地球靜止軌道遠程交會過程導航性能評估

任家棟，曾慶雙，朱 虹

（1. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；2. 上海航天控制技術研究所，上海 201109；3. 上海市空間智能重點實驗室，上海 201109）

地球靜止軌道遠程交會過程導航性能評估

任家棟1,2,3，曾慶雙1，朱 虹2,3

（1. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；2. 上海航天控制技術研究所，上海 201109；3. 上海市空間智能重點實驗室，上海 201109）

遠程交會是靜止軌道共位衛星自主定點置入的關鍵途徑。針對遠程交會過程中大距離跨度下相對運動模型的誤差信號特性，理論推導了誤差的傳遞機理，給出了相對導航EKF算法期望及噪聲特性的定量分析模型。研究表明，確定距離區間存在最優過程噪聲量級及其對應的最優濾波性能，且濾波誤差與交會距離正相關，可作為全局最優濾波器的定量設計依據，解決了靜止軌道遠程交會過程EKF導航算法性能的量化評估問題。仿真表明，分析結論正確，相對速度濾波誤差全程優于0.005 m/s (1σ)，滿足交會任務需求。

地球靜止軌道衛星；自主；遠程交會；相對導航；濾波精度

遠程交會是指追蹤星在測量數據的支持下，通過大幅度、遠距離的機動變軌，進入到目標星附近的某特定區域。遠程交會往往是在軌服務和空間作戰等任務中能量消耗最大、時間消耗最長的階段。對于地球靜止軌道（GEO）衛星，軌道的稀缺特性致使多星共位已成為國際上共享軌道資源的主要措施。衛星利用自身的雷達等進行遠程自主交會，建立穩定的多星共位關系，可有效提高定點置入效率，是當前應用研究的熱點之一。

相對導航是自主交會的基礎。近年來國內外研究成果較多[1-3]，導航方案多采用基于 CW（Clohessy-Wiltshire）方程的EKF（Extented Kalman Filter）相對導航算法。在遠程交會過程中，距離跨度較大（10～100 km），CW 方程的未建模誤差是有色信號且隨距離變化。文獻[4]采用 H∞濾波器抑制建模誤差，此時濾波系統退化為次優狀態；文獻[5]利用誤差分析理論研究了在初始條件、誤差噪聲模型部分或全部不精確已知的情況下最優等價濾波器的設計方法，但該方法并不適應于有色噪聲。同時EKF相對導航算法由于觀測方程非線性導致直接應用濾波誤差分析理論存在困難[6]，因此濾波系統真實性能的量化分析研究較少，目前多依賴事后數據評估[7]。理論分析表明，無跡轉換（Unscented Transformation）等可以實現信號均值及其高階矩的高精度非線性轉換[8]。文獻[9]對于加性噪聲的UKF系統進行了性能評估，文獻[10-11]對于導航系統量測噪聲的誤差傳遞特性進行了分析。本文基于同樣的思路，采用非線性轉化建立基于間接測量的相對導航系統，推導濾波誤差的傳遞機理，根據CW方程在靜止軌道的誤差特點，定量研究自主相對導航EKF算法的濾波精度，理論上解決了靜止軌道遠程交會過程中導航性能的評估問題。

1 靜止軌道相對運動方程誤差分析

遠程交會中實施控制的衛星稱為追蹤星，目標區域的定點衛星稱為目標星。

圖1 相對運動坐標系Fig.1 Relative motion coordinate system

在近圓軌道下，考慮軌道環境攝動，兩星相對運動動力學方程為

式中：μ為地球引力常數，Rc表示地球靜止軌道星地距離。

地球靜止軌道衛星星地距離為42 164 km，兩星共位保持距離ρ=20 km，此時，

比較以上兩式，從量級上可見，中心引力二次項C2約為由J2項引起的相對攝動加速度的4倍。因此，對于遠程交會，CW 方程的主要誤差源是中心引力二次項，并且誤差幅值與交會距離的平方成正比。

結合CW方程的解析解，分析式(2)可得，CW方程的未建誤差是有色信號，各軸誤差均含有周期振蕩信號，振蕩周期為1/2軌道周期，同時Z軸誤差還包含常值漂移項。

2 間接量測相對導航設計

采樣時間T，對式(5)離散得：

雷達量測方程為

式中：ρ為兩星的視線距，ψ為雷達測量航向角，θ為雷達測量俯仰角，V為雷達測量噪聲。

將雷達測量坐標系下的測量值采用一階近似轉化到軌道坐標系下，形成間接測量方程。采用 Monte Carlo分析可知，精度與無跡轉換相當[8]。

轉換關系如下：

式中：

轉化后方差：

通常遠程交會過程相對指向角度較小，雅可比矩陣明顯對角占優且變化較小，可近似取

根據某實際系統取雷達噪聲，測距誤差0.0005ρm(1σ)，測角誤差0.1°(1σ)。此時，式(6)和式(8)組成了基于標準卡爾曼濾波器的相對導航系統。

3 相對導航濾波性能分析

濾波精度是濾波器性能的主要指標。狀態方程存在未建模誤差的情況下，濾波估計方差不能反映濾波狀態的真實方差。

CW 方程在靜止軌道的未建模誤差特性以常值偏差和1/2軌道周期振蕩為主。振蕩周期遠低于濾波系統等效帶寬，對濾波系統整體性能影響較小，主要考慮CW方程的未建模誤差中的常值信號。

卡爾曼濾波器如(6)(8)，其基本遞推方程為

式中：Qk、Rk分別為系統過程噪聲陣和量測噪聲陣，P為系統狀態方差陣，k為濾波增益陣。

理論模型下濾波估計方差滿足：

考慮建模誤差，準確系統模型可表示為

式中：Δc是CW方程遞推常值偏差。

遞推，得到系統狀態的一步預測估計：

此時，系統真實狀態：

得到估計狀態的真實誤差：

對導航算法的有偏性進行分析，對式(18)取期望，得：

對上式展開，狀態估計的期望偏差為

根據式(18)和(20)，一步預測狀態的真實方差可表示為

式(23)分解為兩個部分。均值可以通過式(21)計算，隨機部分方差是遞推方程，形式簡單，方便實現其穩態值的求解。式(22)(23)理論上解決了基于CW方程的相對導航算法濾波性能分析問題。

由式(24)得，過程噪聲Qk中σ2w與濾波精度的關系如圖2所示。

研究表明，過程噪聲是系統真實濾波性能的主要影響因素，對于特定的交會區間，過程噪聲量級以及濾波性能均存在最優解（如圖2所示的拐點處），合理設置過程噪聲可以獲得最佳濾波性能。

然而，如式(2)所示，中心引力場二次項誤差隨著距離增加線性平方增加，必然影響濾波器的全局最優性。根據式(24)進一步研究濾波精度隨交會距離變化的特性，如圖3所示。

圖2 過程噪聲與濾波誤差關系圖（20 km）Fig.2 Relationship between process noise andfilter error (20 km)

圖3 濾波誤差與相對距離關系圖（10～100 km）Fig.3 Relationship between filter error and relative distance (10～100 km)

研究表明：濾波誤差與交會距離正相關，交會距離越遠，誤差越大；同時相關性與過程噪聲的量級有關，對于特定的軌跡，遠程和近程的最優濾波性能不可兼得，遠程的最優性能往往以近程的次優性能為代價。圖3也為全局最優濾波器設計提供了定量分析的依據，分區間整定過程噪聲可以實現全區域的最優濾波性能。

4 仿真驗證

設計仿真試驗，對靜止軌道遠程交會中相對導航EKF濾波算法性能進行驗證。

雷達測量噪聲如式(12)所示。

追蹤星和目標星運行在靜止軌道，兩星相位差分別為由0.06°抵近至0.03°，兩星相對距離約由50 km接近至20 km。

表1 相對導航濾波標準差Tab.1 Relative navigation filter standard deviation

仿真結果顯示，20 km和50 km處Z軸相對速度項濾波精度分別為6.7E-4 m/s和1.3E-3 m/s，與圖3（加速度噪聲取點虛線）理論分析的數值一致。隨著距離增加，濾波性能出現衰減，與圖 3理論分析的趨勢一致。

由于各軸的系統誤差存在差異，在交會過程中濾波性能以及衰減趨勢也存在差異。運動學方程誤差分析表明，Z向的系統較大且存在常值誤差，因此其位置及速度濾波誤差隨距離增加的衰減明顯，與理論分析一致。

圖4 兩星相距20 km時的相對位置估計誤差Fig.4 Relative position estimation error when the distance is 20 km

圖5 兩星相距20 km時的相對速度估計誤差Fig.5 Relative velocity estimation error when the distance is 20 km

圖6 兩星相距50 km時的相對位置估計誤差Fig.6 Relative position estimation error when the distance is 50 km

圖7 兩星相距50 km時的相對速度估計誤差Fig.7 Relative velocity estimation error when the distance is 50 km

綜合分析表明，系統的綜合性能與系統噪聲陣的配置相關，根據系統需求合理配置系統噪聲陣，可保證系統性能滿足遠程交會各階段精度要求。

5 結 論

針對地球靜止軌道衛星遠程交會過程中相對運動模型的系統誤差特性，采用非線性轉化建立基于間接測量的相對導航系統，推導模型誤差的傳遞機理，給出了相對導航EKF算法的期望以及噪聲特性的定量分析模型。研究表明：確定距離區間存在最優過程噪聲量級及其對應的最優濾波性能；遠程交會過程中，濾波誤差與交會距離正相關，對于特定的相關軌跡，遠程和近程的最優濾波性能不可兼得，遠程的最優性能往往以近程的次優性能為代價，可作為全局最優濾波器的定量設計依據。仿真表明，分析結論是正確的，理論上解決了靜止軌道遠程交會過程中導航性能的量化評估問題。

（References）：

[1] Segal S, Gurfil P. Stereoscopic vision-based spacecraft relative satellite estimation[R]. AIAA-2009-6094, 2009.

[2] Zhang S J, Liu F H, Cao X B, et al, Monocular vision-based two-stage iterative algorithm for relative position and attitude estimation of docking spacecraft[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2010, 23(2): 204-210.

[3] 龔柏春, 羅建軍, 馬悅. 單測角相對導航的相對距離重構新算法[J]. 中國慣性技術學報, 2014, 22(3): 340-345. Gong Bai-chun, Luo Jian-jun, Ma Yue. Novel reconstructing algorithm of relative distances for angle-only relative navigation[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2014, 22(3): 340-345.

Performance evaluation of relative navigation algorithm during geostationary orbit long-range rendezvous

REN Jia-dong1,2,3, ZENG Qing-shuang1, ZHU Hong1,3

(1. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Shanghai Aerospace Control Engineering Institute, Shanghai 201109, China; 3. Shanghai Key Laboratory of Space Intelligent Control Technology, Shanghai 201109, China)

Long-range autonomous rendezvous is crucial to the precise placemen of geostationary collocation satellites. Based on the analysis of error signal characteristics of relative motion model during large-span remote rendezvous process, the error transfer mechanism is theoretically derived. Then the quantitative analysis model of mean and noise characteristic is proposed for the relative navigation based on an extended Kalman filter (EKF) algorithm. The analysis results show that there exists an optimal process noise level and corresponding optimal filter performance with respect to the determining distance range. The estimation error is positively correlated with the intersection distance, which can be used as the quantitative basis to design a global optimum filter. Besides, it also theoretically provides an approach to quantitatively evaluate the navigation performance of the EKF optimal filter during long-range rendezvous of geostationary orbit. Simulation results demonstrate that the analysis results are correct, and the relative velocity estimation error is 0.005 m/s(1σ), which satisfies the mission requirements of orbit long-range rendezvous.

geostationary satellites; autonomous; long-range rendezvous; relative navigation; filter precision

V448.21

A

1005-6734(2016)02-0257-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.02.022

2015-12-15；

2016-03-28

國家高技術研究發展計劃（863計劃）（2015AA1073A）

任家棟（1986—），男，博士研究生，從事導航濾波技術研究。E-mail: renjiadong@126.com聯 系 人：曾慶雙（1963—），男，教授，博士生導師。E-mail: zqshuang2000@yahoo.com.cn