基于概率模型的彈道導彈防御系統攔截方案優化與評估

高昂,胡延蘇(.西北工業大學電子信息學院,陜西西安7007; .長安大學電子與控制工程學院,陜西西安70064)

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基于概率模型的彈道導彈防御系統攔截方案優化與評估

高昂1,胡延蘇2
(1.西北工業大學電子信息學院,陜西西安710072; 2.長安大學電子與控制工程學院,陜西西安710064)

摘要:針對彈道導彈防御系統,研究概率意義下如何根據高層戰略防御指標設計和部署攔截方案。在Bernoulli實驗模型基礎上,將攔截彈數量和防御指標進行關聯,并進一步分析系統廣義跟蹤能力以及攔截彈單發毀傷概率對所需攔截彈數量的影響。在此基礎上采用齊射攔截方式和連續發射方式,討論防御指標、目標數量、目標威脅比率等因素對攔截彈消耗情況的影響。針對分層防御將各層攔截方案的設計建模為最優化問題,在保證防御指標的情況下,通過優化各層目標發射攔截彈的數量,使得平均每目標消耗的攔截彈數量最少,從而達到整體作戰效能最優。

關鍵詞:系統評估與可行性分析;彈道導彈防御系統; Bernoulli模型;攔截

0　引言

彈道導彈具有重大的戰略、戰術威懾作用,已經成為影響各國外交政治格局、左右戰場態勢、甚至決定戰爭勝負的重要因素。彈道導彈技術是國家國防實力的標志和國際地位的重要象征。目前,世界上至少有8個發達國家和15個發展中國家能夠制造彈道導彈。隨著軍事技術的發展,導彈的投放系統越發的靈活,射程和精度也在不斷地提高,隱身、變軌、干擾、多彈頭技術的應用,使得導彈的突防能力不斷增加;部分國家仍然在持續發展彈道導彈的大規模殺性武器運載能力。并且,隨著世界多極化、科技全球化深入發展,國家地區之間軍事合作日趨廣泛而頻繁,彈道導彈技術的擴散給防御系統帶來極大的困難和挑戰[1-2]。

目前,針對彈道導彈攔截方案優化研究大多是采用最優化方法對攔截彈進行軌道優化[3]或者采用效能評估理論對不同作戰條件下攔截效果進行分析,進而選擇最優攔截方案[4-6]。然而,針對彈道導彈防御逐漸顯現的層次化特點[7],如何在保證高層防御指標的情況下,優化各層攔截方案特別是攔截彈分配問題,目前國內外尚無統一理論;另一方面,對于“如何根據高層戰略防御指標的要求,設計反導系統的戰技指標并進而形成有效部署”這一問題尚無定論[1,8]。換言之,目前要解決的是“怎樣規劃和部署攔截方案,以實現特定的防御任務”。本文針對這兩個問題,在Bernoulli實驗模型基礎上,通過優化各層每目標發射攔截彈的數量,對高層防御指標進行分解,使得平均每目標消耗的攔截彈數量最少,從而達到整體作戰效能最優。通常,衡量反導系統的能力可以有多種描述,例如:針對某一規模的來襲目標數量,做到完全攔截;或者以某一指標概率殺傷目標;或是攔截系統能夠以指定概率保護敏感區域不被擊中。以國家導彈防御(NMD)系統為例,在設計之初的設計指標為:95%的置信概率下能夠攔截95%的來襲目標,即95%概率不超過1/20的目標逃逸。本文同樣采用這種方法描述攔截指標。

理論上,助推段攔截的效果要好于中段和再入段攔截,但事實上,助推段攔截對探測跟蹤以及攔截站的部署都提出了更高的要求。一方面,助推段時間一般較短,平均180～600 s,要求助推段防御系統具備快速反應時間、高可信度決策能力,并且助推段攔截針對的目標是導彈彈體而不是彈頭,繼續飛行的彈頭可能落在發射點和預定目標之間,仍然存在一定的威脅;另一方面,助推段攔截要求攔截站應該部署在發射點400～1000 km以內,對于縱深較大的國家,不具備在其周圍部署海基或陸基攔截站的條件,另一種可行的方法是通過部署空基和天基攔截器進行攔截,但目前天基和空基激光器尚處于實驗室研究階段。本文的討論重點為飛行段和再入段導彈彈體釋放彈頭以后的攔截過程。

1　Bernoulli實驗模型

通常彈道導彈會攜帶多枚真實的彈頭和誘餌彈以提高突防能力和被攔截的難度。

假設1 飛行段或再入段導彈彈體釋放彈頭和誘餌的時候,彈體所攜帶的所有威脅目標一次性釋放完畢,不存在多次釋放的情況。

對于誘餌的識別方法主要是與真實彈頭的雷達特征、紅外特征、運動特征等進行比對,但由于軍事和技術保密等條件的限制,無論是彈頭還是誘餌的信號特征都很難在交戰前預知,只有在彈頭釋放以后進行實時比對和判斷,特別是由于再入段時間太短(60～90 s),識別難度很大。誘餌彈和真實彈頭的識別率是反導系統重要的技術指標。用pww表示正確識別彈頭的概率,pwd表示彈頭被誤判為誘餌的概率;pdd表示誘餌被正確識別的概率,pdw表示誘餌被誤判為彈頭的概率,顯然有pww=1-pwd,pdd=1-pdw.假設在一次攻擊中實際存在W個彈頭和D個誘餌,則反導系統中識別出的彈頭數量可以表示為

目標成功突防反導系統不外乎兩種情況:1)彈頭被正確的識別,但攔截系統沒有成功攔截;2)彈頭被誤判為誘餌。所以,彈頭突防成功概率可表示為

式中:K*w為彈頭正確識別條件下成功攔截的條件概率。則有

式中:Kw為彈頭正確識別和成功攔截的聯合概率,即反導預警的目標毀傷概率。

整個彈道導彈攔截過程服從Bernoulli實驗模型[1,8-11],p(χ)表示為W個彈頭的攔截試驗中,有χ個彈頭未被成功攔截的概率,χ服從二項分布,則p(χ)可表示為

2　目標毀傷概率

假設對所有威脅目標的攔截概率獨立同分布, K = Kw.當χ=0時,即所有的目標都被成功攔截,由(3)式得

(4)式表示的攔截指標可以表示為p0(W),即系統能夠以p0(W)的概率保證W個來襲目標不會逃逸。如果攔截指標是以容許最大逃逸目標數量L的概率p(χ＜L)表示,則

假設2 目標毀傷概率是指目標被擊中的概率,目標要么被摧毀,要么逃逸,不存在被部分摧毀的情況,即認為被擊中的目標或碎片不再具有威脅[5]。

目標毀傷概率Kj表示在整個攔截系統內針對單一威脅目標的攔截能力, j為目標的類型,在本文討論中,假設所有類型的攔擊概率獨立同分布。通常,攔截系統對目標的殺傷至少包含3個階段。1)目標的探測和跟蹤;2)作戰管理與指揮控制系統對各類型目標探測傳感器(如高低軌的紅外衛星,X波段陸基雷達,合成孔徑雷達系統)數據的融合和處理,以及指揮控制指令的傳達;3)攔截彈的發射。本文將前兩個階段出現的各類錯誤和誤差等導致攔截失敗的因素統一在pj,t中包含,如目標跟蹤和識別錯誤,由于數據融合過程中出現誤差導致的攔截失敗,指揮控制信息傳遞過程中的丟失和延遲導致攔截失敗等,廣義上導彈攔截全過程的跟蹤概率可表示為

式中:pdt表示反導預警信息系統能夠提供滿足攔截彈制導要求的探測和跟蹤精度的概率;pc表示目標被識別為彈頭概率,對彈頭來說識別概率即為pww,對誘餌來說識別概率即為pdw;pr表示整個反導系統系統的可靠性。目標毀傷概率Kj可表示為

式中:pjk|t為目標類型j的導彈威脅在被正確跟蹤前提下被摧毀的條件概率,其又可以表示為

其中kji表示攔截彈對目標類型為j的目標第i次的單發毀傷概率(SSPK),且之前的i-1次均攔截失敗,直到第n枚攔截彈才攔截成功。理想情況下對于類型為j的導彈威脅的單發命中概率為kj且攔截彈的直接攔截概率相互獨立[7],則(7)式可以簡化為

由(4)式和(8)式,要滿足所有的導彈威脅都被攔截,則針對每個威脅目標所需發射攔截彈的數量n應為

不失一般性,在后文的討論中,略去表示目標類型的下角標j.(9)式中所需每目標攔截彈的數量n必須向上取整。顯然,為了保證(9)式有意義,pt≥p0(W)1/ W.如上所述,pt通常由反導系統各分系統固有的各項戰術技術指標綜合決定,因此在規劃系統綜合攔截指標時,必須考慮攔截系統的實際能力,在合理的范圍內要求p0(W)和W.

3　齊射方式和連續發射方式

3.1攔截彈齊射方式

假設威脅目標中識別出的彈頭數量為W*,若采用齊射方式進行攔截,為了滿足高層指標p0(W),發射的攔截彈數量IB應該為

圖1所示為齊射模型下,攔截彈數量隨廣義跟蹤能力pt和攔截彈單發命中概率的變化情況。攔截指標為:60%的概率能夠全部攔截包含10枚彈頭的彈道導彈威脅,即p0(W) = 0.6.按照(10)式,當pt＜0.95時,無論發射多少枚攔截彈,都不能滿足攔截指標。在Oχy平面上的依次為所需攔截彈數量50、100、200、250、300、450的等高線,由于每目標所需攔截彈的數量n向上取整,所以,IB應向上取整為n的整數倍。例如對于SSPK 0.4≤k≤0.5,pt≤0.97,IB應取整為100,即每目標所需的攔截彈數量為10.若攔截目標中包含誘餌,所需的攔截彈數量應乘以系數W*/ W.

圖1　攔截指標為p0(W) =0.6時齊射模式下攔截彈數量IBvs.pt、SSPKFig.1 Interceptor number IBvs.ptand SSPK for p0(W) = 0.6 at the mode of salvo fire

3.2攔截彈連續方式

相比于齊射攔截,連續發射方式下,后續發射的攔截彈針對的僅僅只是在上一次打擊中逃逸的目標,在同一攔截指標下,減少了所需的攔截彈數量,降低了攔截站對常備武器庫數量的要求,特別是對于移動平臺來說,攜帶較少的攔截彈,機動能力大大增強。但是,由于彈道導彈飛行速度快,在同一攔截站出現的攔截時間窗口短,通常不具備發射多輪攔截彈的機會。

這里以兩輪攔截為例討論,若s表示第一輪攔截窗口發射的攔截彈數量,則所需的攔截彈總數IL為

式中:n為按照(9)式計算的需發射的攔截彈數量。若定義反導系統識別目標威脅比率:

則(12)式可被重寫為

式中:n＇表示在兩層攔截方式下平均每個目標所需攔截彈數量。

圖2所示為相同攔截指標下,采用齊射方式攔截和連續發射方式攔截時所需攔截彈數量的對比。由圖2(a)可見,兩種攔截方式,所需攔截彈的數量都隨攔截指標W增加,連續發射方式下所需的攔截彈數量要明顯小于齊射模型,并且,隨著威脅目標中誘餌數量的增加,這種趨勢更加明顯;圖2(b)同時比較攔截彈數量隨SSPK和W的變化,隨著SSPK的降低,所需攔截彈數量急劇增長,但連續發射方式仍然優于齊射。

圖2　當p0(W) =0.6時齊射方式和連續發射方式下的攔截彈數量變化情況Fig.2 Interceptor number for p0(W) =0.6 at the modes of salvo fire and string firing

盡管如此,由于彈道導彈飛行速度快,同一攔截站出現多次攔截時間的可能很低,通常采用分層防御的方式由多個攔截站依次攔截。

4　分層防御

假設3 各層防御系統依次對目標進行攔截,本層逃逸的目標可嘗試在下層再次攔截,因此,各層防御系統攔截彈的使用都是采用齊射方式而不使用連續發射方式。

若每層攔截彈的SSPK獨立同分布,各層針對每目標發射的攔擊彈數量表示為nm,m = 1,2,…, M.為了簡化分層攔截時攔截彈的部署優化問題,假設各層的廣義跟蹤概率都為1,則第m層攔截系統目標攔截概率表示為

若定義wm表示第m層出現的目標的概率,則

為了保證各層發射的攔截彈整體效能最優,定義平均每目標消耗攔截彈數量EC和平均每逃逸目標消耗攔截彈數量EE:

表1　EE=10和不同攔截方案下的平均每目標攔截彈消耗數量變化情況Tab.1 The average number of consumed interceptors for EE=10 for different intercept schemes

(16)式中:平均每目標消耗攔截彈數量度量的是攔截彈的使用效率,EC越小,概率意義下攔截彈的平均使用效率越高;平均每逃逸目標消耗攔截數量用來度量單個目標逃逸的可能,EE越大,概率意義下目標逃逸的可能越小。

以3層攔截為例M≤3,攔截指標為W = 64, p0(64) =90%;假設目標中不存在誘餌彈,且各層的廣義跟蹤概率都為1,即pt=1;各層攔截彈SSPK獨立同分布,即k =1/2.則按照(9)式,理論上每目標發射的攔擊但數量應為n = 10,所以有EE=10 = n1+ n2+ n3,在此條件下,求解n1、n2和n3的值,使得EC最小。

表1列舉了2層防御和3層防御情況下,不同攔截彈分配方案對平均每目標攔截彈消耗的變化情況,其中w1= 1,wm按照(15)式依次計算,定義cm為每層平均消耗的攔截彈數量,則有cm= wmnm, EC=Σcm.顯然最優的攔截方案有3種組合,即n1∶n2∶n3分別為1∶2∶7、2∶2∶6和1∶3∶6.圖3為3層防御情況下,EC隨攔截方案的變化情況,其中χ軸和y軸分別表示第1層和第2層每目標發射攔截彈的數量n1和n2,n3=10-n1- n2,與表1結論相同, 當n1∶n2取1∶2、2∶2和1∶3時,EC最小,概率意義下攔截彈使用效率最高。

圖3　p0(64) =0.9時EC隨攔截方案變化的情況Fig.3 The values of ECfor p0(64) =0.9 for different intercept schemes

以1∶2∶7的攔截方案為例,針對來襲的64個彈頭,在第1層攔截的時候每目標發射1枚攔截彈,在第2層攔截的時候,對剩余的目標每目標發射2枚攔截彈,在第3層攔截的時候,再對每目標發射7枚攔截彈。在這種攔截方案下,目標的逃逸概率為(1-1 /2)10≈1-p0(64)1/64,與攔截指標p0(64)要求一致,并且保證概率意義下,攔截彈的數量最少,平均攔截每個目標消耗的攔截彈數量為2.875枚。

5　結論

本文從攔截彈的分配和部署的角度對反導系統的效能進行分析,在概率模型的基礎上將攔截彈數量和防御指標進行關聯,針對攔截彈的齊射發射方式和連續發射方式討論了防御指標、系統跟蹤概率、攔截彈目標毀傷概率等對攔截數量的影響。最后,定義了每目標攔截彈消耗數量作為評價指標,在保證攔截指標的前提下,研究了分層防御攔截方案的最優化問題。

事實上,彈道導彈的防御與諸多因素密切相關,本文對誘餌彈的釋放方式和攔截彈殺傷效果做了理想化假設,并將目標的探測跟蹤制導等一系列過程對最終攔截效果的影響用廣義跟蹤能力進行簡化。而在實際中,這一概率與反導系統的指揮控制系統、各型探測裝備、火控系統以及人員操作水平等復雜因素相關。盡管如此,本文所采用的概率模型和攔截彈優化的思路仍然可以為攔截方案的設計和評估提供理論依據,確保攔截作戰整體作戰效能最優。下一步的工作將進一步考慮攔截過程中存在的多攔截站相互交接和協同等問題,建立更精細的模型,討論這些因素對攔截效能的影響。

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The Optimization and Evaluation of Ballistic Missile Defense System Interception Scheme Based on Probability Model

GAO Ang1, HU Yan-su2
(1.School of Electronics and Information, Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,Shaanxi, China 2.School of Electronic and Control Engineering, Chang’an University,Xi’an 710064,Shaanxi, China)

Abstract:How to design and deploy the interception schemes to meet the specific high-level defense objective is discussed.A correlation between defense objective and the number of interceptors is established based on Bernoulli trial model, and the effects of system generalized tracking ability and single-shot kill probability on the number of interceptors are analyzed as well.the factors, such as high-level defense objective, target number and single-shot kill probability, that affect consumption of interceptors at the modes of salvo fire and string firing are discussed.At the premise of defense objective, the interceptor allocation in a layered defense is modeled as an optimization problem.The average number of consumed interceptors can be minimized by optimizing the quantity of interceptors against the targets in each defense layer.

Key words:system assessment and feasibility analysis; ballistic missile defense system; Bernoulli model;interception

作者簡介:高昂(1984—),男,講師,博士。E-mail: gaoang@ nwpu.edu.cn;胡延蘇(1985—),女,講師,博士。E-mail: huyansu@163.com

基金項目:國家自然科學基金項目(61203233)

收稿日期:2015-08-05

DOI:10.3969/ j.issn.1000-1093.2016.02.026

中圖分類號:V19

文獻標志碼:A

文章編號:1000-1093(2016)02-0379-06