分層疊加技術(shù)在平衡區(qū)組正交表中的適用性研究

摘 要： 結(jié)合區(qū)組設(shè)計(jì)的平衡性和組合正交性等特點(diǎn)，分析傳統(tǒng)正交表的設(shè)計(jì)方式和相遇平衡概念的推廣方法。引入矩陣象理論，把正交表的分層疊加方法應(yīng)用在平衡區(qū)組正交表中，逐步推算證明并以算例驗(yàn)證該分層疊加技術(shù)的適用性，能有效拓展平衡區(qū)組正交表的構(gòu)造技術(shù)，保持了分析過程中正交表數(shù)據(jù)的正交性，并減少試驗(yàn)次數(shù)，提高試驗(yàn)效率。

關(guān)鍵詞： 分層疊加技術(shù)； 平衡區(qū)組正交表； 相遇度； 矩陣象理論

中圖分類號： TN911?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）03?0098?03

Applicability of layering and superposition technology in

balanced block orthogonal table

YANG Xue

（Changchun Architecture and Civil Engineering College， Changchun 130000， China）

Abstract： According to the characteristics of the balance and combination orthogonality of the block design， the design method of the traditional orthogonal table and promotion method of meet equilibrium concept are analyzed. The matrix image theory is introduced to apply the layering and superposition method of the orthogonal table to balanced block orthogonal table. The applicability of this technology is verified by gradual calculation and certified with a computing instance. The method can effectively expand the construction technology of the balanced block orthogonal table， maintain the orthogonality of the orthogonal table data in analysis procedure， reduce the test number， and improve the test efficiency.

Keywords： layering and superposition technology； balanced block orthogonal table； meet degree； matrix image theory

平衡區(qū)組正交表在區(qū)組設(shè)計(jì)上要求具有組間平衡、相遇平衡和正交性等特點(diǎn)，同時(shí)，它作為正交表的推廣，與正交表的設(shè)計(jì)相類似，能像正交表一樣開展試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析。此外，在構(gòu)造技術(shù)上，平衡區(qū)組正交表也和正交表相似。前人經(jīng)過深入研究，引用矩陣象理論推導(dǎo)出分層疊加技術(shù)這一簡單的構(gòu)造技術(shù)。這一技術(shù)主要針對兩個(gè)只有一列水平數(shù)不一定相同的正交表，通過重新編號逐層疊加而形成水平數(shù)是原正交表水平數(shù)之和的高水平列。這種構(gòu)造技術(shù)簡單便捷，能提高試驗(yàn)設(shè)計(jì)的效率。通過推導(dǎo)證明和算例檢驗(yàn)正交表分層疊加技術(shù)在平衡區(qū)組正交表中的適用性和有效性，能促進(jìn)分層疊加技術(shù)的推廣應(yīng)用，為后續(xù)的研究奠定基礎(chǔ)。

1 區(qū)組設(shè)計(jì)的平衡性和正交性

傳統(tǒng)平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)與部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)能反映這一水平不同的區(qū)組設(shè)計(jì)的平衡性，其中重復(fù)次數(shù)概念又名組間平衡概念[1]。根據(jù)平衡區(qū)組設(shè)計(jì)中有關(guān)設(shè)計(jì)因子和總體均值的分析總結(jié)，組間平衡概念的定義如下：

定義 當(dāng)區(qū)組設(shè)計(jì)[Db×kv]能夠滿足[rx=i=1brixki=][r>0，?x∈1，2，…，v]這一條件時(shí)，區(qū)組設(shè)計(jì)是組間平衡的。

傳統(tǒng)分析中有很多種組間平衡概念的推廣方法，如張應(yīng)山等學(xué)者提出了一個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)組間平衡區(qū)組的方法：當(dāng)[rx=i=1brixki=r>0，?x∈1，2，…，v]時(shí)，區(qū)組設(shè)計(jì)組間平衡。這一方法在傳統(tǒng)分析上有著一定的優(yōu)勢，但難以滿足組間平衡條件，在構(gòu)造設(shè)計(jì)上較為困難[2]。

平衡區(qū)組正交表在區(qū)組設(shè)計(jì)上不僅具有組間平衡的特點(diǎn)，還存在正交性。正交性概念起源于方差分析中的獨(dú)立性，能保障不同的人以不同的設(shè)計(jì)開展試驗(yàn)都能得到一致的分析結(jié)論。此外，廣義正交表具有很多和正交表相同的性質(zhì)[3]。

性質(zhì) 廣義正交表[GLnb1v1…vt；vt+1…vm]有著以下的常見性質(zhì)：

2 分層疊加技術(shù)在平衡區(qū)組正交表中的應(yīng)用

根據(jù)推理設(shè)兩個(gè)相遇和組間平衡區(qū)組正交表如下：

也是相遇和組間平衡區(qū)組正交表，從而定理得證。

3 算例與說明

根據(jù)上述的定理把類型不同而水平數(shù)相同的平衡區(qū)組正交表進(jìn)行疊合，進(jìn)而組成了區(qū)組大小不一樣的平衡區(qū)組正交表。

這一例子，最后的平衡區(qū)組正交表以外的平衡區(qū)組正交表都具有飽和性，可見該試驗(yàn)設(shè)計(jì)既不影響分析過程中正交表數(shù)據(jù)的正交性，又減少了試驗(yàn)次數(shù)，提高了試驗(yàn)效率[8]。

4 結(jié) 語

平衡區(qū)組正交表作為正交表“有條件”的推廣，不僅有著組合正交性質(zhì)，而且具有組間平衡性質(zhì)。從定理的推導(dǎo)證明中可以看出，分層疊加技術(shù)在平衡區(qū)組正交表中的應(yīng)用能導(dǎo)致區(qū)組表示列對應(yīng)的區(qū)組個(gè)數(shù)發(fā)生變動(dòng)，而保持了其他列水平數(shù)不變。這種構(gòu)造技術(shù)具有兩大明顯的優(yōu)點(diǎn)：一是只要求水平數(shù)一樣，能夠保持區(qū)組設(shè)計(jì)的平衡性；二是進(jìn)行同時(shí)疊加，可以保持疊加后的相互正交性。從推導(dǎo)和算例中可以看出，分層疊加技術(shù)適用于平衡區(qū)組正交表的構(gòu)造設(shè)計(jì)，能提高試驗(yàn)設(shè)計(jì)的效率，值得推廣應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 廖靖宇，張建軍，田萍，等.正交平衡區(qū)組設(shè)計(jì)矩陣象的概念及其基本定理[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42（17）：170?177.

[2] 羅純，潘長緣.窮舉法尋找正交平衡區(qū)組設(shè)計(jì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2011，27（1）：1?13.

[3] 張明珠，吳亞楨.正交平衡區(qū)組設(shè)計(jì)的替換構(gòu)造[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（3）：38?41.

[4] 田金亭，張應(yīng)山，張曉琴，等.平衡區(qū)組正交表與正交表的比較及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2009，39（22）：19?23.

[5] 廖靖宇，楊林，張應(yīng)山，等.平衡區(qū)組正交表的分層疊加技術(shù)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2013，43（24）：113?122.

[6] 龐善起.一類正交投影矩陣及其相關(guān)正交表[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005（4）：668?674.

[7] 王惠婷，廖靖宇，張建軍，等.正交平衡區(qū)組設(shè)計(jì)與廣義正交表[J].許昌學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，32（2）：8?13.

[8] 吳亞楨，廖靖宇，張應(yīng)山，等.正交平衡區(qū)組設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)分析模型參數(shù)估計(jì)的分布特征研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42（3）：212?221.