基于混沌理論的平板閘門流激振動特性*

羅貝爾， 王均星， 周建烽， 張瑩瑩

(武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室 武漢，430072)

基于混沌理論的平板閘門流激振動特性*

羅貝爾， 王均星， 周建烽， 張瑩瑩

(武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室 武漢，430072)

鑒于閘門流激振動過程的復雜性，對水彈性模型試驗中閘門在不同開度下的實測加速度響應數據進行了混沌特性分析。首先，對實測數據進行相空間重構，分別采用平均互信息法和平均偽最近鄰域法計算最佳時間延遲和最佳嵌入維數；然后，基于嵌入參數計算關聯維數D2和最大Lyapunov指數λ1，并對各計算參數的分布規律進行分析。研究表明：閘門側向振動的復雜性相對其他振動方向更高，中間開度時的振動復雜性比大開度或小開度更顯著；豎直向振動與順流向振動中呈現出了較低維(D2=3.342～5.130)的混沌吸引子，表明較少的獨立變量即可描述閘門豎直向及順流向振動的規律；λ1隨閘門開度的變化規律呈現“兩邊小中間大”的趨勢，表明閘門在中間開度時的振動預測準確性較低。

平板閘門； 流激振動； 混沌； 相空間重構； 關聯維數； Lyapunov指數

引 言

混沌存在于確定性系統中，是隱藏著某種規律的不規則現象。混沌理論的成功應用歸功于Takens嵌入定理的提出，該定理認為，系統中任一分量如何演化均是由系統內部相互作用著的其他分量所決定的，這為研究動力系統中單變量實測時間序列的混沌特性提供了理論基礎。該理論已在水文學、生物學、經濟學、氣象學和電機學等領域成功應用，但在水工結構流激振動中的實際應用方面還并不多見。楊弘[1]在研究二灘水電站的水墊塘底板動力響應時，計算了底板振動信號的分形維數，包括盒維數和關聯維數，發現分形維數與底板振動的位置無關。水工閘門的流激振動屬于典型的流固兩相交界面耦合問題。國內外學者對此有許多相關研究，提出了不同觀點及分類方式[2-3]，針對不同類型的閘門與振動方式存在各種研究方法與防治措施[4-6]。流激振動現象是復雜的，根據混沌理論，當初始條件或邊界條件存在微小變化時，系統中任何復雜的演化過程都可能出現。

筆者引入混沌理論，初步探索準確預測閘門流激振動的途徑，以某水電站深孔平板閘門水彈性模型試驗為背景，分析在不同開度條件下閘門振動響應數據的混沌特征，得到了閘門流激振動過程中的混沌特性。

1 混沌理論介紹

混沌系統的相軌跡經過一定時間演化會落入某一特定的軌道中，產生一種規則、有形的軌跡，在轉化成與時間相關的序列時呈現出復雜、混亂的特征。這種特定的軌道就是奇異吸引子，通過研究其性質計算原系統中的任何微分或拓撲不變量，得到系統內部隱藏的基本特性。

1.1 相空間重構

(1)

其中：τ為時間延遲，對于實測數據表示采樣時間間隔的倍數；m為嵌入維數。

通過選擇適當的嵌入維數m和時間延遲τ，可重構一個等價的相空間，得到原動力系統的吸引子。

1.1.1 最佳時間延遲的確定

筆者選取平均互信息法(average mutual information,簡稱AMI)[7-8]計算最佳時間延遲，定義平均互信息函數，如式(2)所示，用來度量兩個隨機變量之間一般性的隨機關聯性。

(2)

1.1.2 最佳嵌入維數的確定

筆者采用平均偽最近領域法(averagedfalsenearestneighbors, 簡稱AFN)[9]計算最佳嵌入維數，它是在虛假鄰點法基本思想的基礎上由Cao提出的改進方法。令

(3)

(4)

(5)

1.2 混沌特征的識別方法

判斷時間序列是否由確定性混沌系統產生是非常具有挑戰性的。通常的做法是計算重構吸引子的特征參數來判別時間序列中是否存在混沌特征[10-17]，從而間接判斷原動力系統是否為混沌系統。主要特征參數包括描述鄰近軌道發散率的最大Lyapunov指數λ1[15-16]、描述吸引子維數的關聯維數D2[13]和反映信息產生頻率的Kolmogorov熵[14]。筆者通過計算λ1和D2，在判斷時間序列是否存在混沌特征的同時，對其分布規律進行分析。

1.2.1 飽和關聯維數法

(6)

(7)

(8)

1.2.2Lyapunov指數

(9)

其中：p為時間序列的平均周期。

定義該鄰點對j個離散時間步之后的距離為

全書最長的當數第五回賈寶玉夢游太虛幻境，這個夢可以說是《紅樓夢》里紅粉女人悲苦命運的集大成，其次是第八十二回林黛玉的一場惡夢和一百一十六回賈寶玉再游真如福地；而最短的夢則是第十回賈寶玉在夢中聽見秦氏死了和第八十九回林黛玉睡夢中聽見有

(10)

(11)

2 實例與數據分析

2.1 模型設計與數據處理

以某深孔平板工作門的水彈性模型試驗為研究背景，研究了工作閘門在不同運行工況下的流激振動情況。試驗采用1∶20全水彈性相似材料制作模型閘門，所選的模型材料主要參數為：抗拉強度σm=50 MPa；彈性模量Em=1.1×104MPa；材料密度ρm=7.5×103kg/m3。受模型閘門尺寸的限制，加速度測點共布置了6個，包括：邊梁上的Z1測點主要測量閘門的側向振動情況；主橫梁上的Z2測點主要測量閘門的豎直向振動情況；上游面板上的Z3，Z4測點以及下游面板上的Z5，Z6測點主要測量閘門的順流向振動情況。閘門的水彈性模型如圖1所示。加速度傳感器具體布置如圖2所示。

圖1 閘門水彈性模型實圖Fig.1 Picture of hydroelastic model of gate

圖2 加速度傳感器測點布置圖Fig.2 Layout of measuring points of acceleration sensor

試驗中測量了設計水位下，閘門分別在1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8和7/8開度時的加速度響應。采樣頻率f=500 Hz，每組數據采樣時間為30 s，隨機選取樣本容量N=6 000進行分析，統計出每組數據的最大值。圖3為各測點最大值隨開度的變化規律。可以看出，每個測點實測加速度響應最大值隨開度有“兩增兩減”的變化規律，出現振動加速度較大值的開度位置為2/8，5/8和6/8。

圖3 閘門振動加速度最大值隨開度的變化規律圖Fig.3 Relation between maximum vibration acceleration and gate opening degree

采用五點三次平滑法對每組數據進行平滑去噪處理，并按式(12)進行標準化

(12)

其中：pn為實測數據；Pn為標準化后的時間序列；σ為實測數據的標準差。

圖4為典型加速度響應數據標準化后的時間歷程曲線。

圖4 實測加速度響應標準化后的歷程曲線Fig.4 Time series plot for normalized measured acceleration response

2.2 相空間重構

對標準化的時間序列進行相空間重構，采用AMI法計算最佳時間延遲τ。圖5為典型數據的AMI計算圖，其余計算值如表1所示。根據計算的最佳時間延遲τ列出典型數據重構吸引子的三維相圖，如圖6所示。

圖5 最佳時間延遲計算圖Fig.5 The calculation chart of optimum time delay

圖6 重構吸引子三維相圖Fig.6 Three-dimensional phase portrait of the reconstructed attractor

圖7 最佳嵌入維數計算圖Fig.7 Calculation chart of optimum embedding dimension

在確定最佳時間延遲后，采用AFN法計算最佳嵌入維數m。典型數據的E1，E2隨m的變化曲線如圖7所示。可以看出，E2曲線均呈現出了明顯的變化規律，并不是在1附近微小的波動。這說明閘門流激振動實測數據并非完全隨機信號，噪聲水平較小。其余m計算值如表1所示。可以看出：a.整體上看，最佳時間延遲τ的總體取值范圍在20～38之間，但隨開度沒有表現出變化的規律性且振動不同方向間的τ值也沒有關聯；b. 最佳嵌入維數m的總體取值范圍在4～12之間，且順流向振動的上游面(Z3，Z4)比下游面(Z5，Z6)的m值相對更高，除了1/8開度外，側向振動(Z1)的m值比其他方向更大，而1/8和7/8開度在各振動方向時的m值比其他中間開度都要小。這說明閘門在側向振動時的復雜性相對其他振動方向更高，這可能是由于閘門側邊滑塊與門槽之間存在一定間隙，側向自由度相對更高，從而使側向振動不確定性更高。同時，閘門在中間開度時的流激振動復雜性比大開度或小開度時更高，表明閘門在局開或啟閉過程中其動力過程更難控制，若出現閘門局部損壞或止水漏水等不利情況，更易出現強烈振動的情況。

表1 實測加速度序列最佳嵌入參數表

Tab.1 Best embedding parameters in measured acceleration series

開度嵌入參數側向(Z1)豎直向(Z2)順流向上游面板順流向下游面板(Z3)(Z4)(Z5)(Z6)1/8τ273121313833m6556562/8τ333037293134m10768673/8τ363332372630m12989764/8τ313636263632m11878665/8τ273736203722m11897666/8τ212935343436m10789677/8τ373035282432m867645

2.3 混沌特征量

2.3.1 關聯維數

根據最佳時間延遲τ，嵌入維數從m=2開始逐漸增加，按式(7)計算得到C(r)和r的關系，進而得到lnC(r)～lnr的雙對數關系曲線。圖8為典型數據的雙對數曲線圖。圖9為圖8中相應數據的關聯維數D2隨嵌入維數m的變化關系。各組實測加速度響應數據的關聯維數如表2所示，并在表中標出關聯維數達到飽和值的，且與AFN法計算值不同的嵌入維數。圖10為各測點的關聯維數隨開度的變化規律。

從表2和圖10可以看出：a.與AFN方法計算值有差別的加速度序列主要集中在Z1測點上，其他測點的m值基本一致，說明噪聲水平沒有完全覆蓋加速度序列的混沌特性，且閘門側向振動的不確定性更強；b.整體來看，關聯維數分布在3.342～6.720之間，其中，Z1測點分布在3.745～6.720之間，其余測點分布在3.342～5.130之間，關聯維數均為分數，說明閘門流激振動具有混沌和分形特征；c.在1/8和7/8開度時的關聯維數相對其他中間開度較小，說明閘門在這兩個開度時振動的復雜性更弱，閘門順流向振動時，上游面板的關聯維數較下游面板略高；d.該閘門的豎直向振動與順流向振動中呈現出較低維的混沌吸引子，表明對閘門流激振動系統進行建模只需要較少的獨立控制變量就可以基本描述閘門在振動過程中的復雜性和非線性規律，這為完整描述閘門流激振動現象提供了理論基礎。

圖8 典型測點加速度序列的lnC(r)與lnr關系 Fig.8 lnC(r) versus lnr for typical measured acceleration series

圖9 典型測點加速度序列D2與m關系圖Fig.9 Relation between D2 and m for typical measured acceleration series

表2 實測加速度序列關聯維數表

Tab.2 The correlation dimension in measured acceleration series

開度側向(Z1)豎直向(Z2)順流向上游面板順流向下游面板(Z3)(Z4)(Z5)(Z6)1/83.7453.3423.8263.7833.5823.6102/85.560(9)4.5124.8334.8984.3794.6753/86.6914.529(8)4.7915.0224.1424.3544/85.673(10)4.3284.4934.9254.0674.4515/86.720(12)4.7935.0144.7714.5034.0936/85.8544.2814.9485.130(10)4.4144.1827/84.3593.5163.7653.7043.591(5)3.438括號內表示的是關聯維數達到飽和值的嵌入維數,且與AFN法計算值有差別

圖10 各測點關聯維數隨閘門開度的變化曲線Fig.10 Relation between correlation dimension and gates opening for each measured point

2.3.2 Lyapunov指數

根據AFN法計算的最佳嵌入參數，采用小數據量法計算最大Lyapunov指數λ1。圖11為典型數據的y(j)變化曲線。可以看出，曲線包含波動的增長區域以及之后的穩定區域，對前段增長區域進行最小二乘法擬合直線，其斜率即為λ1，之后穩定區域是由于重構吸引子有界，而平均分散率y(j)不會超過吸引子范圍[10,17]。各測點實測加速度數據的λ1分布情況如表3所示。圖12為各測點的λ1值隨開度的變化規律，其值在0.045～0.351之間,均大于零，表明實測加速度序列具有明顯的混沌特征。同時，各不同測點的λ1隨閘門開度的變化規律呈現“兩邊小中間大”的趨勢，即無論閘門是順流向，豎直向或側向振動時，在1/8和7/8兩個開度的λ1值比其他5個中間開度明顯要小，這表明除了1/8和7/8開度，在其他局部開啟條件下，閘門在水流激振影響下其振動復雜性更高，試驗預測準確性較低。在實際工程中，體現為閘門在2/8～6/8開度之間的振動情況存在更多的不確定性，包括強烈振動的情況。在水彈性模型試驗中，閘門僅在2/8，5/8和6/8開度時存在較大的振動加速度，而無法預測3/8和4/8開度時可能存在的強烈振動。此外，Z1測點處的λ1值比其他測點普遍要高，說明閘門側向振動的不確定性更高。

表3 最大Lyapunov指數規律表

Tab.3 The maximum Lyapunov exponent for all measured points

開度側向(Z1)豎直向(Z2)順流向上游面板順流向下游面板(Z3)(Z4)(Z5)(Z6)1/80.1180.0630.0880.1140.0450.0722/80.2450.1660.2120.2430.2010.1923/80.2690.2220.2110.2260.2040.2344/80.2820.1850.1970.2150.2060.2185/80.2770.2200.2090.2170.1940.2516/80.3510.2040.2290.2310.2240.2337/80.1400.1510.1600.1480.1350.142

圖11 y(j)對演化步長j曲線Fig.11 Curve of y(j) to evolutionary step j

圖12 各測點最大Lyapunov指數隨閘門開度的變化曲線Fig.12 Relation between maximum Lyapunov exponent and gate opening for each measuring point

3 結 論

1) 通過對實測數據進行相空間重構，對比分析嵌入參數的分布規律，發現閘門的側向振動復雜性相對其他方向振動更高，且中間開度時的振動復雜性比大開度或小開度更高，表明閘門中間開度時的動力過程更難控制且易出現強烈振動的情況。

2) 通過分析各組數據飽和關聯維數的分布規律，發現在閘門的豎直向振動與順流向振動中呈現出了較低維(3.342～5.130)的混沌吸引子。這表明通過較少的獨立控制變量進行建模即可描述閘門流激振動系統呈現出的復雜性和非線性規律。

3) 最大Lyapunov指數λ1分布在0.045～0.351之間，各測點的λ1隨閘門開度的變化規律呈現“兩邊小中間大”的趨勢。這表明閘門在中間開度條件下的振動存在更多不確定性，試驗預測準確性較低。

4) 從AFN法及關聯維數的分析可以看出，噪聲的存在對混沌理論的應用有一定影響，如何在對數據進行混沌特性分析之前降低噪聲水平是亟待解決的問題。尋找混沌特性與傳統動力特性及頻譜特性之間的關聯性，即如何將混沌特征量與工程設計指標聯系起來也是未來工作的重點。

[1] 楊弘.二灘水電站水墊塘底板動力響應特性及安全監測指標研究[D].天津:天津大學,2004.

[2] Weaver D S, Ziada S. Flow-induced vibrations in power and process plant components-progress and prospects[J]. Journal of Pressure Vessel Technology, 2000, 122(3): 339-348.

[3] 楊敏, 崔廣濤. 水工結構流激振動的綜合集成探討[J]. 水力發電學報, 2008, 27(1): 102-110.

Yang Min, Cui Guangtao. Synthetic discussion on flow-induced vibration of hydraulic structures[J]. Journal of Hydroelectric Engineering, 2008, 27(1): 102-110. (in Chinese)

[4] 郭貴禎, 張雅卓, 練繼建. 平面閘門垂向自激振動機理和穩定性研究[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(9): 98-101.

Guo Guizhen, Zhang Yazhuo, Lian Jijian. Mechanism and stability of self-induced vertical vibration of plane gates[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(9): 98-101. (in Chinese)

[5] 顧云, 嚴根華, 趙建平. 上臥式閘門水彈性振動試驗研究[J]. 振動、測試與診斷, 2009, 29(3): 333-339.

Gu Yun, Yan Genhua, Zhao Jianping. Hydro-elastic vibration test of a lying-up gate[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2009, 29(3): 333-339. (in Chinese)

[6] 嚴根華. 水工閘門自激振動實例及其防治措施[J]. 振動、測試與診斷, 2013, 33(S2): 203-208.

Yan Genhua. Self-induced vibration case and controlling measure of hydraulic gate[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013, 33(S2): 203-208. (in Chinese)

[7] Fraser A M, Swinney H L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information[J]. Physical Review A, 1986, 33(2): 1134-1140.

[8] Kraskov A, Stogbauer H, Grassberger P. Estimating mutual information[J]. Physical Review E, 2004, 69(6): 066138.

[9] Cao Liangyue. Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series[J]. Physica D, 1997, 110(1-2): 43-50.

[10]Shang Pengjian, Xu Na, Kamae S. Chaotic analysis of time series in the sediment transport phenomenon[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2009, 41: 368-379.

[11]Karakasidis T E, Charakopoulos A. Detection of low-dimensional chaos in wind time series[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2009, 41: 1723-1732.

[12]Kedra M. Deterministic chaotic dynamics of Raba river flow[J]. Journal of Hydrology, 2014, 509: 474-503.

[13]Grassberger P, Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors[J]. Physica D, 1983, 9(1-2): 189-208.

[14]Grassberger P, Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal[J]. Physical Review A, 1983, 28(4): 2591-2593.

[15]Wolf A, Swift J B, Swinney H L, et al. Determining Lyapunov exponents from a time series[J]. Physica D, 1985, 16(3): 285-317.

[16]Rosenstein M T, Collins J J, Deluca C J. A practical method for the calculating largest Lyapunov exponents from small datasets[J]. Physica D, 1993, 65(1): 117-134.

[17]Ghorbani M A, Kisi O, Aalinezhad M. A probe into the chaotic nature of daily streamflow time series by correlation dimension and largest Lyapunov methods[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34: 4050-4057.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.030

??術研究重點資助項目(106107)

2015-01-12；修回日期：2015-04-30

TV663; TH113

羅貝爾，男，1986年4月生，博士研究生。主要研究方向為水工結構流激振動。曾發表《Researches on the chaotic characteristics of fluctuating pressure in slit-type energy dissipater》(《Advanced Materials Research》2014，Vol.1025-1026)等論文。

E-mail:lbe415@whu.edu.cn