基于卡爾曼濾波的陀螺儀陣列技術研究

劉明雍,朱立,董海霞(西北工業大學航海學院,陜西西安710072)

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基于卡爾曼濾波的陀螺儀陣列技術研究

劉明雍,朱立,董海霞
(西北工業大學航海學院,陜西西安710072)

摘要:多個相同型號的陀螺儀測量軸相互平行,測量同一個角速度信號所組成的陣列叫做陀螺陣列。通過研究陀螺陣列提高慣性測量精度的信息處理算法,建立單個微機電(MEMS)陀螺儀的兩種不同漂移模型,利用Allan方差對漂移系數進行辨識,將辨識出的隨機漂移系數應用于卡爾曼濾波。通過卡爾曼濾波將陀螺陣列的信息融合為一個較高精度的輸出,證明了卡爾曼濾波的穩定性。通過實驗對比了不同建模方法的優劣,并且驗證了基于卡爾曼濾波的信息融合方法可以有效提高MEMS陀螺儀的精度。

關鍵詞:控制科學與技術;陀螺儀陣列;信息融合;卡爾曼濾波

0　引言

微機電(MEMS)陀螺儀相比于機械陀螺、光纖陀螺及激光陀螺等傳統陀螺具有體積小、質量輕、價格低、壽命長和易于批量生產等優點。然而,目前MEMS陀螺的精度還無法與傳統高精度陀螺相媲美,使得MEMS陀螺主要應用于汽車、玩具等低端領域,在航空、航天等高端領域尚未被大規模應用。通過利用MEMS陀螺儀的優點組成陀螺陣列,在一塊芯片上集成成百上千個MEMS陀螺儀測量同一個角速度信號,并將冗余量測信息融合為高精度的輸出,為提高MEMS陀螺儀的精度提供了另外一種方向。

1992年, Allan等提出靈巧時鐘的概念[1],通過對3個一般精度的運動手表(月誤差40 s)進行隨機漂移建模并進行最優估計得到了月誤差僅為1 s的較高精度時鐘。這種通過對傳感器的漂移進行特征描述,集成多個冗余傳感器的測量信息并進行數據融合的方法,對于MEMS陀螺儀的精度提高具有特別的借鑒意義。2001年El-Sheimy等首次將Allan方差應用于MEMS慣性器件的建模分析[2]。2003年, Lam對MEMS陀螺儀隨機漂移模型的建立進行了研究[3]。2005年,Bayard等首次將Allan的思想應用于多陀螺儀系統并發表了專利[4],從理論上驗證了陀螺陣列技術的可行性。國內最近幾年在陀螺陣列技術方面也做了大量的工作,金光明等在MEMS陀螺儀建模方面做了研究[5]。常洪龍教授的團隊設計了MEMS陀螺陣列[6-10]。

本文首先建立了MEMS陀螺儀的隨機漂移模型和1階馬爾可夫模型,通過Allan方差分別對兩種模型的漂移系數進行辨識;然后基于不同的模型設計卡爾曼濾波器將多陀螺儀的信息融合為一個高精度陀螺陣列的輸出并證明了陀螺陣列系統的濾波穩定性;最后搭建了陀螺陣列實驗平臺,選用商業級陀螺儀,從實驗上驗證了該理論的可行性并對兩種建模方法的優劣進行了對比。

1　MEMS陀螺儀的建模及分析

陀螺儀的漂移模型必須正確的體現輸入角速度和陀螺儀輸出之間的關系。陀螺儀的漂移主要分為隨機漂移和系統漂移,系統漂移(如溫漂)可以通過一定的方法進行補償。理論上,將所有漂移都進行建模納入狀態方程,卡爾曼濾波效果最好。但是建模中考慮的因素越多狀態方程的階數就越高,濾波計算量將急劇增大。并且狀態方程中不準確的模型系數越多就越容易導致數值計算不穩定,估計效果反而更差[11-12]。

1.1隨機漂移模型的建立

結合MEMS陀螺儀自身的精度水平以及應用系統的需求,本文建立陀螺儀隨機漂移模型時只考慮角度隨機游走、零偏不穩定性、角速度隨機游走[4],并采用Allan方差對漂移系數進行辨識。MEMS陀螺儀隨機漂移模型為

式中:i =1,2,…,N表示陀螺陣列中的第i個陀螺儀, N是陀螺陣列中陀螺儀的總個數; bi表示第i個陀螺儀的零偏不穩定性,由wbi驅動;wbi表示第i個陀螺儀角速度隨機游走白噪聲;yi表示第i個陀螺儀實際輸出;ω1表示真實角速率,對陀螺儀進行靜態測試時ω1真實值應該等于0,但實際上由于外界環境等因素的干擾,ω1表現為隨機游走,由白噪聲w1ω驅動;wai表示第i個陀螺儀角度隨機游走白噪聲。

1.21階馬爾可夫模型的建立

根據隨機過程理論以及陀螺儀的信號特性可將陀螺儀的真實角速率值ω建模為1階馬爾可夫過程。MEMS陀螺儀1階馬爾可夫模型[13]為

式中:τω為過程時間常數,由陀螺儀的輸出帶寬所決定;w2ω為過程噪聲,表現為零均值的高斯白噪聲。

2　卡爾曼濾波器的設計

本文采用卡爾曼濾波作為多陀螺儀信息融合的方法。采用多個相同型號的MEMS陀螺儀組成陀螺陣列測量同一個角速率值,得到冗余角速率信息,然后再應用卡爾曼濾波進行數據融合[14]。其流程如圖1所示。

圖1　陀螺陣列技術設計流程圖Fig.1 Flow chart of gyroscope array design

2.1隨機漂移模型的卡爾曼濾波器設計

將(1)式寫成矩陣形式得

式中:

設計卡爾曼濾波器必須建立濾波系統的狀態方程和量測方程。將零偏不穩定性b和真實角速率ω1列為狀態,可得系統狀態矢量X1= [bTω1]T,由此建立基于隨機漂移模型的陀螺陣列狀態方程和量測方程為

式中: w1( t) = [ wTbw1ω]T是系統噪聲向量, E[w1(t)]=0, E[w1(t)wT1(t)]= Qδ(t-τ),Q =,Qb是角速度隨機游走wb的協方差矩陣,Qω為真實速率驅動白噪聲w1ω的方差;v(t) = wa是量測噪聲向量,E[v(t)]= 0,E[v(t)vT(t)]= Rδ(t-τ),R是角度隨機游走wa的協方差矩陣;系統矩陣F1= 0(N +1)×(N +1);噪聲矩陣G1= I(N +1)×(N +1);量測矩陣H1= [IN×N?1N×1];Z1(t) = Y1是陀螺陣列的量測向量。協方差矩陣Q和R不隨時間改變,均為正定矩陣。

2.21階馬爾可夫模型的卡爾曼濾波器設計

將(2)式寫成矩陣形式得

式中:Y2=

將真實角速率ω1列為狀態,可得系統狀態矢量X2= [ω1].由此建立基于馬爾可夫模型的陀螺陣列狀態方程和量測方程為

式中:w2(t) = [w2ω]為系統噪聲向量,E[w2(t)]= 0,E[w2(t)wT2(t)]= qδ(t-τ),q是噪聲向量的協方差,由陀螺儀的動態特性決定,在卡爾曼濾波中該值取得越接近真實值則卡爾曼濾波的效果就越好;系統矩陣F2=-1/τω;噪聲矩陣G2= 1;量測矩陣H2= [1 … 1]T1×N;Z2(t) = Y2為陀螺陣列的量測向量。協方差矩陣q不隨時間改變,為正定矩陣。

2.3陀螺陣列系統濾波穩定性的證明

如果隨著濾波時間的增長,濾波估計值逐漸不受其初值的影響,則濾波器是濾波穩定的。假定系統參數隨時間的改變忽略不計,因此系統矩陣F、噪聲矩陣G以及量測矩陣H都為常數矩陣。系統的轉移矩陣為

利用(4)式可得系統的轉移矩陣為Φ(t,τ) = Φ(τ,t) = I(N +1)×(N +1).先求系統的能控矩陣W(t0,t),t＞t0.

Q是正定矩陣,即(t-t0)Q也是正定矩陣,由此可證得系統一致完全能控。下面再求系統的能觀測矩陣M(t0,t),t＞t0.

由此可證得系統一致完全能觀測?；?階馬爾可夫模型的卡爾曼濾波器亦可用同樣的方法證明一致完全能控和一致完全能觀測性,根據卡爾曼濾波的穩定性定理,由系統的一致完全能控和一致完全能觀測可知濾波時間充分長后,無論如何選取濾波初值,濾波系統都將穩定。

3　實驗驗證

采用6片日本村田公司的ENC-03MB單軸硅微商用級陀螺儀作為本次實驗的對象。由于陀螺陣列中各陀螺儀敏感的是同一軸向的角速度,因此在印制電路板設計時確保各陀螺儀的敏感軸相互平行。數據采集系統是美國飛思卡爾公司的32位單片機MC9S12XS128,該單片機內部集成有12位精度的高速率A/ D轉換器以及定時器中斷,輸出數據為數字化的角速率值。對陀螺陣列進行編號為陀螺儀1～陀螺儀6,實驗系統如圖2所示。

進行數據采樣時注意以下幾點:先將陀螺儀在室溫下預熱20 min左右,直到陀螺儀輸出值穩定之后再進行采樣;采樣頻率必須滿足奈奎斯特采樣定理,數據手冊上說明ENC-03的帶寬為50 Hz,所以采樣頻率應該在100 Hz以上,本次實驗的采樣頻率設定為200 Hz,滿足采樣定理;采樣時間必須足夠長,部分隨機噪聲例如角速度隨機游走只有經過較長時間的采樣才能表現出來,因此設定本次實驗的采樣時間為10 h.由于本次實驗選用的是商業級陀螺儀且地球自轉是一個固定值并不是隨機漂移,因此陀螺儀的安裝誤差不足以對實驗結果產生影響。

圖2　陀螺儀數據采集系統Fig.2 Data acquisition system of gyroscope

3.1陀螺儀溫度補償實驗

MEMS陀螺儀的主要材料為硅,這是一種熱敏材料,受溫度影響較大。另外,信號采集電路的元器件也會產生較大的干擾熱噪聲,所以MEMS陀螺儀一般會有較大溫漂。而本次實驗對象是商業級陀螺儀,自身精度不高,陀螺儀輸出受溫度影響較大。而溫漂作為系統漂移,可以通過溫度補償進行校正,補償后的數據再進行陀螺儀漂移建模和Allan方差分析[15]。

進行陀螺儀溫度補償需要先確定陀螺儀的溫度特性曲線。如圖3所示是陀螺儀溫控實驗系統。

圖3　陀螺儀溫控實驗系統Fig.3 Temperature test system of gyroscope

連接好電源以及數據采集卡,每隔30 min改變溫控箱的溫度值,分別在45℃、40℃、35℃、30℃、25℃、20℃、15℃、10℃、5℃下測量各個陀螺儀的輸出。陀螺儀1的溫度階梯如圖4所示。

圖4　陀螺儀1溫度階梯圖Fig.4 Temperature chart of Gyroscope 1

由圖4可見陀螺儀輸出受溫度影響明顯,分別計算每個階梯上的平均值作為陀螺儀在該溫度下的穩定值。建立陀螺儀的溫度模型為

式中:T為溫度值;Bias為陀螺儀在該溫度下的穩定值;an～a0為擬合系數。取n值為3,用5℃～45℃下1號陀螺儀的穩定值進行最小二乘擬合。擬合的各項系數以及誤差如表1所示。

表1　擬合系數及誤差Tab.1 Fitting coefficients and errors

圖5所示是溫度擬合曲線圖,從圖5可以清楚地看出陀螺儀1的輸出隨著溫度的升高而升高。通過實驗可以發現有些陀螺儀的輸出隨著溫度的升高而升高,有些陀螺儀的輸出隨著溫度的升高而降低,由此可見輸出和溫度的關系因陀螺儀的特性而異。因此需要單獨測試每一個MEMS陀螺儀的溫度特性來進行溫度補償。

圖5　陀螺儀1輸出溫度擬合曲線Fig.5 Fitting curve of temperature of Gyroscope 1

以200 Hz的采樣頻率連續采集數據10 h,然后對陀螺儀進行溫度補償,得到在恒溫25℃下的輸出,對數據進行1 s平均化。6個陀螺儀經過溫度補償后的原始輸出如圖6所示。

從圖6上可以看出各個陀螺儀性能有差異。經過溫度補償之后陀螺儀2和陀螺儀3仍然有明顯的系統漂移。查閱運算放大器的技術文檔,發現運算放大器電路存在零點漂移,漂移值和圖示系統漂移在一個數量級上,因此陀螺儀2和陀螺儀3的系統漂移很可能是由于運算放大器的零點漂移所造成的。由于陀螺儀的溫漂遠大于運算放大器的零點漂移。因此經過溫度補償后陀螺儀系統漂移已經有了很大改善。

圖6　6個陀螺儀原始輸出值Fig.6 Original outputs of six gyroscopes

3.2陀螺儀各項隨機漂移系數的辨識

使用Allan方差對隨機漂移系數進行辨識時,并非所有漂移類型都會同時存在,某項漂移是否存在必須根據Allan方差雙對數曲線實際分析得出。6個陀螺儀的Allan方差雙對數曲線如圖7所示。

圖7　6個陀螺儀Allan方差雙對數曲線圖Fig.7 Allan variance double logarithmic curves of six gyroscopes

從圖7曲線可以看出,6個陀螺儀Allan方差雙對數曲線在族時間小于80 s時斜率為-0.5;族時間大于80 s,小于200 s時斜率幾乎為0;族時間大于200 s時斜率為0.5.可知6個陀螺儀均包含角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走3項漂移。為了得到各項隨機漂移的系數,需利用雙對數曲線進行最小二乘擬合,擬合時必須分段擬合,否則會出現擬合系數值為虛數的情況。6個陀螺儀各隨機漂移擬合系數值如表2所示。

表2　隨機漂移擬合系數值Tab.2 Random drift fitting coefficients

綜上所述,如(1)式所示的隨機漂移模型能有效地表示MEMS陀螺儀的漂移特性,Allan方差分析法能有效地辨識出各項隨機漂移系數,為下面進行濾波器設計打下基礎。

3.3基于隨機漂移模型的卡爾曼濾波令N =6即得到本次實驗基于隨機漂移模型的卡爾曼濾波的狀態方程和量測方程。Allan方差辨識結果如表2,可得到系統方差陣與量測方差陣分別為Q =10-5diag(0.000 2,0.001 1,0.001 7,0.002 4, 0.001 6,0.000 4,0.000 01),R =10-4diag(0.068 3, 0.125 6,0.113 6,0.281 0,0.234 9,0.131 6).設定系統的濾波周期T =1 s、濾波初值X0= [0 0 0 0 0 0 0]T、估計均方誤差陣初值P0= diag(100, 100,100,100,100,100,100).

真實角速率的估計值ω1、估計均方誤差P隨時間的變化、濾波增益K隨時間的變化分別如圖8、圖9和圖10所示。

圖8　真實角速率估計值Fig.8 The estimated values of real angular rate

由圖9和圖10可以看出,隨著時間的增長,估計均方誤差P和濾波增益K都逐漸趨于穩定。對陀螺陣列真實角速率估計值進行Allan方差分析。濾波前后的Allan方差雙對數曲線對比如圖11所示。

圖9　估計均方誤差隨時間變化圖Fig.9 Estimated mean square error versus time

圖10　濾波增益隨時間變化圖Fig.10 Filter gain versus time

圖11　濾波前后Allan方差雙對數曲線對比圖Fig.11 Allan variance double logarithmic curves before and after filtering

圖11中紫色線表示的是Kalman濾波之后真實角速率Allan方差雙對數曲線。用Allan方差對陀螺陣列的真實角速率的Kalman濾波估計值進行漂移系數辨識,得到角度隨機游走為5.53°/、零偏不穩定性為78.21°/ h、角速率隨機游走為461.22°/.與表2相應漂移誤差值相比較,6個陀螺儀漂移降低倍數如表3所示。

陀螺陣列輸出具有更高的精度,以陀螺儀3為例,其漂移誤差分別為角度隨機游走11.58°/、零偏不穩定性215.36°/ h、角速度隨機游走1 601°/(見表2)。漂移誤差降低倍數分別為2.09、2.75、 3.47(見表3)。說明基于卡爾曼濾波的陀螺陣列技術可以有效提高MEMS陀螺儀的精度。

表3　6個陀螺儀隨機漂移降低倍數Tab.3 The multiple of reduction in random drifts

3.4不同建模方法卡爾曼濾波結果的比較

將6個陀螺儀的輸出進行簡單的平均也可以利用各個陀螺儀的差異性抵消部分漂移,因此簡單平均法也可以降低陀螺儀的漂移。參照3.3節中的方法也可以得到基于1階馬爾可夫模型的濾波輸出。本節將探討簡單平均、基于隨機漂移模型的卡爾曼濾波和基于1階馬爾可夫模型的卡爾曼濾波之間的性能優劣。3種方法真實角速率估計如圖12所示。

圖12　真實角速率估計值Fig.12 The estimated values of real angular rate

對以上3種真實角速率估計值進行Allan方差分析。Allan方差雙對數曲線如圖13所示。

圖13　3種方法Allan方差雙對數曲線對比圖Fig.13 Allan variance double logarithmic curves of three different methods

角度隨機游走、零偏不穩定性、角速度隨機游走這3種隨機漂移中零偏不穩定性對陀螺儀精度的影響最大,因此以零偏不穩定性為主要指標來評價3種方法的優劣。用最小二乘法對Allan方差雙對數曲線進行漂移系數擬合,3種方法的零偏不穩定性擬合系數如表4所示。

表4　零偏不穩定性擬合系數表Tab.4 Fitting coefficient of bias instability

由表4可見,簡單平均和基于隨機游走模型、1階馬爾可夫模型的陀螺陣列真實角速率估計值的零偏不穩定性系數值分別為113.76°/ h、78.21°/ h、94.43°/ h,零偏不穩定性漂移平均降低倍數分別為1.9倍、2.8倍、2.3倍。由實驗結果看出,基于隨機游走建模的陀螺陣列經過卡爾曼濾波之后的效果更好。這是因為簡單平均并沒有對MEMS陀螺儀進行建模,只是利用陀螺儀的差異性抵消掉部分漂移,這種方法不能全面地提高陀螺儀的精度且隨機性較大。而隨機游走模型相較于1階馬爾可夫模型更好地描述了MEMS陀螺儀的漂移特性,因此基于隨機游走建模的陀螺陣列可以更好地提高MEMS陀螺儀的精度。

4　結論

本文提出了基于卡爾曼濾波的陀螺陣列信息融合方法。首先對單個陀螺儀進行溫度補償盡量消除陀螺儀的系統漂移;然后利用兩種不同的方法對陀螺儀進行隨機漂移建模,利用Allan方差對陀螺儀的隨機漂移系數進行辨識;最后采用卡爾曼濾波將多陀螺儀的信息進行融合,得到高精度的陀螺陣列輸出。通過實驗驗證了陀螺陣列的角度隨機游走、零偏不穩定性以及角速度隨機游走等隨機漂移誤差系數值均有較大的下降,說明了卡爾曼濾波信息融合方法可以有效提高商業級MEMS陀螺儀的精度。最后探討了3種不同的方法對提高MEMS陀螺儀性能的優劣,認為基于隨機漂移模型的卡爾曼濾波可以最大程度地提高MEMS陀螺儀的精度。

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Research on Gyroscope Array Based on Kalman Filter

LIU Ming-yong, ZHU Li, DONG Hai-xia
(School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, Shaanxi, China)

Abstract:The same type of measurement axes of gyroscope are parallel to each other.The information processing algorithms to improve the accuracy of inertial measurement via gyroscope array are researched.Two different drift models of single MEMS gyroscope are established, and the random drift coefficients are identified via Allan variance.Then the identified random drift coefficients are used for Kalman filter, and the muti-gyroscopes information is fused to acquire a highly precise output of gyroscope array through Kalman filter.The result proves the stability of Kalman filter.Finally, the advantages and disadvantages of different modeling methods are compared by experiment.The experimental results show that the accuracy of MEMS gyroscope can be improved effectively by the information fusion method based on Kalman filter.

Key words:control science and technology; gyroscope array; information fusion;Kalman filter

作者簡介:劉明雍(1971—),男,教授,博士生導師。E-mail: liumingyong@ nwpu.edu.cn

基金項目:國家自然科學基金項目(51179156、51379136)

收稿日期:2015-06-23

DOI:10.3969/ j.issn.1000-1093.2016.02.012

中圖分類號:TP14

文獻標志碼:A

文章編號:1000-1093(2016)02-0272-07