基于空間幾何原理的空間前方交會改進算法

倪曉東

(廣東南方數碼科技股份有限公司，廣東 廣州 510665)

?

基于空間幾何原理的空間前方交會改進算法

倪曉東

(廣東南方數碼科技股份有限公司，廣東 廣州 510665)

摘要：空間前方交會是攝影測量學重要的概念，通過空間前方交會可以確定待定點的物方空間坐標。在空間幾何解析的基礎上[1]，根據攝站點、影像點、物方控制點坐標的空間幾何關系計算像控點的空間坐標，然后求解待定點的像點空間坐標，從而在物方空間坐標系中進行空間后方交會計算。該方法表達形式直觀，便捷實用，并通過實例驗證該算法的有效性和正確性。

關鍵詞：空間幾何原理；空間前方交會；改進算法

由立體像對左、右2個像片的內、外方位元素和同名像點的影像坐標測量值來確定該點的物方空間坐標，稱作立體像對的空間前方交會[2]。文獻[3-5]提出使用基于四元素的空間后方交會解算方法，無需依賴初值即可進行空間后方交會解算。為了削弱因線性化產生的模型誤差積累，文獻[6]專門研究空間后方交會的非線性解算方法。本文根據空間幾何原理和影像點與像控點的空間幾何關系計算像控點的空間坐標，然后用向量法求解待定點的像點空間坐標，進而在物方空間坐標系中進行空間后方交會計算，與投影點系數法相比，不必計算攝站外方位元素(ω，φ，κ)值，使用空間向量法取代坐標系之間的換算來確定像點的空間坐標，降低計算復雜度，并通過實例驗證改進算法的適用性。

1解算原理

立體像對空間前方交會的實質即同名攝影光線對對相交。如圖1所示，已知點S1，S2為投影中心，O，A，B為3個地面控制點，o1，a1，b1，o2，a2，b2分別是相應的像點，C為待定點，c1，c2為對應的像點。

圖1　空間后方交會示意圖

(1)

由空間幾何知識可知，式(1)在空間坐標系中仍成立，從而得到點c1的空間坐標。同理可求出c2的空間坐標，這樣就可以建立同名光線Ls1c1，Ls2c2的空間方程式，根據空間直線幾何關系求出相交點坐標。由于空間后方交會和像點坐標量測等存在誤差，同名光線實際上很難相交，兩直線間存在一段距離d。這段距離長度和所在的直線方程均可以求出[1]。如圖2，設這段距離所在直線為Ld1d2，分別把直線Ld1d2與Ls1c1，Ls2c2組成兩個方程組計算出兩個交點d1，d2的坐標。最終交點坐標可以取線段d1d2的中點坐標值。

圖2　空間直線距離示意圖

2像點空間坐標算法

如圖3所示，攝影瞬間攝站點、像片和控制點的空間關系為

(2)

(3)

(4)

由攝影點S和控制點A的坐標可以計算出像點a的空間坐標。同理，可以根據另外兩個控制點計算出像控點b，c的空間坐標(注意控制點不在一條線上)。根據式(1)可得

(5)

式(5)在像平面坐標系和物方空間坐標系中同時成立，且解λ1，λ2相同。這樣就可以首先在像平面坐標系中求出待定點像點對應的λ1，λ2。然后由向量關系求出每一個像點對應的物方空間坐標。

圖3　攝影關系示意圖

3空間前方交會計算及精度預計

如圖1所示，空間內兩點確定一條直線。當獲得攝影點S1，S2和待定點C對應的同名像點c1，c2的空間坐標，理論上可計算出交會點C的空間坐標。由于誤差原因兩直線不能相交，如圖2，根據空間幾何知識可以求出兩直線之間距離Ld1d2的空間方程。然后計算出直線Ld1d2與Ls1c1，Ls2c2交點d1，d2的空間坐標值，取線段d1d2的中點坐標為空間前方交會點坐標。

設c1，c2點空間坐標分別為(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，則距離算式為

(6)

公垂線Ld1d2空間方程算式為

(7)

攝影光線Ls1c1，Ls2c2的空間方程式為

(8)

(9)

分別聯立方程式(7)、式(8)和式(7)、式(9)組成方程求解，則得到交點d1，d2坐標，取其平均值為中點坐標，即為空間前方交會結果。

空間幾何前方交會計算結果精度取決于空間點坐標值的精度，也就是左右兩像片攝影點和像點空間坐標值的精度。根據本文的計算方法，交會點誤差等于攝影點誤差與相應像點誤差之和，即

(10)

式中：m1為攝影點坐標誤差；m2為像點坐標誤差；k為比例系數。

在數字攝影測量中，像元大小一般在10 μm左右[7]，因此像點坐標量取精度較高。設攝影點與物點坐標距離為1 000 m時，焦距f=50 mm，攝影點誤差m1=10 mm，m2=0.001 mm，則M=42 mm，k=d/f。由于結果精度與距離成正比關系，因此該方法可用于近景攝影測量領域。

4算例

通過計算機程序模擬一對立體像對數據，像片1的焦距為55 mm，像片2的焦距為45 mm，內方位元素xo=yo=0，像片1和像片2數據、控制點數據如表1、表2所示。選取a3，b2，b8為像片控點，根據近景攝影測量原理[8]求解攝影點物方空間坐標，進而依據本文算法求出每個像點的空間坐標，然后利用空間前方交會進行計算，結果如表3所示。根據表2、表3數據得出解算結果與實際坐標差值如表4所示。

其中模擬攝影點S1，S2標為(1 075，1 040，20)、(1 070，955，20)，利用角錐法解算攝影點空間坐標結果為(1 075.003，1 039.999，20.001)、(1 069.995，955.992，20.005)。攝影距離在100 m以內。取m1=10 mm，m2=0.005 mm，預計中誤差M=±28 mm。

表1　像片1和像片2像點坐標數據　mm

表2　控制點坐標數據　m

表3　控制點坐標解算結果　m

表4　解算結果與實際坐標差值　mm

5結束語

從算例中可以看出，改進后的空間前方交會結果與理論結果相差在2～15 mm，X，Y，H方向的中誤差分別為7 mm，3 mm，3 mm，長度中誤差為4 mm。利用其他模擬數據驗證時發現，計算結果精度主要與攝影基線長度和像點坐標量取精度成正比關系[9]，在合適的基線長度下1 000 m范圍內利用此種算法得出的結果基本與理論值一致，從計算過程來看改進后的算法不需要計算相片外方位元素，形式簡單，易于解算，可應用到傾斜攝影數據處理[10]，能夠根據影像匹配點生成影像特征點云。

本文的空間前方交會計算結果精度依賴空間后方交會[2]計算結果精度和像點坐標測量精度[8]。因此選取多余、分布均勻的控制點和精密量取像點坐標有利于提高空間前方交會計算結果的精度。

參考文獻：

[1]謝敬然. 空間解析幾何[M]. 北京：高等教育出版社，2013.

[2]官云蘭，周世建，周銘，等．基于角錐體原理的空間后方交會改進算法[J]．測繪科學，2006，31(2):27-28.

[3]江剛武,姜挺,王勇,等. 基于單位四元素的無初值依賴空間后方交會[J]. 測繪學報,2011,34(3):181-183.

[4]龔輝,姜挺,江剛武,等. 一種基于四元素的空間后方交會全局收斂算法[J]. 測繪學報,2011,40(5):639-645.

[5]王永波,汪云甲,楊化超. 基于單位四元素描述的單像空間后方交會算法[J]. 中國礦業大學學報,2015,44(3):557-565.

[6]余岸竹,姜挺,江剛武,等. 一種基于非線性最小二乘的空間后方交會算法[J]. 測繪通報,2012(增刊1):199-201.

[7]李軍杰，關艷玲，楊蒙蒙，等. 數字航測相機的研究進展[J].測繪科學，2013，38(1):54-56.

[8]馮文灝. 近景攝影測量的基本技術提要[J].測繪科學，2000，25(4):26-29.

[9]張祖勛，楊生春，張劍清，等. 多基線-數字近景攝影測量[J].地理空間信息，2007，5(1):1-4.

[10] 王偉，黃雯雯，鎮姣. 傾斜攝影技術及其在3維城市建模中的應用[J]. 測繪與空間地理信息，2011，34(3):181-183.

[責任編輯：張德福]

Modified forward intersection algorithm based on the principle of space geometryNI Xiaodong

(Guangdong South Digital Technique Co.,Ltd,Guangzhou 510665,China)

Abstract：For photogrammetrics, the spatial forward intersection is a very important concept, through which the object spatial coordinates of unknown points can be determined through spatial forward intersection. This paper calculates the spatial coordinates of image control points via the spatial geometric relations of photographic points, the image control points and the control points, based on the geometry of space analytic,solves the image points’ spatial coordinates of unknown points afterwards, and then conducts the calculation of resection in the object spatial coordinate system. At last, this algorithm proves to get the simple expression forms, easy-acceptance and practicability through examples in this paper.

Key words：spatial geometry theory; spatial resection; improved algorithm

中圖分類號：P231

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)06-0033-04

作者簡介：倪曉東(1972-)，男，工程師.

收稿日期：2015-10-10