基于五次多項式插值的大慣量弱剛性回轉系統(tǒng)的啟動速度控制

陳愛波，陳五一

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院,北京　100191)

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基于五次多項式插值的大慣量弱剛性回轉系統(tǒng)的啟動速度控制

陳愛波，陳五一

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院,北京100191)

摘要：用于支撐大型目標進行360°方位電磁測試的回轉支撐系統(tǒng)具有大慣量弱剛性的特點，為滿足系統(tǒng)在較短時間內由靜止加速到測試轉速0.1°/s所引起的待測目標的轉速超調量不大于0.001°/s，提出利用單段五次多項式對整個加速過程進行速度插值的控制算法，不僅保證速度和加速度全過程連續(xù)可導，而且加加速度始終連續(xù)變化。與S形加減速控制算法相比，該算法更加簡便且使系統(tǒng)具有更高的柔性，通過利用ADAMS對回轉支撐系統(tǒng)進行剛柔耦合動力學仿真驗證了該算法的優(yōu)越性。

關鍵詞：五次多項式; 大慣量弱剛性;速度控制

0引言

在微波暗室中對大型目標進行360°方位電磁性能測試需要專門設計的回轉支撐系統(tǒng)，但為減小支撐構件的外形尺寸對電磁測試的影響，數控回轉臺面與待測目標之間只能采用長徑比很大的柱形鋼作為聯(lián)接支撐桿，使得該支撐系統(tǒng)在轉動過程中具有大慣量弱剛性的特點。雖然預定的目標測試轉速只有0.1°/s，但要求回轉系統(tǒng)由靜止加速到測試轉速所引起的目標轉速超調量不大于0.001°/s，即要求系統(tǒng)啟動過程足夠平穩(wěn)無沖擊。

在數控領域，加減速控制方法一直是研究熱點。直線加減速和指數加減速控制方法[1-2]在傳統(tǒng)數控系統(tǒng)中應用較多，算法簡單，但在加減速過程中存在加速度突變，速度過度不平滑。以七段S曲線為典型的S形加減速控制方法[3-4]雖然能實現(xiàn)連續(xù)的加速度，有效減小柔性沖擊，但其加加速度存在階躍變化的不連續(xù)點，仍會導致系統(tǒng)加減速過程中存在沖擊和振動，雖然很多研究[5-7]對傳統(tǒng)S形加減速控制算法進行改進使其加加速度沒有突變，但該類算法本身分段復雜，或涉及參數較多，程序實現(xiàn)繁瑣。三次多項式加減速控制方法[8]采用單段三次多項式分別插值加減速段，算法簡單易實現(xiàn)，保證了加加速度在變速運動階段的連續(xù)，但在加減速段與勻速段的銜接點處仍是階躍變化的。三角函數法[9]的思想與三次多項式法相似，且可以實現(xiàn)加加速度的連續(xù)變化，但計算復雜。

為盡量減小回轉支撐系統(tǒng)啟動時的沖擊和振動，本文提出基于五次多項式插值的速度控制算法，保證系統(tǒng)啟動過程中加加速度始終連續(xù)變化，有效提高系統(tǒng)的柔性。

1五次多項式速度插值算法

1.1基于五次多項式插值的啟動速度控制算法

圖1　回轉系統(tǒng)啟動過程角速度變化曲線

系統(tǒng)正常啟動的過程一般是由靜止狀態(tài)逐漸加速到工作速度后保持勻速運動，而由靜止到工作速度的速度變化過程即是對啟動速度的控制過程。傳統(tǒng)啟動過程多采用勻加速運動，即速度為斜坡變化，而基于五次多項式插值的啟動速度控制算法即是以單段五次多項式代替斜坡輸入，以加速啟動過程的初始點和終止點的運動狀態(tài)作為插值的邊界條件，對整個加速過程進行速度插值，如圖1所示。

對于回轉系統(tǒng)，角速度曲線的五次多項式構造函數可寫為如下形式：

ω(t)=a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0,t∈[0,tm]

(1)

其中，tm為加速過程所需時間。對式(1)依次求導可分別得到角加速度ε、角加加速度j的曲線函數分別為：

(2)

為保證啟動過程中角速度、角加速度的平滑過渡及角加加速度的連續(xù)變化，插值函數需要滿足以下邊界條件：

(3)

式中，ωm為加速過程結束時的角速度，即回轉系統(tǒng)正常工作轉速。

將上述邊界條件代入式(1)、(2)中，可得到用于求解插值多項式系數的線性方程組如下：

(4)

易求得多項式系數為：

(5)

將式(5)代入式(1)、(2)便可得到回轉系統(tǒng)基于五次多項式插值的啟動速度控制算法的角速度、角加速度、角加加速度曲線函數分別為：

(6)

1.2五次多項式加減速控制模型

五次多項式插值應用于回轉系統(tǒng)啟動速度控制是為保證系統(tǒng)平穩(wěn)無沖擊啟動，基于相同原理，五次多項式速度插值算法同樣適用于一般數控系統(tǒng)實時加減速控制，以更加簡便的控制算法滿足柔性控制的需求。

基于五次多項式插值的加減速控制過程即是以兩個單段五次多項式分別作為加速段和減速段的速度插值函數，如此，整個加減速過程只分為三段：五次多項式加速段、勻速段、五次多項式減速段。對于加減速段，由于速度曲線函數可以沿時間軸平移，因此在求解加減速段曲線函數時，均可將該段起始時間看作t0=0，加速或減速過程所需時間為tm，則該段的速度曲線函數即可表示為如下一般形式：

V(t)=a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0,t∈[0,tm]

(7)

相應地，加速度A、加加速度J曲線函數分別為：

(8)

對式(7)積分可得位移曲線函數為：

S(t)=a5t6/6+a4t5/5+a3t4/4+a2t3/3+a1t2/2+a0t

(9)

五次多項式加減速控制模型中位移、速度、加速度及加加速度曲線如圖2所示。

圖2　五次多項式加減速控制模型

對于加速段或減速段的插值函數，為保證全過程加加速度連續(xù)變化，需滿足的邊界條件為：

(10)

式中，v0、vm分別為加速或減速過程的始、末速度。

將上述邊界條件代入式(7)、(8)中，可得到用于求解插值多項式系數的線性方程組如下：

(11)

易求得多項式系數為：

(12)

將以上求得的多項式系數代入式(7)、(8)便可得到加減速段以t0=0作為初始時刻的插值函數，對于全過程的絕對插值函數只需要對自變量t進行平移即可得到，不在此詳述。

2ADAMS動力學仿真驗證

隨著ADAMS版本的改進，在ADAMS中直接建立柔性體或將剛體創(chuàng)建為柔性體的方法變得更加簡便和完善，對于含柔性體的一般動力學分析基本無需借助于外部有限元軟件[10-12]。

如圖3所示，在ADAMS中首先建立約束完整的回轉支撐系統(tǒng)剛體模型，并將待測目標的質量、質心位置及轉動慣量按照實際目標的參數進行設置，同時保證兩個支撐桿的尺寸及材料屬性與實際設計相同，以保證仿真結果的有效性，然后直接利用ADAMS的剛體柔性化功能將兩支桿創(chuàng)建為柔性體，可采用默認的線性四面體單元等設置，最后，對數控轉臺施加轉動并設置為轉速控制。

圖3　基于ADAMS的回轉支撐系統(tǒng)剛柔耦合模型

分別采用分段S形曲線插值和五次多項式插值對數控轉臺加速啟動過程進行速度控制，均使系統(tǒng)在13s內由靜止加速到測試轉速0.1°/s，同時檢測待測目標的轉速變化。在ADAMS中，分段S形曲線插值算法的控制語句為：

IF(time-6.5:0.2d*time**2/169,0.05d,

IF(time-13:0.1d-0.2d*(time-13)**2/169,

0.1d,0.1d))

五次多項式插值算法的控制語句為:

IF(time-13:0.6d*time**5/13**5-

1.5d*time**4/13**4+

1d*time**3/13**3,0.1d,0.1d)

設置仿真時長50s、步長0.01s，采用動力學仿真模型，得到基于兩種控制算法的轉臺角速度、角加速度控制曲線及待測目標角速度變化曲線分別如圖4、圖6所示，其中，系統(tǒng)加速過程結束前后的一段時間內目標角速度變化曲線分別如圖5、圖7所示。

分析仿真結果可以看出，系統(tǒng)經過相同時間加速到相同的轉速，采用分段S形曲線速度控制算法引起的目標轉速超調量為0.0015°/s，而五次多項式速度控制算法引起的超調量為0.001°/s，驗證了基于五次多項式插值的速度控制算法在提高系統(tǒng)柔性減小加減速沖擊方面的優(yōu)越性。

圖4　分段S形曲線速度控制的系統(tǒng)啟動過程

圖5　分段S形曲線速度控制的目標角速度曲線特寫

圖6　五次多項式速度控制的系統(tǒng)啟動過程

圖7　五次多項式速度控制的目標角速度曲線特寫

3結束語

為滿足大慣量弱剛性回轉系統(tǒng)平穩(wěn)啟動的要求，本文提出基于五次多項式插值的啟動速度控制算法，并推導出基于該算法的數控系統(tǒng)加減速控制模型。通過ADAMS剛柔耦合動力學仿真，驗證了該算法對于提高系統(tǒng)柔性的有效性。與傳統(tǒng)S形曲線等速度控制算法相比，五次多項式速度控制算法不僅分段簡單易于程序實現(xiàn)，而且保證了系統(tǒng)在整個加減速過程中加加速度的連續(xù)變化，可有效減小系統(tǒng)加減速過程的沖擊和振動，特別適用于傳動鏈剛性較差而對末端執(zhí)行件速度平穩(wěn)性要求較高的系統(tǒng)。

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(編輯趙蓉)

Starting Velocity Control of a Rotary System with Large Inertia and Low Stiffness Based on Quintic Polynomial Interpolation

CHEN Ai-bo, CHEN Wu-yi

(School of Mechanical Engineering and Automation, Beihang University, Beijing 100191, China)

Abstract：A rotary support system to support large targets for electromagnetic test, has the characteristics of large inertia and low stiffness. To ensure the speed overshoot of the tested target not greater than 0.001°/s caused by the start acceleration from static state to rated speed of 0.1°/s, a speed control algorithm based on single quintic polynomial interpolation along the entire acceleration process is put forward, which not only keeps the speed and acceleration continuous as well as differentiable during the whole process but also guarantees the jerk always changes continuously. Compared with S-shaped acceleration and deceleration control algorithm, the proposed algorithm is much simpler and makes the system more flexible.Rigid-flexible coupling dynamics simulation on the rotary support system processed in ADAMS demonstrates the advantage of the proposed method.

Key words：quintic polynomial; large inertia & low stiffness; speed control

中圖分類號：TH166;TG506

文獻標識碼：A

作者簡介：陳愛波(1990—)，男，山東泰安人，北京航空航天大學碩士研究生，研究方向為機械結構優(yōu)化設計及CAD/CAE技術， (E-mail) sdchenaibo@163.com。

收稿日期：2015-03-15；修回日期：2015-04-15

文章編號：1001-2265(2016)02-0105-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.02.030