疲勞裂紋形核壽命的細(xì)觀概率模型

周金宇,謝里陽,朱福先,韓文欽(.江蘇理工學(xué)院常州市裝備再制造工程高技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇常州300; .東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院,遼寧沈陽0004)

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疲勞裂紋形核壽命的細(xì)觀概率模型

周金宇1,謝里陽2,朱福先1,韓文欽1
(1.江蘇理工學(xué)院常州市裝備再制造工程高技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇常州213001; 2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院,遼寧沈陽110004)

摘要:裂紋形核是結(jié)構(gòu)疲勞損傷演化的初級階段。基于Tanaka-Mura微裂紋形核機(jī)制,提出恒幅交變載荷下結(jié)構(gòu)表面疲勞裂紋形核壽命的細(xì)觀概率模型。設(shè)細(xì)觀尺度的晶粒尺寸、晶粒取向歐拉角為隨機(jī)變量,借助Schmidt因子建立細(xì)觀主應(yīng)力與分解切應(yīng)力之間的關(guān)系。考慮到晶粒取向隨機(jī)性和緊鄰晶粒影響因素,導(dǎo)出分解切應(yīng)力變程的概率分布。進(jìn)一步運(yùn)用矩法和次序統(tǒng)計(jì)量模型獲得任一晶粒中疲勞裂紋形核壽命和結(jié)構(gòu)熱區(qū)晶粒群多裂紋分散形核壽命的概率分布。數(shù)值算例驗(yàn)證了所提模型與方法的可行性和合理性。新模型在裂紋形核壽命研究中引入了細(xì)觀物理參數(shù)和幾何參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)信息,可為多晶體金屬結(jié)構(gòu)件的疲勞可靠性評估和抗疲勞概率設(shè)計(jì)開辟精細(xì)化分析的新途徑。

關(guān)鍵詞:固體力學(xué);疲勞;裂紋形核壽命;細(xì)觀尺度;概率分析

0　引言

疲勞失效是工程結(jié)構(gòu)中普遍存在的物理現(xiàn)象。自W?hler將疲勞納入科學(xué)研究的范疇以來,工程界已陸續(xù)提出許多概率分析模型與方法[1-2]。但從當(dāng)前的工程應(yīng)用來看,多數(shù)研究主要關(guān)注唯象易測的宏觀尺度變量,而對晶體學(xué)細(xì)觀尺度乃至更小尺度的研究僅以定性分析或確定性定量分析為主[3]。通常將隱性難測的細(xì)觀尺度變量聚合成缺乏物理內(nèi)涵的材料常數(shù),先從宏觀唯象學(xué)角度建立載荷、強(qiáng)度、壽命之間的確定性關(guān)系,再對變量進(jìn)行隨機(jī)化處理獲得用于疲勞可靠性分析的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｔ擃惸Ｐ痛嬖趦牲c(diǎn)不足:一是較大程度依賴歷史經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),難以形成支持正向設(shè)計(jì)的方法體系;二是大量過程性微尺度信息經(jīng)隨機(jī)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)平均而遺失,未在本質(zhì)上反映疲勞失效的物理機(jī)制,很難獲得精確的分析結(jié)果。

事實(shí)上,疲勞失效通常是由大量微損傷的累積并通過從微觀到宏觀的跨尺度串行發(fā)展而誘發(fā)災(zāi)變的過程[4-6],在宏觀、細(xì)觀、微觀等不同尺度上,損傷演化方程中隨機(jī)變量群之間的物理機(jī)制和數(shù)學(xué)關(guān)系不同。疲勞損傷演化(尤其是低應(yīng)力高周疲勞)在微細(xì)觀尺度的駐留時間通常占據(jù)全壽命期的較大比例,在單一的宏觀尺度上分析結(jié)構(gòu)疲勞裂紋的形核壽命、微裂紋擴(kuò)展壽命將導(dǎo)致較大誤差。

總之,關(guān)于結(jié)構(gòu)疲勞壽命分析與風(fēng)險預(yù)測,目前尚無獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)之外的統(tǒng)計(jì)分析方法,需在細(xì)觀尺度上建立體現(xiàn)疲勞失效過程機(jī)理的概率模型。本文將細(xì)觀尺度上的各向異性系數(shù)、晶粒尺寸、晶粒取向引入結(jié)構(gòu)疲勞壽命分析,基于Tanaka-Mura微裂紋形核機(jī)制[7],運(yùn)用多晶體連續(xù)分布位錯理論和金相體視學(xué)原理[8],建立單軸載荷下無織構(gòu)多晶體金屬表面疲勞裂紋形核壽命的細(xì)觀概率模型,為結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析提供精細(xì)化方法。

1　Tanaka-Mura模型

工程實(shí)踐與理論研究表明,由于結(jié)構(gòu)表面質(zhì)量、應(yīng)力狀態(tài)、周邊約束等原因,大多數(shù)疲勞裂紋萌生于結(jié)構(gòu)表面。表面裂紋形核取決于外加載荷和材料內(nèi)在的微結(jié)構(gòu),可能出現(xiàn)在晶粒內(nèi)部或晶界上,也可能出現(xiàn)在雜質(zhì)、孔洞等缺陷處。對于常見的中、低強(qiáng)度合金材料,裂紋通常形核于持久滑移帶。

Tanaka等[7]基于連續(xù)分布位錯力學(xué)提出表面疲勞微裂紋沿晶內(nèi)滑移帶形核的理論模型。該模型基于各向同性位錯力學(xué),在“循環(huán)載荷下位錯滑移不可逆”的合理假設(shè)下,定量分析循環(huán)載荷下晶界處位錯積塞產(chǎn)生的畸變能,得出畸變能達(dá)到臨界值萌生表面疲勞微裂紋的載荷循環(huán)數(shù):

式中:N為疲勞裂紋形核并達(dá)到晶粒尺寸所歷經(jīng)的載荷循環(huán)數(shù)(形核壽命);G為材料剪切模量;W為比斷裂能;υ為泊松比;D為晶粒尺寸;Δτ為分解切應(yīng)力變程;K為啟動位錯所需克服的摩擦阻力。該模型經(jīng)不斷延拓后,可用于描述形核于孔洞邊緣的微裂紋擴(kuò)展[9]。

文獻(xiàn)[10]基于單軸拉壓加載下單晶體模型,通過取向因子M建立了單軸名義應(yīng)力變程Δσ與分解切應(yīng)力變程Δτ之間的關(guān)系:

文獻(xiàn)[11]根據(jù)Von Mises屈服準(zhǔn)則給出:

式中:Δσvm為Von Mises應(yīng)力變程。該式暗含了位錯滑移面在等傾面(111)上,而滑移方向在八面體剪應(yīng)力方向上的假設(shè),其實(shí)質(zhì)是近似考慮了多晶體取向的統(tǒng)計(jì)平均。

Tanaka-Mura形核模型中,剪切模量G、比斷裂能Ws、泊松比υ、摩擦阻力K從材料實(shí)驗(yàn)中測取,可近似設(shè)定為確定性變量或材質(zhì)常數(shù)。而晶粒尺寸D、分解切應(yīng)力變程Δτ是與材料微結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的細(xì)觀隨機(jī)變量,直接影響裂紋形核壽命的概率分布。在材質(zhì)常數(shù)基本不變的情況下,可通過適當(dāng)?shù)臒崽幚矸椒ê椭苽涔に嚝@取預(yù)期的多晶體微結(jié)構(gòu)參數(shù),從而在既定工況下得到有利于疲勞延壽的D和Δτ.然而,(2)式中取向因子M的概率分布目前主要來自實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),未能建立應(yīng)力變程Δσ與Δτ之間的內(nèi)在解析關(guān)系;而由(3)式計(jì)算Δτ時,對多晶體取向進(jìn)行了近似的統(tǒng)計(jì)平均而遺失細(xì)觀隨機(jī)信息,計(jì)算過程退化為確定性變量分析。

總之,Tanaka-Mura形核模型描述了裂紋形核壽命與材料物理參數(shù)、晶粒尺寸、分解切應(yīng)力的關(guān)系,雖然已引入細(xì)觀參數(shù),但未能體現(xiàn)細(xì)觀各向異性導(dǎo)致的應(yīng)力分布不均勻,未能建立裂紋形核壽命與材料微結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量之間的聯(lián)系,需拓展和完善。

2　宏細(xì)觀尺度坐標(biāo)系

如圖1所示:對于多晶體金屬件,在宏觀坐標(biāo)系OXYZ下定義代表性體積單元(RVE),用來描述薄弱區(qū)域(熱區(qū))的幾何特征和載荷分布,記RVE的邊界應(yīng)力場為Σ;在細(xì)觀坐標(biāo)系oχ1χ2χ3下定義各晶粒,用來刻畫多晶體取向,記晶粒的局部應(yīng)力場為σ;在位錯坐標(biāo)系odnbk中定義位錯滑移系,用來描述晶粒中的位錯滑移方向。其中,n表示晶粒塑性滑移面π的單位法矢,b表示π上滑移方向的單位切矢。記b向分解切應(yīng)力為τ,該應(yīng)力驅(qū)動晶粒內(nèi)產(chǎn)生位錯積塞并促使裂紋形核。由于材料內(nèi)晶粒的取向各不相同,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)熱區(qū)各晶粒的分解切應(yīng)力因位錯滑移面法矢n和位錯滑移方向切矢b的不確定性而呈現(xiàn)隨機(jī)分散性。

圖1　多晶體RVE宏細(xì)觀坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of polycrystalline RVE on macro-meso-scale

設(shè)細(xì)觀坐標(biāo)軸oχ1、oχ2、oχ3與宏觀坐標(biāo)軸OX、OY、OZ之間夾角的方向余弦為(li, mi, ni),li= cos(χi, X), mi= cos(χi, Y),ni= cos(χi, Z),i =1, 2, 3,則兩坐標(biāo)系之間的變換式為

若采用歐拉空間的3個區(qū)間角(極角θ、方位角ψ和旋轉(zhuǎn)角φ)描述宏觀坐標(biāo)系和細(xì)觀坐標(biāo)系之間的聯(lián)系(見圖2),有

3　細(xì)觀變量概率分析

3.1晶粒取向歐拉角

選擇恰當(dāng)?shù)募庸こ尚巍崽幚怼⒈砻娓男缘裙に噮?shù)可以實(shí)現(xiàn)各晶粒取向的定向匯聚,多晶體內(nèi)會出現(xiàn)不同程度的織構(gòu)現(xiàn)象。對于無織構(gòu)的多晶體,位錯滑移面法矢n在單位球面上呈均勻分布(見圖2)。以下分析無織構(gòu)多晶體中晶粒取向歐拉角θ、ψ和φ的概率分布。

圖2　晶粒取向隨機(jī)性分析Fig.2 Stochastic analysis of crystal orientation

分析圖2可知,隨機(jī)方位角ψ在(0, 2π]內(nèi)呈均勻分布,其概率密度函數(shù)為

隨機(jī)極角θ取值為[θ,θ+ dθ)的概率等于單位球面上陰影面積ΔB與2B的比,即

從而得θ的概率密度函數(shù)為

隨機(jī)旋轉(zhuǎn)角φ在(0, 2π]內(nèi)呈均勻分布,故概率密度函數(shù)為

3.2晶粒各向異性彈性模量

以正交各向異性的立方晶為研究對象。立方晶在材料主軸方向的彈性特性分別相等,具有3個獨(dú)立的彈性常數(shù),這3個常數(shù)可由材料主軸方向的彈性模量E1、泊松比υ12和剪切模量G12組成。在細(xì)觀坐標(biāo)系中,晶粒的柔度矩陣為

通過如下變換[12]可獲得宏觀坐標(biāo)系下晶粒的柔度矩陣:

由(10)式得具有任意取向歐拉角的晶粒在應(yīng)力軸X方向的彈性模量:

由(11)式可知,E1(即E(100))最小,而E(111)最大。一般情況下,應(yīng)力軸方向的彈性模量EX是介于E(100)和E(111)之間的隨機(jī)變量。

可見,在確定的宏觀應(yīng)力場作用下,多晶體的細(xì)觀應(yīng)力場往往呈分散性。引起分散性的原因很多,其中最主要的原因是晶粒取向各異,應(yīng)力軸上的彈性常數(shù)各異,從而導(dǎo)致細(xì)觀響應(yīng)不一致。

3.3晶粒尺寸

利用電子背散射衍射(EBSD)技術(shù),可快捷地測定單位空間內(nèi)的晶粒數(shù)量,由此計(jì)算出晶粒的平均半徑μR.晶粒在三維空間中的半徑分布函數(shù)可通過掃描電鏡(SEM)及其輔助分析軟件獲取的金屬切片二維細(xì)觀圖像信息反求。

根據(jù)體視金相學(xué)原理,隨機(jī)截面切割多晶體時在截面上的晶粒斷面尺寸分布將受如下3個因素的影響:1)三維空間中晶粒半徑的分布;2)隨機(jī)截面截過各種半徑晶粒的概率;3)同一半徑晶粒被截面截出的斷面圓半徑的分布。由此可導(dǎo)出晶粒半徑分布函數(shù)fR(R)與任意截面上斷面圓半徑分布函數(shù)fr(r)之間的關(guān)系[8]:

當(dāng)晶粒直徑D服從正態(tài)分布時,運(yùn)用EBSD分析技術(shù)計(jì)算晶粒平均直徑μD后,可由斷面圓直徑均值μd近似求得晶粒直徑的標(biāo)準(zhǔn)差[8]:

3.4晶粒局部拉應(yīng)力

大量實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬表明:分布在表面裂紋形核晶粒(約稱中心晶粒)周邊直接緊鄰的晶粒群對中心晶粒局部應(yīng)力場分散性的影響最大,外圍晶粒群對中心晶粒局部應(yīng)力場的影響隨遠(yuǎn)離層數(shù)的增大而迅速減弱[13-14]。為考察周邊晶粒群取向分散性對中心晶粒局部拉應(yīng)力的影響,借鑒元胞自動機(jī)Moore模型提出一種簡化方法。在單軸應(yīng)力Σ(不失一般性,設(shè)為X向)作用下,僅考慮與中心晶粒緊鄰的8個表面晶粒,并假設(shè)晶粒呈等尺寸的正方體形狀,則零件的Moore體元如圖3所示。圖3中,E0表示中心晶粒X向彈性模量,Ea表示中心晶粒非傳力路徑上緊鄰晶粒(左、左上、左下、右、右上、右下晶粒)X向彈性模量,Eb表示中心晶粒傳力路徑上緊鄰晶粒(上、下晶粒)X向彈性模量。各彈性模量由(11)式求得,均與晶粒取向歐拉角有關(guān)。

借鑒復(fù)合材料力學(xué)的Chamis模型[12],將Moore體元的中間層(傳力路徑)看作串聯(lián)承載,再與左右兩層(非傳力路徑)并聯(lián)承載,進(jìn)而得到Moore體元中心單元(裂紋形核晶粒)的X向應(yīng)力。

圖3　多晶體RVE的Moore體元Fig.3 Moore voxel of polycrystalline RVE

根據(jù)并聯(lián)承載的基本假設(shè),中間單元(由中心晶粒和上下緊鄰晶粒區(qū)串聯(lián)而成)與左右緊鄰單元以及整個代表性體元在應(yīng)力軸方向的應(yīng)變相等,即

式中:σS為中間串聯(lián)單元的X向應(yīng)力;ES、EV分別為中間串聯(lián)單元和代表性體元的X向彈性模量。

根據(jù)串聯(lián)承載的基本假設(shè),中心晶粒和上下緊鄰晶粒區(qū)在應(yīng)力軸方向的應(yīng)力相等,即

式中:σ0表示中心晶粒在應(yīng)力軸方向的應(yīng)力。

ES、EV分別由串聯(lián)、并聯(lián)承載的等應(yīng)力、等應(yīng)變假設(shè)求得

式中:V表示中心晶粒單元的當(dāng)量體積比。

考慮按照中心晶粒尺寸向四周等距擴(kuò)展以確定緊鄰影響區(qū)域,故取V =

,代入(17)式和(18)式,由(16)式得

分析(19)式可知:對于確定的E0,Eb取最大值而Ea取最小值時,σ0最大;Ea取最大值而Eb取最小值時,σ0最小。中心晶粒的最大、最小拉應(yīng)力分別為

基于Voronoi算法的細(xì)觀有限元仿真表明,無織構(gòu)多晶體中隨機(jī)變量σ0服從正態(tài)分布[10]。根據(jù)6σ原則可得該分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差:

3.5晶粒分解切應(yīng)力

分解切應(yīng)力τ是晶粒細(xì)觀應(yīng)力在晶格滑移面上沿滑移方向的投影,是Tanaka-Mura模型的主要控制變量。當(dāng)形核晶粒的局部應(yīng)力場σ確定時,τ完全取決于材料的細(xì)觀幾何變量,與滑移面單位法矢n和滑移方向單位切矢b有關(guān),不難導(dǎo)出

對于宏觀X向單軸加載(見圖1),表面晶粒的近場應(yīng)力可近似為單軸應(yīng)力,上式簡化為

式中:晶體單軸應(yīng)力σ0近似地表征了零件在單向宏觀應(yīng)力作用下的細(xì)觀響應(yīng),可通過(19)式求得,分散特性由(22)式和(23)式確定。nX、bX分別表示滑移面法矢、滑移方向切矢相對于應(yīng)力軸X夾角的方向余弦。

將|nXbX|定義為Schmidt因子s,即

在細(xì)觀坐標(biāo)系中,主應(yīng)力軸的單位方向矢量由(4)式求得

作為常見而典型的金屬晶體結(jié)構(gòu),體心立方晶(BCC)的位錯滑移系有(110)[111]、(110)[111]、(110) [111]、(110) [111]、(101) [111]、(101) [111]、(101) [111]、(101) [111]、(011) [111]、(011)[111]、(011)[111]、(011)[111]等12個,面心立方晶(FCC)的位錯滑移系有(111) [110]、(111)[011]、(111) [101]、(111) [110]、(111)[011]、(111) [101]、(111) [110]、(111) [101]、(111) [011]、(111) [110]、(111) [101]、(111) [011]等12個。其中,(·)和[·]分別表示細(xì)觀坐標(biāo)系中的滑移面法矢nk(n1k,n2k,n3k)和滑移方向切矢bk(b1k,b2k,b3k),k為滑移系序號。具體空間位向如圖4所示。

圖4　典型立方晶位錯滑移系的空間位向Fig.4 Orientations of dislocation slip system of typical cubic crystals

對兩類立方晶位錯滑移系進(jìn)行重新排序并忽略滑移方向的正反差異(與Schmidt因子計(jì)算無關(guān)) 后,列入表1.由表1不難發(fā)現(xiàn):BCC的nk等于FCC 的bk,BCC的bk等于FCC的nk,k =1, 2,…, 12.

根據(jù)Schmidt因子的定義,有

式中:βkij表示第k個滑移系的Schmidt因子系數(shù),i, j = 1, 2, 3,即

在βkij的表達(dá)式中,nk和bk具有輪換對稱性,并考慮到表1中BCC的nk等于FCC的bk、BCC的bk等于FCC的nk,所以按照表1的滑移系排序,兩類立方晶具有相同的Schmidt因子系數(shù)βkij,從而具有相同的Schmidt因子sk,計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表1　BCC、FCC位錯滑移系Tab.1 Dislocation slip system of BCC and FCC

表2　BCC、FCC位錯滑移系Schmidt因子系數(shù)Tab.2 Schmidt factors of dislocation slip system of BCC and FCC

Schmidt因子定義(27)式中含有描述宏細(xì)觀坐標(biāo)系相對位置的隨機(jī)參數(shù)ll、l2和l3, (5)式建立了ll、l2、l3與隨機(jī)歐拉角θ、ψ、φ之間的關(guān)系。所以Schmidt因子不是確定性變量,其分散特征取決于細(xì)觀隨機(jī)歐拉角θ、ψ和φ的概率分布。綜上所述, BCC和FCC的Schmidt因子具有相同的概率分布。對于無織構(gòu)多晶體,由(5)式～(8)式和(27)式,經(jīng)統(tǒng)計(jì)模擬,得晶粒任意滑移系Schmidt因子sk和優(yōu)先開啟滑移系Schmidt因子S(即12個滑移系Schmidt因子中最大值)的概率密度函數(shù),如圖5所示。

圖5　無織構(gòu)多晶體Schmidt因子概率密度Fig.5 Schmidt factor probability density function of untextured polycrystal

圖5表明:sk的分布密度呈左高右低的平緩坡形,近似均勻分布;S的分布密度呈左低右高的陡峭坡形,顯著左偏。若影響材料疲勞壽命的其他隨機(jī)變量服從偏度不大的概率分布,則根據(jù)S與疲勞壽命之間的定性關(guān)系,S的左偏形態(tài)勢必導(dǎo)致疲勞壽命的右偏征貌,這是多數(shù)材料疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布(偏度系數(shù)大于0而呈右偏)的主要原因之一。

4　細(xì)觀Tanaka-Mura概率模型

4.1單晶粒裂紋形核壽命

工程實(shí)踐和理論分析表明,任一晶粒中疲勞裂紋形核壽命N可描述為對數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為

式中:μL、σL分別為晶粒對數(shù)形核壽命L的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

對(1)式所示的Tanaka-Mura形核壽命公式取對數(shù),得任一晶粒中裂紋形核的對數(shù)壽命為

式中:A = ln(8GWs)-ln(π(1-υ)),對于無織構(gòu)多晶體可近似為材料常數(shù)。

根據(jù)單晶彈性矩陣元素c11、c12和c44,有E1=,υ12=,G12= c44.代入(9)式得晶粒柔度矩陣Sm,再聯(lián)合運(yùn)用(6)式、(7)式、(8)式及(10)式,求出多晶體宏觀參數(shù)υ和G:

經(jīng)數(shù)值驗(yàn)算,(30)式、(31)式與現(xiàn)有的Voigt模型、Reuss模型分析結(jié)果非常吻合[15],該方法從統(tǒng)計(jì)力學(xué)角度為立方晶材料彈性常數(shù)計(jì)算開辟了新途徑。

疲勞壽命N服從對數(shù)正態(tài)分布時,對數(shù)壽命lnN服從正態(tài)分布,其統(tǒng)計(jì)參數(shù)主要取決于晶粒尺寸D和分解切應(yīng)力變程Δτ的分散特性。

在單軸加載下,(25)式建立了表面晶粒的近場單軸應(yīng)力與分解切應(yīng)力的近似關(guān)系,引入優(yōu)先開啟滑移系Schmidt因子S,可建立裂紋形核晶粒的近場單軸應(yīng)力變程Δσ0與分解切應(yīng)力變程Δτ的關(guān)系:

式中:S、Δσ0的取值均與歐拉角相關(guān)。若歐拉角為(θ,ψ,φ),則由(5)式、(27)式得

Δσ0為隨機(jī)變量,因此Δτ亦為隨機(jī)變量,其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

運(yùn)用矩法對隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行綜合,得(29)式中l(wèi)n(Δτ-2K)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差:

進(jìn)一步由(29)式、(36)式、(37)式得對數(shù)壽命的均值和標(biāo)準(zhǔn)差:

至此,(28)式描述的裂紋形核壽命N的概率密度函數(shù)中,所有統(tǒng)計(jì)參數(shù)均已確定。

4.2多晶粒裂紋形核壽命

通常,零件(或結(jié)構(gòu))的熱區(qū)包含多個隨機(jī)晶粒(RVE晶粒群)。在疲勞裂紋萌生初期,微裂紋在RVE各表面晶粒中獨(dú)立形核[16-17]。設(shè)RVE中裂紋形核表面的晶粒數(shù)等于m,記首條裂紋形核壽命為N(1|m),則N(1|m)應(yīng)等于最薄弱表面晶粒中的裂紋形核壽命,可運(yùn)用最小次序統(tǒng)計(jì)量模型[18]獲得其概率密度函數(shù):

式中:FN(·)表示任一晶粒中裂紋形核壽命的概率累積函數(shù)。

首條裂紋形核后,在裂紋萌生的較長階段中,多條裂紋將在不同晶粒中陸續(xù)形核,微裂紋數(shù)量不斷增加。在微裂紋形核密度達(dá)一定閾值之前,裂紋群演化不會呈現(xiàn)明顯的連接、分叉、湮滅等復(fù)雜行為,各裂紋可視為獨(dú)立形核。設(shè)微裂紋數(shù)量等于k,記零件RVE中出現(xiàn)k條微裂紋的壽命為N(k|m),則N(k|m)應(yīng)等于熱區(qū)m個表面晶粒中第k個次薄弱晶粒的裂紋形核壽命,可運(yùn)用第k次薄弱次序統(tǒng)計(jì)量模型[18]獲得其概率密度函數(shù):

綜上所述,多晶體裂紋形核壽命概率分析的主要流程如圖6所示。

圖6　分析流程圖Fig.6 Flowchart of analytical procedure

5　算例分析

根據(jù)文獻(xiàn)[19]提供的數(shù)據(jù),對S960QL馬氏體鋼試樣(見圖7)進(jìn)行裂紋形核壽命分析。

已知疲勞試樣尺寸為200 mm×100 mm×5 mm,中心為φ40 mm圓孔;材料無織構(gòu),宏觀結(jié)構(gòu)呈各向同性,而立方晶具有正交各向異性,屈服強(qiáng)度為1 026 MPa,抗拉強(qiáng)度為1 064 MPa;單晶彈性矩陣元素為c11=233 GPa、c12=135 GPa、c44=118 GPa;材料比斷裂能W = 2.0 kJ/ m2,位錯摩擦阻力K = 108 MPa;縱向循環(huán)加載,應(yīng)力比為0.1;試樣熱區(qū)RVE在中心圓孔左右兩側(cè),約包含100個表面晶粒,晶粒尺寸服從均值為0.02 mm、標(biāo)準(zhǔn)差為0.002 mm的正態(tài)分布。

圖7　含圓孔疲勞試樣Fig.7 Fatigue specimen with center hole

當(dāng)熱區(qū)細(xì)觀RVE邊界應(yīng)力峰值Σ為600 MPa 時,邊界應(yīng)力變程ΔΣ為540 MPa.運(yùn)用本文所提模型與方法,分析計(jì)算得到試件熱區(qū)晶粒群任一晶粒中萌生疲勞裂紋的壽命概率密度函數(shù)(見圖8),相應(yīng)的對數(shù)壽命服從均值為9.499 5、標(biāo)準(zhǔn)差為0.865 7的正態(tài)分布。

圖8　任一晶粒中裂紋形核壽命概率密度Fig.8 Probability density of crack nucleation life of single grain

進(jìn)一步分析計(jì)算得到100個熱區(qū)晶粒中首條裂紋形核壽命(k =1)、前3條裂紋分散形核壽命(k = 3)以及前6條裂紋分散形核壽命(k = 6)的概率密度函數(shù),如圖9所示。文獻(xiàn)[19]的疲勞試驗(yàn)及細(xì)觀有限元模擬表明加載3 700周次時試件表面出現(xiàn)6條晶體尺度分散微裂紋,與本文計(jì)算結(jié)果非常吻合。

圖9　多晶粒裂紋形核壽命概率密度Fig.9 Probability density of crack nucleation life of grain group

綜合分析圖8和圖9可知:單個晶粒中裂紋形核壽命較長,而隨熱區(qū)晶粒數(shù)量增多,由于薄弱細(xì)節(jié)增多(尺寸效應(yīng)),導(dǎo)致裂紋形核壽命迅速減短;在裂紋萌生初期,多條裂紋在不同晶粒中依次分散形核,裂紋數(shù)越多,壽命越長,涉及的隨機(jī)因素越多,壽命分散性越大,壽命分布的正偏性越弱。

6　結(jié)論

1)針對Tanaka-Mura疲勞裂紋形核機(jī)制涉及的主要細(xì)觀尺度變量,導(dǎo)出晶粒取向歐拉角、Schmidt因子、晶粒尺寸、分解切應(yīng)力變程等變量的概率密度函數(shù)。其中,晶粒尺寸和分解切應(yīng)力變程的隨機(jī)性是導(dǎo)致疲勞裂紋形核壽命呈分散特征的直接誘因,優(yōu)先開啟位錯滑移系Schmidt因子概率分布的左偏形態(tài)是疲勞裂紋形核壽命服從或近似服從對數(shù)正態(tài)分布的主要原因之一。

2)根據(jù)無織構(gòu)多晶體的單晶彈性常數(shù)精確求解多晶體宏觀參數(shù),從統(tǒng)計(jì)力學(xué)角度為立方晶材料彈性常數(shù)計(jì)算開辟了新途徑;運(yùn)用矩法和次序統(tǒng)計(jì)量模型由Tanaka-Mura壽命公式獲得任一晶粒中疲勞裂紋形核壽命和結(jié)構(gòu)熱區(qū)晶粒群多裂紋分散形核壽命的概率分布,基于細(xì)觀尺度建立了裂紋形核壽命的非經(jīng)驗(yàn)概率模型,為后繼微裂紋聯(lián)合演化統(tǒng)計(jì)分析奠定了理論基礎(chǔ)。

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Meso-scale Probabilistic Model of Fatigue Crack Nucleation Life

ZHOU Jin-yu1, XIE Li-yang2, ZHU Fu-xian1, HAN Wen-qin1
(1.Changzhou Hi-tech Key Laboratory of Equipment Remanufacture, Jiangsu University of Technology, Changzhou 213001, Jiangsu, China; 2.School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110004, Liaoning, China)

Abstract:Crack nucleation is an initial stage of damage evolution for high cycle fatigue of metallic material.Based on the Tanaka-Mura crack nucleation mechanism, a meso-scale probabilistic model is proposed for the analysis of surface crack nucleation life under constant amplitude loading.Let the grain size and Euler angle of crystal orientation be random variables, and the relationship between meso-scale principal stress and resolved shear stress is established by means of the Schmidt factor in the most possible sliding direction.The distribution function of resolved shear stress range is derived in consideration of grain orientation randomness and influence factors of nearest-neighbor grains.Furthermore, the probability density functions of crack nucleation lifes in any grain and grain group at the hotspot are derived by means of the moment method and order statistics models.A numerical example is given to show the feasibility and rationality of the proposed model and approach.The proposed model introduces probability statistic information of physical and geometrical variables on meso-scale, which can give a new path for probabilistic fatigue life assessment and anti-fatigue probabilistic design of polycrystalline metals structures.

Key words:solid mechanics; fatigue; crack nucleation life; meso-scale;probability analysis

作者簡介:周金宇(1973—),男,教授,碩士生導(dǎo)師。E-mail: yuhangyuan888@ sina.com

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275221);江蘇省產(chǎn)學(xué)研聯(lián)合創(chuàng)新資金項(xiàng)目(BY2014038-04)

收稿日期:2015-07-09

DOI:10.3969/ j.issn.1000-1093.2016.02.017

中圖分類號:TH122; TB114.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1000-1093(2016)02-0307-10