optimal boundary control for an age-dependent predator-prey population dynamics of three species is investigated. The existence of the optimal boundary control is obtained by Mazur’s theorem and the optimal condition is deduced by means of normal cone.

Keywords:predator-prey population dynamics；age-dependence；optimal boundary control；optimal condition

[中圖分類號]O 231.4[學科代碼]110·47

[文獻標志碼]A

[作者簡介]卜紅彧(1981—)，女，碩士，講師，主要從事分布參數系統控制研究.

[基金項目]遼寧省科技計劃項目(W2011162)；中國高等教育學會“十一五”教育科學研究規劃課題項目(06AIG0200048)；遼東學院青年基金資助項目(2014Q19).

[收稿日期]2014-10-15

[文章編號]1000-1832(2016)01-0039-05

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.010