分形幾何在巖土力學中的應用

■李達銘

（廣東省地質局第八地質大隊廣東梅州514000）

分形幾何在巖土力學中的應用

■李達銘

（廣東省地質局第八地質大隊廣東梅州514000）

分形（fractus）是拉丁語詞匯，它的含義是不規則或支離破碎的意思。因為在自然界中，不規則的事物現象更為普遍，所以分形幾何擁有著較為廣泛的應用前途。本文基于分形幾何的基本概念和實踐方法，簡要探討了巖石破碎、斷裂的分形維問題。

分形幾何 分形維 巖土力學 破碎斷裂

著名數學家，“分形之父”Mandelbrot曾經說過“在實際世界中，云不是球、山不是錐、樹皮不平滑、海岸線也不是圓的，所以人類有必要對他們進行分形。”

1　分形幾何學

分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，分形幾何學的研究核心是分形維數，它可用于解釋諸多物理現象，處理某些極不規則的物體形狀問題。

Mandelbrot在測量研究中計算出英國的海岸線分形維D≈1.26，可見在分形幾何中的分形維數可以不是整數，這一點在經典幾何中非常不可思議，也說明了在數學定義上分形幾何的嚴格自相似性。而本文闡述的自然界中事物的分形幾何概念則僅在特定范圍內具有自相似性，例如云的分形，它只能在100～106km2的特定尺度內才具有自相似意義。

在實際問題解決過程中，已有實踐經驗與案例總結出了兩種分形基本方法。

1.1分形模型法

自然中任何事物的不規則復雜現象都基于力學、物理學等環境條件產生，所以分形幾何可由分形維這一幾何變量來進行刻畫，它能夠實際反映自然界事物形狀的物理實質變化規律。從實際角度看，可以根據自然界事物的分形特點來簡化某些數學分形模型，進而在數學結構上計算出其相對應的分形維數，并探究事物分形維與物理量之間的相關性，解釋它們的預測物理本質。分形模型法的基本核心就是對分形維的計算。

1.2實驗測定法

實驗測定法，對于某些自然界中事物在結構測試表現出非常規規則性，如果判定物體具有統計自相似性，則可以通過圖像處理法、覆蓋法或計算機模擬技術來測定自然界某些物體結構的分形維，再通過結果尋找其與物理本征量之間的關系。在尋找其相互關系的同時，也能揭示某些新的數學規律[1]。

2　基于分形幾何理論的巖石力學應用研究

在采石場或礦區存在許多已破碎巖石，它們都是未經人工加工的重量、形狀、大小各不相同的物體。這些巖石中存在許許多多不同的形面，它所代表的就是破碎過程中的分形。利用分形幾何理論，可計算破碎巖石表面的分形維數與體積分形維數D，亦可驗證它們的尺度不變性與自相似性特征。

2.1巖石碎塊的分形維數分析

基于分形幾何理論來分析破碎巖石的破碎塊度頻率分布時，應該首先明確它的指數形式為：N(m)/NT=exp[-(m/μ)ν]

公式中，N(m)表示質量超過m的巖石碎塊總數，NT則表示巖石碎塊的總數，表示巖石碎塊的平均質量，所以上述指數形式的另一種表達形式即為：N(m)=Cm-b

公式中，表示一般常數，而當（巖石碎塊半徑）時，則表明所表示的即為一個分形分布，而且此時還會形成這一關系。另一塊度頻率分布的具體函數表達形式，即質量分布函數表示為：

M（R）/MT=1-exp[-(R/σ)α]

在質量分布函數中M（R）表示半徑＜R的巖石碎塊累計總質量，而MT表示巖石碎塊總質量，表示巖石碎塊的平均尺寸，如果有，則可以總結出以下算式：M（R）/MT=（R/σ）α

根據上式可求得：dM∝Rα-1dR

可以證明巖石塊度的增加是與其增加的質量是具有關聯性的，并可得出：dN∝R-3dM

將上述算式代入到dN∝R-3dM可以得出：D=3-α

以上一系列運算表明巖石碎塊的冪律質量分布應該等同于分形分布關系，因此巖石碎塊的密度函數f(m)也應該相應滿足冪律分布規律，即：f(m)=Am-s

考慮到上述算式所表達的巖石碎塊質量應該在m與dm+m塊數質量之間，所以總結得出破碎巖石的分形維數D為：D=3（S-1）

綜上所述，巖石碎塊密度函數的冪律分布也表示了它的分形分布規律。

2.2巖石斷裂破損的分形分析

采用分形幾何理論可以研究巖石的斷裂破損狀況，當巖石發生斷裂后，它的斷裂表面一定是凹凸不平的，類似于一個分形表面。如果對其斷面進行分形分析，則可以得出分形維數D以及巖石斷裂能Gf之間的關系為：Gf=K1-K2D

關系式中的K1與K2作為材料常數出現，它也表明巖石斷裂表面的不規則性是由于斷裂時能量的消耗以及微結構復合效應，此時可以通過巖石的斷裂表面橫截面的分形特征來測算分形維。

就以裂紋分叉這一巖石斷裂的物理現象為例，到目前為止還沒有一個較為合理的解釋。而對于巖石這種非均質材料來說，目前國際上常用復變函數理論來研究它裂紋分叉的非規則性。當裂紋分叉使得巖石的斷裂韌性值增加時，其推導過程就會越來越復雜，本文給出美國物理學家Smith所采用的基于復變函數理論的斷裂韌性計算公式為：K/K0=√（2cosπβ/2）D-1

以上計算公式利用到了分形幾何理論進行推導，代入數據就可以推導出斷裂韌性的計算值，當分形維數D為：

D=lg3/lg（2cosπβ/2）

就可以利用分形理論對斷裂巖石的裂紋分叉進行非規則幾何效應分析，推理出微結構對于巖石斷裂韌性的具體影響。

3　總結

在巖石力學中，巖石斷層的分形維特征及規律對于演示微觀斷裂及損傷演化判定是相當重要的，它的自相似性與維數內涵都深層次揭示了自然界中較為復雜的自然現象。除幾何分形這種線性分形以外，像多重分形、模糊分形這些非線性分形也非常值得推敲研究，因此分形幾何理論在巖石力學中的應用研究道路依然任重道遠。

[1]林沛元,湯連生,桑海濤等.分形幾何在巖土力學研究中的過去、現在與未來 [J].西北地震學報,2012,33(z1):24-29.

[2]宋麗娟,許模,盧書強等.節理產狀極點分布的分形維改進方法 [J].巖石力學與工程學報,2013(z2):3303-3308.

[3]陳文麗.基于分形幾何的高層建筑設計研究 [J].城市建設理論研究（電子版）,2013 (20).

F407.1[文獻碼]B

1000-405X（2016）-7-469-1