基于奇異值分解和相干積累的DOA估計(jì)方法

鄧超升，朱立東

(電子科技大學(xué) 通信抗干擾技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611731)

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基于奇異值分解和相干積累的DOA估計(jì)方法

鄧超升，朱立東

(電子科技大學(xué) 通信抗干擾技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611731)

摘要：簡單介紹了常規(guī)譜估計(jì)算法在存在相干信號(hào)源條件下的缺陷以及幾種單快拍條件下的DOA估計(jì)方法，結(jié)合陣列信號(hào)模型對(duì)單快拍條件下的DOA估計(jì)算法進(jìn)行了分析。在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于奇異值分解(SVD)和快拍數(shù)據(jù)相干積累的DOA估計(jì)新方法。通過理論分析和仿真測試，證明該方法能利用單次快拍數(shù)據(jù)或相干積累數(shù)據(jù)對(duì)相干信號(hào)實(shí)現(xiàn)解相干，降低了DOA估計(jì)的均方根誤差，提高了成功分辨概率。

關(guān)鍵詞：空間譜估計(jì)；相干信號(hào)源；單次快拍；奇異值分解；相干積累

0引言

波達(dá)方向(Direction Of Arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，在雷達(dá)、聲納、衛(wèi)星和移動(dòng)通信系統(tǒng)等領(lǐng)域具有重要的研究意義。在實(shí)際應(yīng)用中，由于多徑傳播、人為干擾等因素的影響，空間中存在大量的相干信號(hào)源，使得一些成熟的DOA估計(jì)方法(如：MUSIC[1]、ESPRIT[2])無法正確分辨出各路信號(hào)的來波方向。因此，在空間中存在相干信號(hào)源的情況下，必須對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行解相干處理，才能使用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行DOA估計(jì)。常用的解相干處理方法有降維法(如：空間平滑算法和矩陣重構(gòu)算法)和非降維法(如：Toeplitz算法和子空間擬合算法)[3]。通常情況下，上述算法均需要獲取足量的快拍數(shù)據(jù)才能夠達(dá)到相對(duì)滿意的DOA估計(jì)效果，在只有一次快拍數(shù)據(jù)可用或是進(jìn)行快拍數(shù)據(jù)相干積累的情況下算法失效。

1陣列信號(hào)模型

假設(shè)有N個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)入射到由M個(gè)全向陣元組成的均勻直線陣列上(N≤M-1)，陣元間距為d。若將第1個(gè)陣元所在的位置設(shè)為參考點(diǎn)，則t時(shí)刻陣列的接收數(shù)據(jù)可以表示為:

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)，

(1)

陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣定義為：

A(θ)RSSA(θ)H+RNN。

(2)

在只有單快拍數(shù)據(jù)可用或者快拍相干積累的情況下，式(2)的秩降為1，對(duì)式(2)進(jìn)行特征值分解不能將信號(hào)子空間和噪聲子空間完全分離。此時(shí)，在式(2)為基礎(chǔ)上的進(jìn)行展開的子空間類算法將失效。

文獻(xiàn)[4]利用陣列接收的快拍數(shù)據(jù)構(gòu)造出一個(gè)具有與式(2)所示的協(xié)方差矩陣性質(zhì)類似的矩陣R，稱為偽協(xié)方差矩陣。在入射信號(hào)為實(shí)信號(hào)的前提下，結(jié)合陣列流形向量a(θi)的特點(diǎn)，該矩陣可以寫為R=A(θ)DA(θ)H+RN，其中D為N×N維對(duì)角矩陣，其表達(dá)式為D=diag(s1(t),s2(t),…,sN(t))；RN表為噪聲構(gòu)成的矩陣。如果入射信號(hào)不是實(shí)信號(hào)，則R≠A(θ)DA(θ)H+RN，對(duì)R進(jìn)行特征是分解后得不到正確的信號(hào)子空間和噪聲子空間。因此，通過該方法無法得到正確的DOA信息。此外，通過仿真驗(yàn)證，若使用相干積累的快拍數(shù)據(jù)按照該方法構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣，對(duì)相隔較近的相干源會(huì)造成估計(jì)精度上的損失。

為改善在單次快拍數(shù)據(jù)或相干積累數(shù)據(jù)下的DOA估計(jì)算法性能，本文提出了一種基于奇異值分解和相干積累的DOA估計(jì)新算法，該算法能在不減小陣列自由度的前提下實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)源的DOA估計(jì)，適用于不同形式的信號(hào)源，且經(jīng)過快拍相干積累后能在低信噪比情況下依然具有較好的分辨力和穩(wěn)定性。

2基于SVD和相干積累的DOA估計(jì)算法

對(duì)陣列的接收信號(hào)模型進(jìn)行分析可知，一次快拍數(shù)據(jù)中就已經(jīng)包含了陣列所能提取到的所有入射信號(hào)的空間到達(dá)角度信息，多次快拍數(shù)據(jù)并沒有增加新的空間到達(dá)角度信息。在擁有少量快拍數(shù)據(jù)的情況下，可以通過陣列輸出數(shù)據(jù)的相干積累來提高信噪比。設(shè)有P個(gè)快拍數(shù)據(jù)可用，在已知入射信號(hào)頻率的條件下，可構(gòu)造P維列向量F，F(xiàn)的表達(dá)式為：

(3)

A(θ)SF+NF，

(4)

RXX=X(t)X(t)H=

A(θ)RSSA(θ)H+RNN，

(5)

PXX≈UM×KΣK×KVTK×M，

(6)

式中，K為大特征值的個(gè)數(shù)，U和V分別為PXX的左奇異矢量和右奇異矢量組成的矩陣，Σ為對(duì)角矩陣，對(duì)角元素為RXX的K個(gè)大奇異值。由于RXX的秩為1，對(duì)RXX進(jìn)行奇異值分解得到一個(gè)明顯區(qū)別于其他奇異值的大奇異值和一系列小奇異值，因此，K=1，式(5)可以表示為：

(7)

(8)

(9)

若將陣列流形矩陣表示為：

(10)

式中，a1(θ)=[1,1,…,1]為A(θ)的第1行，aM(θ)=

為A(θ)的最后一行。由陣列流形矩陣的結(jié)構(gòu)特征可得：

A2(θ)=A1(θ)Φ(θ)，

(11)

式中，Φ(θ)=

(12)

則存在一個(gè)可逆矩陣T使得：

(13)

則有：

ES2=A2(θ)T=A1(θ)Φ(θ)T=ES1T-1Φ(θ)T。

(14)

令G(θ)=T-1Φ(θ)T，則ES1ES2+=G(θ)。由于G(θ)與Φ(θ)具有相同的特征值，因此對(duì)G(θ)進(jìn)行特征值分解即可得到相應(yīng)的特征值e-j2πdsinθn/λ(1≤n≤N)，從而求解得到源信號(hào)的來波方向。

3數(shù)值仿真分析

① 設(shè)在信噪比為5 dB情況下，陣元間距d=λ/2。4個(gè)等功率相干信號(hào)入射到陣元數(shù)目M為15的均勻直線陣列上，信號(hào)的載波頻率為12 GHz，采樣頻率為25 GHz，入射信號(hào)的到達(dá)角分別為18°、20°、30°和40°。快拍數(shù)為P=150，相干積累時(shí)長Tmax=6ns。分別使用指數(shù)信號(hào)和正弦信號(hào)作為入射信號(hào)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證文中算法和文獻(xiàn)[4]算法在不同入射信號(hào)形式下的空間角度分辨性能。為便于觀察，仿真使用MUSIC算法進(jìn)行空間譜估計(jì)，搜索精度為1°。2種算法在不同信號(hào)形式下的空間譜如圖1所示。

圖1　不同算法的空間譜

② 假設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，N個(gè)信號(hào)源的到達(dá)角均方根誤差定義為：

(15)

③ 選取4個(gè)完全相干的信號(hào)進(jìn)行仿真，入射信號(hào)形式為正弦信號(hào)，且到達(dá)角分別為10°、15°、25°和30°。分別統(tǒng)計(jì)在單次快拍數(shù)據(jù)的條件下、相干積累的快拍數(shù)P分別為5、20、50和100的條件下文中算法的均方根誤差，采用ESPRIT算法進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真，其他仿真數(shù)據(jù)同仿真①。均方根誤差隨信噪比的變化曲線如圖3所示。

圖2　不同算法的均方根誤差對(duì)比曲線

圖3　均方根誤差統(tǒng)計(jì)曲線

④ 設(shè)4個(gè)等功率相干信號(hào)到達(dá)角分別為10°、20°、30°和40°，采用正弦信號(hào)進(jìn)行仿真。在不同信噪比下統(tǒng)計(jì)文中算法在單快拍數(shù)據(jù)和不同相干積累快拍數(shù)的條件下對(duì)各路入射信號(hào)的成功分辨率。設(shè)快拍數(shù)P分別為5、20、50和100。其中，當(dāng)對(duì)各個(gè)角度的估計(jì)值與其真實(shí)到達(dá)角之間誤差均小于0.2°視為成功分辨，成功分辨率曲線如圖4所示。

圖4　成功分辨概率統(tǒng)計(jì)曲線

圖2顯示，對(duì)于4個(gè)相隔較遠(yuǎn)的相干信號(hào)，當(dāng)使用單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行均方根誤差統(tǒng)計(jì)時(shí)，在信噪比低于0dB的條件下文獻(xiàn)[4]算法與文中算法的均方根誤差都>2°。當(dāng)信噪比大于0dB，文中算法的均方根誤差迅速降低到0.5°，并保持下降趨勢(shì)，在20dB達(dá)到0.043°；而文獻(xiàn)[4]算法隨信噪比升高均方根誤差降低到0.4°左右便下降緩慢，到20dB時(shí)為0.33°。當(dāng)相干積累快拍數(shù)P=100時(shí)，在信噪比從-5dB增長至20dB的過程中，文獻(xiàn)[4]的均方根誤差從0.355°降低到0.329°，而文中算法的均方根誤差從0.186°下降到0.009 7°。由以上數(shù)據(jù)可知，在相同仿真條件下，文中算法在均方根誤差方面的性能優(yōu)于文獻(xiàn)[4]算法。

圖3顯示，文中算法在不同信噪比下的均方根誤差隨相干積累的快拍數(shù)P緊密相關(guān)。直接使用單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)，在-5～2dB范圍內(nèi)使用文中算法得到的均方根誤差大于1°，且在該信噪比范圍內(nèi)，均方根誤差值急劇減小；在信噪比為3～20dB的范圍內(nèi)，均方根誤差逐漸減小至0.068 9°。若進(jìn)行快拍數(shù)據(jù)的相干積累，在相同信噪比條件下，文中算法得到的均方根誤差隨快拍數(shù)的增加而逐漸減小。當(dāng)相干積累快拍數(shù)目P=5和P=20時(shí)，均方根誤差分別在信噪比為-1dB和-3dB時(shí)低于1°，且兩者對(duì)應(yīng)的均方根誤差的差值從-5dB時(shí)的2.93°下降到0.01°。當(dāng)相干積累快拍數(shù)目P=50和P=100所對(duì)應(yīng)的均方根誤差曲線非常接近，且在信噪比為-5dB時(shí)均<0.35°，并隨信噪比的增加逐漸減小，在信噪比為20dB時(shí)分別達(dá)到0.016 3°和0.010 6°。由圖2可以得出結(jié)論，若在單快拍數(shù)據(jù)條件下使用文中算法進(jìn)行DOA估計(jì)，可以在信噪比3dB以上得到較低的均方根誤差；若在相干積累數(shù)據(jù)條件下，只要相干積累的快拍數(shù)P滿足文獻(xiàn)[12]中的條件，文中算法的均方根誤差隨相干積累的快拍數(shù)目的增加而降低，并且能在低信噪比下獲得良好的估計(jì)性能。

由圖4中的成功分辨概率曲線顯示，文中算法隨信噪比的增加，成功分辨概率逐漸提高。在不進(jìn)行相干積累的條件下，信噪比在15dB以上才能100%成功分辨出4路相干信號(hào)，在信噪比高于9dB范圍內(nèi)成功分辨概率高于90%；且在信噪比為-5dB以下幾乎無法正確分辨。當(dāng)相干積累快拍數(shù)P=5時(shí)，信噪比在9dB以上可以100%成功分辨出所有信號(hào)。當(dāng)P=20、P=50時(shí)，分別在信噪比為5dB和4dB時(shí)達(dá)到100%成功分辨。當(dāng)P=100時(shí)，在信噪比為-3dB時(shí)成功分辨概率大于90%，并且在0dB時(shí)達(dá)到100%。數(shù)據(jù)顯示，文中算法在進(jìn)行快拍相干積累條件下的成功分辨概率在相同信噪比下,高于單次快拍條件下的成功分辨概率。總體來說，文中算法對(duì)少量快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行相干積累后,可以提高對(duì)相干信號(hào)的成功分辨概率，尤其是在低信噪比條件下。

4結(jié)束語

經(jīng)典的DOA估計(jì)算法建立在獲取足夠多快拍數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，尤其是當(dāng)入射信號(hào)中存在相干源。對(duì)陣列的接收數(shù)據(jù)而言，單次快拍數(shù)據(jù)中就已經(jīng)包含了所有入射信號(hào)的DOA信息，多次快拍數(shù)據(jù)較一次快拍數(shù)據(jù)沒有增加更多的入射角度信息。然而，可以通過對(duì)快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行相干積累來達(dá)到提升信噪比的目的。多次快拍的相干積累獲得的數(shù)據(jù)類似于單快拍數(shù)據(jù)，可以看成M維列向量。文中算法利用一次快拍數(shù)據(jù)或相干積累得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行相干信號(hào)的DOA估計(jì)。該算法通過奇異值分解獲取包含所有入射信號(hào)來波方向信息的奇異矢量，再進(jìn)行滿秩協(xié)方差矩陣重構(gòu)，最后通過ESPRIT算法獲取DOA信息。該算法能在不減小陣列自由度的前提下實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)源的DOA估計(jì)，且不需要進(jìn)行空間角度掃描，減小了計(jì)算量。同時(shí)，該算法適用于不同形式的信號(hào)源，且在低信噪比情況下具有良好的成功分辨概率和較低的均方根誤差。

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Method of DOA Estimation Based on Singular Value Decomposition and Coherent Accumulation

DENG Chao-sheng,ZHU Li-dong

(National Key Laboratory on Science and Technology of Communications,UESTC,Chengdu Sichuan 611731,China)

Abstract：This paper briefly introduces the disadvantages of conventional spectrum estimation algorithms when dealing with coherent sources and several common methods of single snapshot DOA estimation,and then analyzes the single snapshot DOA estimation method with the model of array signal.On this basis,a novel DOA estimation method based on the singular value decomposition (SVD) and coherent accumulation of snapshots is proposed.The theoretical analysis and simulation test results show that this method can make the coherent sources de-correlated with single snapshot data or data of coherent accumulation,reduce the root mean square error of DOA estimation,and improve the probability of successful separation.

Key words：patial spectrum estimation;coherent sources;single snapshot;singular value decomposition;coherent accumulation

中圖分類號(hào)：TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-3114(2016)02-27-4

作者簡介：鄧超升(1989—)，女，在讀研究生，通信與信息系統(tǒng)專業(yè)，主要研究方向：陣列信號(hào)處理。朱立東(1968—)，男，教授，主要研究方向：無線與衛(wèi)星通信系統(tǒng)的信號(hào)處理、信道建模與仿真、資源管理及移動(dòng)性管理等。

基金項(xiàng)目：國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)(2012AA01A502)；四川省科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014GZX0004)

收稿日期：2015-10-23

doi:10.3969/j.issn.1003-3114.2016.02.07

引用格式：鄧超升，朱立東.基于奇異值分解和相干積累的DOA估計(jì)方法[J].無線電通信技術(shù),2016,42(2):27-31,69.