基于多維線性系統(tǒng)的輸出反饋魯棒重復(fù)控制研究

摘 要： 重復(fù)控制方法已在很多復(fù)雜的控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。針對一類多維線性系統(tǒng)，提出輸出反饋魯棒重復(fù)控制方法。根據(jù)重復(fù)控制的設(shè)計方法，建立了系統(tǒng)模型，結(jié)合Lypapunov函數(shù)和線性矩陣不等式（LMI），推導(dǎo)出閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。仿真實例表明所設(shè)計的重復(fù)控制系統(tǒng)具有較好的魯棒穩(wěn)定性和系統(tǒng)跟蹤性能。

關(guān)鍵詞： LMI； 重復(fù)控制； 魯棒性； 多維線性系統(tǒng)

中圖分類號： TN911?34； TB21 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）02?0012?03

Robust repetitive control of output feedback based on multidimensional linear system

HE Juan， CHEN Jiqiong

（School of Physics and Electromechanical Engineering， Zunyi Normal College， Zunyi 563002， China）

Abstract： The repetitive control method has been widely used in many complex control system. In this paper， the robust repetitive control method of output feedback is put forward for the first class multidimensional linear system. The system model was established according to the design method of repetitive control. The stability conditions of closed?loop system were derived in combination with the Lypapunov function and linear matrix inequality （LMI） method. Simulation results show that the repetitive control system has high robust stability and tracking performance.

Keywords： LMI； repetitive control； robustness； multidimensional linear system

0 引 言

重復(fù)控制理論[1?4]首先是由日本學(xué)者Inoue等提出來的一種魯棒控制理論，此控制理論不同于其他控制系統(tǒng)，具有自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)的功能，其目的是設(shè)計一種控制器，使整個系統(tǒng)高精度地跟蹤任意的周期參考信號。從控制理論的觀點來看，這種控制系統(tǒng)的自學(xué)習(xí)機制實際上是將周期信號的動態(tài)模型植入了系統(tǒng)的重復(fù)控制器中，從理論上保證了人類學(xué)習(xí)中循序漸進的實現(xiàn)，最終實現(xiàn)對于任意周期輸入信號的高精度跟蹤。很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上開始對一維和二維系統(tǒng)進行理論的研究，本文將此方法用于多維控制系統(tǒng)中。

1 多維線性系統(tǒng)控制問題描述

基本的重復(fù)控制系統(tǒng)如圖1所示。其中[CR（s）]為重復(fù)控制器，它是周期信號發(fā)生器的嚴密動態(tài)模型，T為時滯環(huán)節(jié)的延時時間，也就是參考信號的周期。虛線框所示部分的傳遞函數(shù)為：

[CR（s）=11-e-sT]

跟蹤誤差為：

[e（t）=r（t）-y（t）]

若設(shè)：

[u（t）=0， t<0]

則[CR（t）]的時域表達式為：

[u（t）=u（t-T）+e（t）]

圖1 基本的重復(fù)控制系統(tǒng)

圖1中被控對象[G（t）]為單輸入/單輸出的正則線性系統(tǒng)：

[x（t）=Ax（t）+Bu（t）y（t）=Cx（t）+Du（t）] （1）

式中：[x（t）]為n維狀態(tài)變量，即[x（t）∈Rn]；[u（t），y（t）]分別為控制對象[G（t）]的輸入和輸出，[u（t）∈R，y（t）∈R]；A，B，C，D分別為具有多維實數(shù)矩陣，由系統(tǒng)的正則性可知[D≠0]。因此可以得到基于靜態(tài)輸出反饋的重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 基于靜態(tài)輸出反饋的重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

則靜態(tài)輸出反饋控制律為：

[u（t）=kev（t）+kyy（t）， ke，ky∈R] （2）

式中[ke，ky]分別為重復(fù)控制器的前饋增益和輸出反饋增益。尋求靜態(tài)控制增益[ke，ky]就是重復(fù)控制系統(tǒng)的設(shè)計問題，它們使得圖2所示的重復(fù)控制系統(tǒng)在控制律（2）的作用下魯棒穩(wěn)定，并且能使穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差趨向于零。

由式（1）和式（2）得：

[u（t）=ke1-kyDv（t）+kyC1-kyDx（t）] （3）

由于[v（t）=e（t）+v（t-T）]，[v（t）]中既包含了本周期的控制結(jié)果[e（t）]，又包含了對上周期的學(xué)習(xí)效應(yīng)[v（t-T）]。因此靜態(tài)輸出反饋控制律（2）中的控制增益[ke或ky]都不能單獨調(diào)節(jié)重復(fù)控制過程中的控制或?qū)W習(xí)。為了從根本上改善系統(tǒng)的特性，必須獨立地調(diào)節(jié)重復(fù)控制過程中的控制和學(xué)習(xí)行為，下面在多維空間上對圖2進行重復(fù)控制系統(tǒng)進行精確的描述。先將無限區(qū)間[[0，∞）]劃分為無限多個有限區(qū)間[[kT，（k+1）T]，（k=0，1，2…），?t∈[0，∞）]，這樣就存在一個區(qū)間[[kT，（k+1）T]]，使得[t=kT+τ，且τ∈[0，T）]。于是，時域變量[ξ（t）]可以表示為[ξ（t）=ξ（kT+τ）=ξ（k，τ），Δξ（t）=][Δξ（k，τ）-Δξ（k-1，τ）]。對于給定的參考輸入信號[r（t）]，跟蹤誤差為：

[e（t）=e（k，τ）=r（k，τ）-y（k，τ）]

考慮圖2所示的重復(fù)控制系統(tǒng)中各個變量在周期之間的狀態(tài)變化，得到連續(xù)/離散多維模型：[Δxk，τ=AΔxk，τ+BΔuk，τek，τ=ek-1，τ-CΔxk，τ-DΔuk，τ] （4）

反饋控制律（2）的多維空間描述為：

[Δu（k，τ）=k1CΔx（k，τ）+k2e（k-1，τ）] （5）

由式（3）～式（5）可以得到：

[k1=-ke-ky1+（ke-ky）D， k2=ke1+（ke-ky）D] （6）

與時域空間中的控制律（3）相比，多維空間描述的控制律（5）的特點是能夠通過調(diào)節(jié)增益[k1和k2]來獨立調(diào)節(jié)一個周期之內(nèi)的控制行為[Δx（k，τ）]和各個周期之間的學(xué)習(xí)過[e（k-1，τ）]。并且由式（6）即可得到靜態(tài)輸出反饋控制律中的增益：

[ke=k1′+k2′， ky=k2′] （7）

式中：

[k1′=-k11+Dk1； k2′=（1-k1D1+k1D）； k2-k12（1+k1D）2] （8）

2 基于輸出反饋的重復(fù)控制器設(shè)計

結(jié)合以上的描述，將圖2所示的重復(fù)控制系統(tǒng)的設(shè)計轉(zhuǎn)化為連續(xù)/離散多維系統(tǒng)（4）的鎮(zhèn)定控制器設(shè)計問題。因此，將式（5）代入式（4）得到如圖2所示的閉環(huán)系統(tǒng)：

[Δx（k，τ）e（k，τ）=A+Bk1Bk2-C-Dk1C1-Dk2Δx（k，τ）e（k-1，τ）] （9）

再通過構(gòu)造Lypapunov函數(shù)，利用多維系統(tǒng)穩(wěn)定性理論結(jié)合輸出矩陣的結(jié)構(gòu)奇異值分解，以LMI的形式得到系統(tǒng)（4）在控制器（5）作用下的穩(wěn)定條件：

定理1 如果存在正定對稱矩陣[X11，X22，X2]，以及合適的矩陣[W1，W2]，使得如下LMI：

[Σ11BW2Σ13?-X2Σ23??-X2<0] （10）

成立，其中[C=US0VT]，[S≥0]是半正定矩陣，[U，V]是酉矩陣。

[X1=VX1100X22VT，Σ11=AX1+BW1C+X1AT+CTW1TBT，]

[Σ13=-X1CT-CTW1TDT]， [Σ23=X2-W2TDT]

則多維線性系統(tǒng)（4）在控制器（5）的作用下漸近穩(wěn)定，控制器增益為：

[k1=W1USX11-1S-1UT， k2=W2X2-1] （11）

3 系統(tǒng)仿真[5?6]

本文將上述設(shè)計的重復(fù)控制器應(yīng)用于某電機控制機械臂系統(tǒng)中。它的系統(tǒng)輸入為電樞電壓控制輸入信號，輸出為機械臂的轉(zhuǎn)矩，由狀態(tài)空間建模描述為控制對象（1）的形式。取控制對象（1）為三維矩陣，其參數(shù)如下：

[A=-0.8-0.021-0.020.0422.51.5-0.25， B=-0.111，C=1011， D=1]

取響應(yīng)信號為周期信號：

[r（t）=cosπt10+0.5cos2πt10+0.5cos3πt10]

首先，運用Matlab工具箱來求得式（10）中的LMI的可行解，代入式（11）得到[k1=-0.299 6，k2=0.343 8]。

接著把[k1，k2]代入式（7）和式（8）可以得到：[ke=0.745 7，ky=0.318 1]。

仿真結(jié)果如圖3～圖5所示，采用傳統(tǒng)的PID控制（其中KP=10，KI=5，KD=1）系統(tǒng)，其仿真結(jié)果如圖6所示。

圖3 控制律（2）作用下的輸入/輸出跟蹤曲線

圖4 控制律（2）的仿真曲線

圖5 重復(fù)控制的跟蹤誤差仿真曲線

由仿真結(jié)果可以看出：此重復(fù)控制系統(tǒng)的跟蹤誤差小，當t=3.5 s時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就等于零。用傳統(tǒng)的PID控制其仿真圖如圖6所示，而其穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差在t=6.5 s時才等于零。將仿真圖5和圖6 相比較，可見本文提出的對于多維線性系統(tǒng)的輸出反饋重復(fù)控制方法優(yōu)越于傳統(tǒng)的PID控制方法，并且具有較好的魯棒穩(wěn)定性和跟蹤性能，在控制系統(tǒng)中具有更實際的意義。

圖6 傳統(tǒng)PID控制的跟蹤誤差仿真曲線

4 結(jié) 語

本文針對一類多維線性系統(tǒng)，提出了輸出反饋魯棒重復(fù)控制方法。根據(jù)重復(fù)控制的設(shè)計方法，建立了多維線性模型，結(jié)合Lypapunov函數(shù)和線性矩陣不等式（LMI）方法，推導(dǎo)出閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，同時以LMI的形式給出。數(shù)值仿真實例表明所設(shè)計的重復(fù)控制系統(tǒng)具有較好的魯棒穩(wěn)定性和系統(tǒng)跟蹤性能。

參考文獻

[1] PARK S W， JEONG J， YANG H S， et al. Repetitive controller design for minimum track misregistation in hard disk drives [J]. IEEE Transactions on Magnetics， 2005， 41（9）： 2522?2528.

[2] OWENS D H， LI L M， BANKS S P. Multiperiodic repetitive control system： A Lyapunov stability analysis for MIMO systems [J]. International Journal of Control， 2004， 77（5）： 504?515.

[3] CHEN J W， LIU T S. H∞ repetitive control for pickup head flying height in near ? field optical disk drives [J] . IEEE Transactions on Magnetics， 2005， 41（2）： 1067?1070.

[4] DOH T Y， CHUNG M J. Design of a repetitive controller： An application to the track?following servo system of optical disk drives [J]. IEE Proc of Control Theory and Applications， 2006， 153（3） ： 323?330.

[5] A′LVAREZ J D， YEBRA L J， BERENGUEL M. Repetitive control of tubular heat exchangers [J]. Journal of Process Control， 2007， 17（9）： 689?701.

[6] WU M， ZHOU L， SHE J H. Design of observer?based H∞r(nóng)obust repetitive?control system [J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2011， 56（6）： 1452?1457.