填充天然橡膠材料裂紋擴展模型的建模方法*

上官文斌， 鄧建向， 余良渭， 王小莉， 段小成， 閻 礁

(1.華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州，510641) (2.寧波拓普集團股份有限公司 寧波，315800) (3.泛亞汽車技術中心有限公司 上海，201201)

填充天然橡膠材料裂紋擴展模型的建模方法*

上官文斌1,2， 鄧建向1， 余良渭1， 王小莉1， 段小成1,2， 閻 礁3

(1.華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州，510641) (2.寧波拓普集團股份有限公司 寧波，315800) (3.泛亞汽車技術中心有限公司 上海，201201)

填充天然橡膠材料疲勞裂紋擴模型是指裂紋擴展速率與撕裂能峰值之間的關系，它是用于橡膠減振元件疲勞壽命預測的重要模型。在裂紋擴展試驗得到的填充天然橡膠材料裂紋擴展長度與循環次數的數據中，由于橡膠的應力軟化現象，試驗后期的部分數據不可用。為此，建立了數據處理方法，獲得有效的裂紋擴展長度與循環次數數據。基于單軸拉伸載荷下填充天然橡膠材料最大應變能密度與最大應變滿足冪函數關系的假設，建立了變幅加載工況下裂紋擴展長度與循環次數的數學模型和識別其模型參數的優化方法。在建立的裂紋擴展長度與循環次數模型的基礎上，建立了裂紋擴展速率與撕裂能峰值關系的模型和確定模型中參數的數值方法。利用一組啞鈴型試片的疲勞壽命實測數據，對建立的裂紋擴展速率模型進行了驗證，證明了所建立模型的正確性。

裂紋擴展試驗; 裂紋擴展長度; 循環次數; 裂紋擴展速率; 撕裂能峰值; 模型參數識別; 變幅加載工況

引 言

填充天然橡膠材料由于其良好的隔振效果和緩沖性能，已經被大量應用于汽車隔振器件、車輪輪胎以及各種常用密封器件中。對填充天然橡膠材料疲勞特性的研究具有重要的理論意義和實用價值。

由斷裂力學可知，材料的疲勞破壞歷經裂紋的萌生、裂紋的穩定擴展、裂紋的失穩擴展以致最終造成材料斷裂等演化過程。忽略臭氧、溫度等環境因素的影響，只有當撕裂能峰值大于某一門檻值時，裂紋的演化才會開始[1]。當撕裂能峰值小于這一門檻值時，即便材料中有微小裂紋，裂紋也不會長大。當撕裂能峰值大于某一臨界值時，裂紋會發生失穩擴展，材料瞬間發生斷裂。在填充天然橡膠材料裂紋擴展特性的研究中，將這一門檻值稱作為門檻撕裂能，將這一臨界值稱為臨界撕裂能。顯然，對于無限壽命設計而言，門檻撕裂能是填充天然橡膠材料重要的特性參數[1-2]。對于抗斷裂設計而言，臨界撕裂能是重要的特性參數。在填充天然橡膠材料疲勞裂紋擴展模型的研究[3]中，普遍認為裂紋擴展速率與撕裂能峰值滿足冪函數的關系。實際上，對于填充天然橡膠材料，裂紋擴展模型滿足冪法則的前提是所受載荷對應的撕裂能峰值要大于某一特定的值(不一定等于門檻撕裂能，用轉折撕裂能以示區別)[3-4]。對于新配方的填充天然橡膠材料，有必要確定這一特定值的撕裂能。

筆者開展了某填充天然橡膠材料在變幅加載下的裂紋擴展試驗，以建立適用于不同載荷水平下的裂紋擴展模型，其中還包括對門檻撕裂能、轉折撕裂能值和臨界撕裂能的確定。針對變幅載荷工況下裂紋擴展實測數據的特點，基于試驗中循環載荷最大應變能密度與最大應變近似滿足冪函數關系的假設，推導出此種變幅加載方式下裂紋擴展長度與循環次數的關系式及裂紋擴展長度與循環次數的擴展模型。最后，對建立的裂紋擴展模型進行了驗證。

1 撕裂能與裂紋擴展速率

Thomas等[5]最早將基本的斷裂力學理論應用到橡膠斷裂問題,認為裂紋的擴展過程是材料釋放彈性應變能用以提供裂紋擴展產生新表面所需表面能的過程，并定義裂紋擴展單位面積(A)釋放出的彈性應變能(U)為橡膠的撕裂能(T)，即

(1)

其中：負號表示材料的彈性應變能隨著裂紋的擴展而減少。

描述材料裂紋擴展特性的另一個重要物理量是裂紋擴展速率，定義為單位循環次數(N)下的裂紋擴展長度(a)

(2)

撕裂能比R=0(一個循環載荷周期中撕裂能的最小值Tmin和最大值Tmax之比)的載荷是橡膠材料疲勞失效中經常遇到的疲勞工況，為此筆者研究撕裂能比R=0的變幅載荷工況下的裂紋擴展特性。1965年，Lake等[3]對某填充天然橡膠進行了多個載荷幅值恒定且撕裂能比R=0的裂紋擴展試驗，根據實測數據的分布特點得出受到廣泛認可的裂紋擴展速率和撕裂能峰值關系的4個分段模型(如圖1所示)，即

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

其中：T0，Tt和Tc分別為門檻撕裂能、轉折撕裂能和臨界撕裂能；rz為撕裂能峰值小于T0時的裂紋擴展速率；A，B和F為材料常數。

圖1 填充天然橡膠材料裂紋擴展速率的4個階段Fig.1 The four stages of filled natural rubber′s crack growth rate

在階段I，裂紋以極小的恒定速率擴展且不受外力載荷影響[1]，門檻撕裂能T0代表了材料的抗疲勞能力。在階段II和階段III，裂紋擴展速率以轉折撕裂能Tt為轉折點由線性增長轉為冪函數增長。在階段IV，裂紋失穩擴展，裂紋擴展速率急速上升并導致材料迅速斷裂。任何工況下，只要撕裂能峰值到達Tc，即可認定材料將迅速斷裂，從而Tc代表了材料的抗斷裂能力。

建立填充天然橡膠材料裂紋擴展模型關鍵在于獲取裂紋擴展速率。對于撕裂能比R=0的恒幅載荷裂紋擴展試驗，試件的撕裂能峰值保持不變，裂紋擴展速率為恒定值，則裂紋擴展長度與循環次數成正比例關系。但是在變幅載荷加載工況，試件的撕裂能峰值不斷變化，裂紋擴展速率不再是恒定值，其裂紋擴展長度與循環次數的關系還有待研究。

2 裂紋擴展長度模型與裂紋擴展模型的建立方法

裂紋擴展長度模型是裂紋擴展長度與循環次數之間的關系。裂紋擴展模型是裂紋擴展速率與撕裂能峰值之間的關系。基于單軸拉伸載荷下最大應變能密度與最大應變滿足冪函數關系的假設，筆者建立裂紋擴展長度數學模型，根據試驗給出的實測數據，先后建立求解裂紋擴展長度模型與裂紋擴展模型中模型參數的最優化方法。

2.1 裂紋擴展長度與循環次數關系的模型

2.1.1 裂紋擴展長度與循環次數關系的理論模型

實際設計的裂紋擴展試驗中，所施加載荷對應的撕裂能峰值在T0～Tc之間變化，即載荷水平在階段II和階段III之間。因此，實際試驗中填充天然橡膠材料裂紋擴展速率與撕裂能峰值的關系可近似由式(3b,3c)表示，改寫為

(4)

其中：D=AT0-rz；A，D，B和F為待確定的材料常數。

純剪試件的撕裂能與裂紋尺寸無關，通常采用純剪試件進行裂紋擴展試驗。試驗中純剪試件的撕裂能峰值計算公式[3]為

(5)

其中：h為試件標距；Wmax為試件上遠離裂紋尖端處的應變能密度峰值，由試件在當前載荷循環卸載段的應力應變曲線積分所得[6]。

在單軸拉伸載荷下中填充天然橡膠材料的最大應變能密度(Wmax)與最大應變(εmax)近似滿足冪函數關系[6-8]，即

(6)

其中：k和b為待確定常數。

在變幅工況下加載的最大應變載荷幅值(εmax)與循環次數(N)滿足線性增長的關系，則

(7)

其中：c和d為已知常數。

根據式(5)～(7)，試驗過程的撕裂能峰值(Tmax)可用循環次數(N)表示為

(8)

將式(8)代入式(4)，可得裂紋擴展速率與循環次數的關系式為

(9)

裂紋擴展長度表示為Δa=a-a0，其中，a0為純剪試件的初始裂紋長度。對式(9)進行不定積分，可得試驗過程中裂紋擴展長度(Δa)與循環次數(N)的關系為

(10)

其中：E和H為待確定常數。

由式(10)可知，對于撕裂能比R=0的裂紋擴展試驗，若單軸拉伸(非平面拉伸或者雙軸拉伸)試驗施加的應變載荷幅值隨循環次數線性增加，則裂紋擴展長度(Δa)與循環次數(N)存在確定的函數關系。

式(10)中，常數k，b可通過式(6)對試驗所得到的循環載荷最大應變能密度與最大應變進行冪函數擬合獲取。在此基礎上，通過優化算法可確定式(10)中的其他常數A，B，D，E，F和H，但此種方法會將常數k，b的誤差引入到式(10)中。為了避免常數k，b引入的誤差，可先將式(10)改寫為

(11)

其中：Af，Df，Ef，Bf，Hf，p，q和Nt均為待確定參數，但是這些參數之間并不是獨立的。

(12)

對式(11)關于循環次數N求導，可得裂紋擴展速率與循環次數的關系式為

(13)

(14)

結合式(11)、式(13)和式(14)，整理可得

(15)

2.1.2 裂紋擴展長度理論模型參數的確定方法

由式(12)與式(15)可知，待確定常數Ef，Bf和Hf可由Af，Df，p，q和Nt等5個待確定參數表示。因此，只需獲取Af，Df，p，q和Nt等5個待確定常數，即可確定裂紋擴展長度與循環次數的關系式(11)。

為了能從實測裂紋擴展長度和循環次數數據中確定常數Af，Df，p，q和Nt，根據式(11～15)，建立最優化模型

其中：目標函數f為裂紋擴展長度實測值(Δa)和計算值(Δacal)的偏差平方和；n為裂紋長度實測有效數據總數；Ni為第i個循環次數；Δai為循環次數Ni對應的裂紋擴展長度實測值；Δacal,i為循環次數Ni對應的裂紋擴展長度擬合值；其他參數的意義參考式(11)～(15)。

2.2 裂紋擴展速率與撕裂能峰值關系的模型

求解式(16)最優化問題，可得到裂紋擴展速率與循環次數關系式(13)中的各個待確定常數，從而得到試件不同實測循環次數時的裂紋擴展速率。填充天然橡膠試件的撕裂能峰值可以通過計算的方法得到[4]，由此得到試件裂紋擴展速率和撕裂能峰值的關系。利用式(4)描述的裂紋擴展速率與撕裂能峰值關系理論模型，建立最優化方法來確定模型中的各個材料參數。

純剪試件的裂紋擴展試驗一般要在一批相同材料試件上進行多次重復試驗，從而減少偶然或其因素引起的試驗誤差。對于同一批填充天然橡膠材料試件，無論試件形式、試驗條件和加載工況等因素，試件裂紋擴展模型(如式(4)所示)中的待確定常數數值均一樣。因此，應將所有的同一批試件的裂紋擴展速率和撕裂能峰值數據視為一個整體，作為獲取裂紋擴展模型的原始數據。

式(4)中，由于rz很小，處理試驗數據時一般認為rz=0，則有D=AT0。因此，式(4)可變形為

(17)

其中：裂紋擴展速率為[T0，Tc]上的連續函數。

(18)

所有試件實測數據整合后的撕裂能峰值序列記為Tmax,1，Tmax,2，Tmax,3…Tmax,i…Tmax,n，對應的裂紋擴展速率原始值序列記為r1,r2,…,ri,…,rn，其中，n為整合后的數據總數。為確定式(17)中的待確定常數B，F，T0和Tt，建立以下最優化模型來求解。

(19)

其中：目標函數f為裂紋擴展速率原始值與擬合值的偏差平方和；rcal,i為對應撕裂能峰值Tmax,i的裂紋擴展速率擬合值；其他參數的意義參考式(4)。

3 裂紋擴展長度模型與裂紋擴展模型建立方法的應用

為了驗證填充天然橡膠材料疲勞裂紋擴展模型建立方法的正確性，對某填充天然橡膠材料的純剪試件進行變幅加載裂紋擴展試驗。在得到有效的裂紋擴展長度、撕裂能峰值與循環次數實測數據后，根據建模方法建立所研究填充天然橡膠材料的疲勞裂紋擴展模型。

3.1 變幅加載時裂紋擴展試驗實測數據分析

裂紋擴展試驗的主要目的是獲取材料的裂紋擴展特性，即裂紋擴展速率與撕裂能峰值的關系。試驗通過測量試件的裂紋長度值并記錄對應的循環次數來獲取裂紋擴展速率，結合實測的撕裂能峰值數據，用數學方法建立裂紋擴展模型。

已知本裂紋擴展試驗所采用純剪試件的斷裂應變為188.53%，臨界撕裂能為174 007.8 J/m2。為了快捷地得到不同載荷水平下的裂紋擴展數據，筆者采用撕裂能比R=0的線性變幅加載工況。

試驗采用3個純剪試件(sp1，sp2和sp3)進行3次重復試驗，其中，試件的初始裂紋a0=25 mm。如圖2所示，試驗施加的應變載荷谷值一直保持為零，而峰值隨循環次數線性增加。根據試驗設定，式(7)中的待確定常數c=2.500 6×10-6，d=0.029 7。

圖2 變幅加載裂紋擴展試驗中應變載荷隨循環次數的變化Fig.2 The relationship between strain and number of cycles in crack growth experiment under variable amplitude

試驗實測裂紋長度與撕裂能峰值數據如圖3所示。由于應力軟化和永久變形等緣故[8]，隨著循環次數的增加，試驗加載的最大應力載荷不斷減小，導致載荷循環最大應變能密度的增長速度下降甚至減小。圖3(b)中，受應力軟化和永久變形的影響，在循環次數約大于20萬次后，撕裂能峰值的增長速度開始減小，撕裂能峰值甚至下降，與式(8)中撕裂能峰值的變化規律不符。為獲得建立裂紋擴展模型的有效試驗數據，應剔除試驗后期受應力軟化和永久變形影響的實測數據。

圖3 變幅加載工況下實測裂紋長度與撕裂能峰值的變化Fig.3 The measured value of crack length and maximum tearing energy

圖4 循環載荷最大應變能密度與最大應變的關系Fig.4 The relation of maximum strain energy density and maximum strain

3.2 裂紋擴展試驗有效實測數據的選取

如圖4所示，在試驗前期，循環載荷最大應變能密度與最大應變實測數據在雙對數坐標系下基本成線性分布，與式(6)的冪函數關系相符。在試驗后期，由于最大應變能密度的下降，導致試驗數據不再是線性分布。為準確剔除不再按照線性分布的實測數據，筆者采用最小二乘法對最大應變能密度與最大應變進行線性擬合，并依據相關系數的大小對實測數據進行截斷。

在式(6)兩邊取常用對數，得最大應變能密度與最大應變的線性擬合模型

(20)

設試件最大應變能密度實測數據的總數為n，在第m(m≤n)個數據點對最大應變能密度與最大應變進行截斷，取第m個數據點后面的所有最大應變能密度與最大應變數據進行線性擬合。各試件試驗數據的擬合相關系數R隨截斷點m的變化曲線如圖4所示。

兩個變量線性擬合的相關系數越接近1，則兩個變量的線性相關性越強。令數據截斷位置的相關系數為0.95，當最大應變能密度與最大應變線性擬合的相關系數小于0.95時，認為此時應力軟化和永久變形等現象已經對試驗數據產生影響。如圖5所示，3個試件的數據總數均為1 028，用相關系數R=0.95去截斷數據，可得數據截斷點的m值分別為607，759和889。其中，3個數據截斷點對應的循環次數分別為169 963，212 523和248 923。

圖5 截斷點m對擬合相關系數R的影響Fig.5 The influences of cut-off points on fitting correlation coefficient

3.3 裂紋擴展模型中材料參數的確定

3.3.1 裂紋擴展長度與循環次數模型參數的確定

根據得到的裂紋擴展長度與循環次數有效實測數據，求解式(16)的最優化問題。記實測循環次數序列為N1，N2，N3，…，Ni，…，Nn。求解時，假設轉折循環次數Nt為實測循環次數中的某一具體值Ni，從而可將實測數據劃分為兩部分。根據式(11)中兩個階段的關系式，分別對兩部分裂紋擴展長度與循環次數實測數據進行最小二乘擬合。兩個最小二乘擬合偏差平方和的加和，即為式(16)最優化問題的目標函數值，記為fi。當轉折循環次數Nt取遍實測循環次數序列時，對應可得目標函數值序列，記為f1，f2，f3，…，fi，…，fn。目標函數值序列最小值對應的最小二乘擬合結果即為最優化問題的最優解。對應最優解，3個試件裂紋擴展長度與循環次數關系式中各待確定參數擬合結果如表1所示。

圖6為各個試件裂紋擴展長度與循環次數實測值和擬合值的對比，由圖可知實測數據和擬合曲線吻合較好。將表1各個材料常數的值代入式(13)，可得各試件試驗過程中裂紋擴展速率的變化情況，結果如圖7所示。當循環次數約大于10萬次之后，各個試件的裂紋擴展速率增長均明顯加快。

表1 3個純剪試件裂紋長度和循環次數關系式中各個待確定常數的擬合結果

Tab.1 The fitting results of variables in the equations between crack length and number of cycles for the three pure shear test pieces

試件AfDfpEfBfqHfNt16.52×10-51.95×10-62.4657-0.004534.23×10-44.90000.722212460324.14×10-54.07×10-132.6301-0.001625.59×10-44.86000.16968260332.94×10-51.99×10-162.2107-0.005003.58×10-44.42470.237482603

圖6 裂紋擴展長度實測值與擬合值的對比Fig.6 The comparison of measured and fitted values of crack growth length

圖7 裂紋擴展速率隨循環次數變化的擬合曲線Fig.7 The fitted curve between the crack growth rate and number of cycles

圖8 裂紋擴展速率擬合值與撕裂能峰值實測值的變化關系Fig.8 The relation between fitted values of crack growth rate and measured values of maximum tearing energy

3.3.2 裂紋擴展速率與撕裂能峰值模型參數的確定

圖8為各試件的裂紋擴展速率和撕裂能峰值實測數據。在撕裂能峰值約小于500 J/m2前，裂紋擴展速率增長緩慢，試件每萬次裂紋擴展長度增長的平均速度約為2.5×10-4mm/(J·m-2)；而在撕裂能峰值約大于800 J/m2后，裂紋擴展速率快速增長，試件每萬次裂紋擴展速率增長的平均速度約為1×10-3mm/(J·m-2)。裂紋擴展速率隨撕裂能峰值的增長模式明顯存在兩個不同規律，與式(4)描述的理論模型相符，因此可通過求解式(19)的最優化問題來建立所研究填充天然橡膠材料的裂紋擴展模型。

基于3個試件裂紋擴展速率和撕裂能峰值整合后的數據，求解式(19)的最優化問題。當轉折撕裂能Tt取遍所有實測撕裂能峰值序列Tmax,1，Tmax,2，Tmax,3，…，Tmax,i，…，Tmax,n時，對應可得目標函數值序列。目標函數序列的最小值對應的模型參數用來描述裂紋擴展速率與撕裂能峰值的模型參數。當目標函數取最小值時，求解得到的撕裂能門檻值T0、轉折撕裂能Tt與材料常數A,B,F如表2所示。

表2 填充天然橡膠材料裂紋擴展模型中各個待確定常數的擬合結果

Tab.2 The fitting results of all variables in crack growth model

待定常數數值撕裂能門檻值/(J·m-2)24.4轉折撕裂能/(J·m-2)483.6材料常數A2.85×10-8材料常數B材料常數F4.18×10-112.0475

如圖9所示，裂紋擴展速率與撕裂能峰值的原始數據和擬合的關系曲線吻合良好。將表2中的數據代入式(17)，結合式(3)，可得筆者研究填充天然橡膠材料的裂紋擴展模型為

圖9 裂紋擴展速率與撕裂能峰值的關系曲線Fig.9 The relation curve of crack growth rate and maximum tearing energy

(21)

4 裂紋擴展模型的驗證

為了驗證式(21)中裂紋擴展模型的正確性，筆者試制同配方的啞鈴型試片進行單軸拉伸疲勞試驗[7]，獲取試片在不同恒幅載荷水平下的疲勞壽命。

啞鈴型試片的單軸拉伸疲勞試驗過程參見文獻[7]。筆者一共開展了8個不同應變峰值的恒幅載荷疲勞試驗，每一工況下分別對20個填充天然橡膠啞鈴型試片進行重復試驗，將各個工況的20個實測壽命取平均值，如表3所示。

表3 啞鈴型試片疲勞試驗應變和實測壽命

Tab.3 The strain and measured lifetime of all dumbbell-shaped test pieces

工況序號應變峰值εmax應變峰值εmin平均壽命次數11.6103896721.3506220631.2308204941.19010029051.00013946060.93018556070.71039873080.620522450

在實際試驗中，不論撕裂能峰值處于圖1中的哪一階段，階段III的裂紋擴展特性可近似代替其他幾個階段的擴展行為[9]。因此，計算疲勞壽命時可認為裂紋擴展速率與撕裂能峰值成冪函數關系。文獻[9]給出了啞鈴型試片單軸拉伸疲勞試驗的壽命預測公式

(22)

其中：Np為試件的疲勞壽命預測值；a0為試片橡膠材料的初始裂紋長度；B，F為式(17)中的材料常數；k為一個與材料類型和遠離裂紋尖端的應變水平相關的系數[4]；W為試片遠場的應變能密度。

將式(22)中的疲勞壽命預測值Np用實測值Nf代替，則式(22)可變形為橡膠材料初始裂紋的計算式

(23)

隨機選擇工況1，2，4，7的實測疲勞壽命代入式(23)計算材料的初始裂紋。其中，Nf取表3中各工況的實測疲勞壽命值。各工況下材料的初始裂紋與平均初始裂紋如表4所示。各個初始裂紋值較為接近，可取其平均值0.023 2 mm作為筆者所采用填充天然橡膠材料的初始裂紋a0。填充天然橡膠材料的初始裂紋一般分布在0.02～0.06 mm之間[10]，因此本研究初始裂紋的計算結果較為合理。

表4 工況試片平均壽命及其對應的初始裂紋

Tab.4 The average lifetimes and initial crack lengths of selected operating conditions

工況序號應變峰值εmax實測平均壽命次數初始裂紋/mm平均值a0/mm11.61389670.026021.35622060.02500.023241.191002900.021370.713987300.0203

如表5所示，將初始裂紋平均值a0代入式(22)計算啞鈴型試片在剩余工況3，5，6，8中的預測疲勞壽命，并將其結果與實測疲勞壽命進行對比。各工況預測壽命與實測壽命的比值分布在[0.93,1.03]之內，說明預測壽命和實測壽命有較好的一致性。

表5 啞鈴型試片預測疲勞壽命與實測疲勞壽命的對比

Tab.5 The comparison of predicted and measured values of dumbbell-shaped test pieces′ lifetime

工況序號應變峰值預測壽命次數實測平均壽命次數預測壽命與實測壽命之比31.2382049847551.0351.001394601427121.0260.931855601718660.9380.625224504999600.96

可見，無論是根據實測壽命計算初始裂紋，還是根據初始裂紋計算預測壽命，式(21)的裂紋擴展模型均能給出較好的計算結果，驗證了所建立裂紋擴展模型的正確性和獲取裂紋擴展模型方法的正確性。

5 結 論

1) 建立了變幅載荷單軸拉伸試驗中獲取有效裂紋擴展長度與循環次數實測數據的數據處理方法，剔除試驗后期受到橡膠的應力軟化現象影響的實測數據。

2) 給出了單軸拉伸試驗下裂紋擴展長度與循環次數模型的建模方法。利用實測的有效裂紋擴展長度與循環次數的試驗數據和建立的裂紋擴展長度理論模型，提出了求解模型中材料參數的最優化方法。

3) 建立了填充天然橡膠材料裂紋擴展模型中材料參數的數值求解方法，得到了填充天然橡膠材料的門檻撕裂能、轉折撕裂能和臨界撕裂能等重要的材料參數。用一組啞鈴型試片單軸拉伸疲勞試驗的結果驗證了該模型的正確性。

[1] Lake g J,Lindley P B. The mechanical fatigue limit for rubber[J]. Journal of Applied Polymer Science, 1965, 1233-1251.

[2] Lake G J,Lindley P B.Fatigue of rubber at low strains[J]. Journal of Applied Polymer Science, 1966, 343-351.

[3] Gent A N， Lindley P B, Thomas A G. Cut growth and fatigue of rubbers I the relationship between cut growth and fatigue [J]. Journal of Applied Polymer Science, 1964, 8: 455-466.

[4] Lindley P B. Relation between hysteresis and the dynamic crack growth resistance of natural rubber [J]. International Journal of Fracture, 1973(9):449-462.

[5] Thomas A G. Rupture of rubber V cut growth in natural rubber vulcanizates [J]. Journal of Polymer Science, 1958, 31: 467-480.

[6] Mars W V. Multiaxial fatigue of rubber [D]. USA: The University of Toledo, 2001.

[7] 王小莉，上官文斌，劉泰凱，等. 填充橡膠材料單軸拉伸疲勞試驗及疲勞壽命模型研究[J]. 機械工程學報，2013，49(14)：65-73.

Wang Xiaoli, Shangguan Wenbin, Liu Taikai, et al. Experiment of uniaxial tension fatigue and modeling of fatigue life for filled natural rubbers [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(14)：65-73.(in Chinese)

[8] Mars W V, Fatemi A. Factors that affect the fatigue life of rubber: a literature survey[J]. Rubber Chemistry and Technology, 2004,76:391-412.

[9] Lake G J. Fatigue and fracture of elstomers [J]. Rubber Chemistry and Technology,1995,68(3): 435-459.

[10]Mars W V, Fatemi A. A literature survey on fatigue analysis approaches for rubber [J]. International Journal of Fatigue, 2002, 24: 949-961.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.025

*國家自然科學基金資助項目(51275175)；廣東省自然科學基金資助項目(2014A030313254)

2014-06-19；修回日期：2014-08-04

TQ333; TB39; TQ339; TH145.4

上官文斌，男，1963年10月生，博士、教授、博士研究生導師。主要研究方向為超彈性、黏彈性、彈塑性建模和復雜耦合系統動力學特性計算分析、橡膠隔振器振動控制和疲勞特性。E-mail:shangguanwb99@tsinghua.org.cn