聲波夾帶法測量可吸入顆粒物粒徑的誤差和范圍

楊旭峰，　凡鳳仙

(上海理工大學 能源與動力工程學院，上海 200093)

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聲波夾帶法測量可吸入顆粒物粒徑的誤差和范圍

楊旭峰，凡鳳仙

(上海理工大學 能源與動力工程學院，上海 200093)

摘要：基于同時考慮Stokes力和非穩定力的水平駐波聲場中的顆粒動力學模型，通過數值模擬計算研究聲波夾帶法測量粒徑的誤差和范圍.結果表明：對于特定粒徑的顆粒，存在一個使測量誤差為0的最佳測試聲場頻率，低于該頻率，粒徑測量值偏大，高于該頻率，粒徑測量值偏小；隨著顆粒密度的增加，測量誤差迅速減小，最終測量誤差接近0；隨著聲波頻率的增加，測量范圍的上限和下限均下降，粒徑測量范圍減小；隨著聲強的增加，測量范圍上限增大，下限則保持不變，粒徑測量范圍增大.

關鍵詞：粒徑測量； 聲波夾帶法； 可吸入顆粒物； 測量誤差； 測量范圍

目前，顆粒物污染已成為我國突出的大氣環境問題，這些顆粒物主要來源于火力發電、交通運輸和工業部門的排放.其中，粒徑在10 μm以下的可吸入顆粒物(PM10)易于吸附空氣中的有害物質，并能夠進入人體呼吸系統，給國民健康帶來嚴重威脅[1-3].除塵器的工作效率和顆粒物的危害性均與顆粒粒徑密切相關.因此，對顆粒進行精確的粒徑測量對于顆粒物污染防治有著重要意義.此外，微米級顆粒同樣存在于其他領域，如制藥、水泥、化工等的造粒過程中，為確保產品質量，也需要對顆粒粒徑進行精確測量.

常規的單顆粒粒徑測量方法，如顯微鏡成像法、沉降法和光散射法等，均難以快速、精確地獲得微米顆粒的尺寸[4-5].與這些方法相比，聲波夾帶法能獲取細微顆粒的粒徑，且測量時無需標定，測量過程迅速，是一種具有研究價值的單顆粒粒徑測量方法[6]，其在可吸入顆粒物污染防治和微米尺度顆粒造粒領域具有應用潛力.該方法借助高速顯微攝像系統獲得聲波作用下顆粒的運動圖像，并基于顆粒在聲場中的夾帶運動方程推演出顆粒粒徑.

夾帶運動是顆粒在聲場中最基本的運動特性.2006年，姚剛等[7]對顆粒粒徑表達式進行了理論推導，提出利用聲場中可吸入顆粒物的夾帶寬度和沉降距離測量單個可吸入顆粒物粒徑的方法，并進行了駐波聲場中的粒徑測量實驗.這種方法的理論推導過程中只考慮了Stokes力和重力作用，而忽略了顆粒在非均勻流場中受到的Basset力、壓力梯度力、虛擬質量力等非穩定力的作用.隨著對聲場中顆粒動力學特性研究的逐步深入，非穩定力對顆粒夾帶運動的影響逐漸受到關注.2012年，Cleckler等[8]給出了聲場中顆粒受Stokes力和非穩定力作用下的無量綱運動方程，研究發現能否忽略非穩定力取決于顆粒與氣體的密度比ε以及無量綱弛豫時間ωτ(ω為聲波角頻率，τ為顆粒弛豫時間)的大小.由于非穩定力的影響，用現有的聲波夾帶法來測量可吸入顆粒物粒徑存在一定的誤差.此外，特定顆粒的夾帶寬度取決于聲強和頻率.對于給定的聲場，當顆粒自身大小與夾帶寬度相比不能忽略時，將造成較大的夾帶寬度測量誤差，從而影響粒徑測量的準確性；當夾帶寬度接近于聲場中氣體介質的振動寬度時，夾帶寬度對粒徑的變化很不敏感，也不利于顆粒粒徑的精確測量.因此，給定的聲場將對應于一定的粒徑測量范圍.

鑒于此，筆者建立同時考慮Stokes力和非穩定力的駐波聲場中顆粒動力學模型，通過數值模擬方法研究聲波夾帶法測定顆粒粒徑的誤差和測量范圍，為聲波夾帶法測量單顆粒粒徑的優化提供理論基礎和指導方法.

1數學模型

1.1駐波聲場波動方程

由Navier-Stokes方程可推導出駐波聲場的波動方程[9]為：

ug,x(x,t)=uasin(kx)cos(ωt)

(1)

式中：ug,x為聲波引起的氣體介質振動速度；x為位置坐標；t為時間；ua為速度振幅；k為波數，k=ω/c，ω=2πf，c為聲速，f為聲波頻率.

通常采用聲壓級來描述聲強，其表達式為：

(2)

式中：L為聲壓級；pr為參考聲壓，pr=2×10-5Pa；ps為聲壓有效值.

(3)

式中：ρg為氣體密度.

1.2顆粒動力學模型

處于聲場中的顆粒在水平方向(x方向)上將受到Stokes力、Basset力、壓力梯度力和虛擬質量力的作用，其運動方程可表示為：

(4)

式中：mp為顆粒質量；up,x為顆粒速度的水平分量；Fst為Stokes力；Fb為Basset力；Fp為壓力梯度力；Fvm為虛擬質量力.

Stokes力的表達式[10]為：

(5)

式中：μg為氣體動力黏度；dp為顆粒粒徑；Cc為Cunningham修正系數.

Cc=1+Kn[1.257+0.4×exp(-1.1/Kn)]

(6)

式中：Kn=2λg/dp,為克努森數，其中λg為氣體分子平均自由程.

Basset力、壓力梯度力、虛擬質量力的表達式[11-13]分別為：

(7)

(8)

(9)

式中：t′為積分變量.

1.3聲波夾帶法測量顆粒粒徑的依據

姚剛等[7]基于聲波夾帶法測量顆粒粒徑時認為，位于水平駐波聲場中的顆粒水平方向上僅在Stokes力作用下隨聲波在平衡位置往復振動，即發生夾帶運動；在豎直方向上受到Stokes力和重力的共同作用，二力平衡后，顆粒將以恒定的速度沉降.

在水平方向上，顆粒夾帶寬度Xp和空氣質點振動寬度X0的比值[7]可表示為：

(10)

式中：η為夾帶系數；ρp為顆粒密度.

在豎直方向上，極短時間(t=3τ)內顆粒運動速度即可達到終端沉降速度，此后顆粒做勻速運動.弛豫時間τ和沉降距離Yp的表達式[14]分別為：

(11)

(12)

式中：g為重力加速度.

聯立式(10)和式(12)消去Cc，可得到顆粒粒徑的表達式：

(13)

由式(13)可知，在顆粒密度、聲波頻率、空氣動力黏度、空氣質點振動寬度已知的情況下，如果能測得時間t內顆粒夾帶寬度和沉降距離，就能確定顆粒粒徑.

1.4計算方法

采用變步長四階Runge-Kutta算法對顆粒運動方程進行求解.其中，Basset力通過將氣體速度和顆粒速度基于經歷的時間步進行離散而計算得到，即

(14)

式中：n為顆粒運動經歷的時間步數；Δug,xi和Δup,xi分別為第i個時間步內氣體速度和顆粒速度增量；i為時間步數，i=1，2，…，n；t0為第1個時間步的起始時間；ti為第i個時間步的終止時間.

顆粒的運動軌跡可由各時間步長內顆粒的位移疊加獲得.根據二階隱式Adams插值算法，顆粒在聲波傳播方向的位移為

(15)

式中：xp為位移；Δt為時間步長.

2不同密度比下的夾帶系數

為說明非穩定力對顆粒夾帶運動的影響，圖1給出了不同密度比(ε=ρp/ρg)情況下，考慮非穩定力以及僅考慮Stokes力時夾帶系數的對比關系.由圖1可知，ωτ≤1時，4種計算情況下的曲線幾乎完全重合，這表明此時非穩定力對計算結果的影響可以忽略；當ωτ>1時，隨著ωτ的增加，有、無非穩定力情況下夾帶系數計算結果的差別趨于明顯，并且不同密度比下顆粒的夾帶系數也有差別，如ωτ=5時，僅考慮Stokes力時的夾帶系數相對于考慮了非穩定力且ε=2 000和ε=500時的夾帶系數的偏差分別為8.62%和10.65%.由圖1還可以看出，對于特定的顆粒，隨著聲波頻率的增加，夾帶系數先是接近于1，接著急劇減小，最后夾帶系數的變化又趨于平緩.在聲波夾帶法測量顆粒粒徑過程中，通過高速顯微攝像系統獲得顆粒的夾帶寬度，當測量粒徑所依據的夾帶系數接近于1或者0時，微小的夾帶寬度變化將帶來較大的粒徑變化，給粒徑測量帶來較大誤差.為減小這種測量誤差，選取0.1≤η≤0.9為宜.由于夾帶系數主要由聲波頻率決定，因而一定頻率的聲場對應于一定的測量范圍.另外，在頻率給定的情況下，顆粒的夾帶寬度隨聲強的增加而增大，如果采用的聲強過小，會引起顆粒夾帶寬度過小，此時顆粒粒徑對顆粒夾帶寬度的干擾較強，對測量結果的準確性帶來不利影響；如果聲強過大，聲源的成本和能耗將增加.為兼顧測量的準確性和測量裝置的成本，夾帶寬度Xp滿足10dp≤Xp≤100dp為宜.可見，聲波夾帶法測量顆粒粒徑時，不同強度的聲場也對應于不同的粒徑測量范圍.

圖1　夾帶系數隨無量綱弛豫時間的變化

3粒徑測量誤差和測量范圍分析

在氣體靜壓p=101 325 Pa、溫度T=300 K、顆粒初始位置橫坐標x0=3λ/4的條件下，對聲波夾帶法測量可吸入顆粒物粒徑的誤差和范圍進行數值分析.

3.1忽略非穩定力引起的測量誤差分析

3.1.1聲波頻率對測量誤差的影響

圖2給出了ε=2 000時，顆粒粒徑dp為1 μm、2 μm、3 μm和4 μm情況下，聲波夾帶法測量顆粒粒徑的相對誤差隨聲波頻率的變化關系.圖中，以測量顆粒粒徑的相對誤差Δdp來表征測量誤差，Δdp=(dp1-dp)/dp，其中，dp1為粒徑的測量值.由圖2可知，當dp=1 μm時，在聲波頻率為300～20 000 Hz時，測量值始終偏大，測量誤差隨聲波頻率的增大而減小；對于dp為2 μm、3 μm和4 μm的顆粒，隨著聲波頻率的增大，測量值先偏大、后偏小，在聲波頻率分別為4 598 Hz、2 145 Hz和1 210 Hz時，測量值與真實值相同.這表明對于特定粒徑的顆粒，存在一個使測量誤差為0的最佳測試聲波頻率，低于該頻率，粒徑測量值偏大；高于該頻率，粒徑測量值偏小；越接近該頻率，測量越精確.

圖2　測量誤差隨聲波頻率的變化

3.1.2密度比對測量誤差的影響

圖3給出了聲波頻率f=2 000 Hz，顆粒粒徑dp為1 μm、2 μm、3 μm和4 μm條件下，聲波夾帶法測量顆粒粒徑的測量誤差隨密度比的變化關系.由圖3可知，隨著密度比的增加，測量誤差先迅速減小，而后減小速度趨緩，直至測量誤差幾乎保持不變.當dp為1 μm和2 μm時，粒徑測量值偏大；當dp為3 μm和4 μm時，測量誤差在ε=2 000時即接近于0.從圖3還可以看出，對于相同密度比的顆粒，采用同樣的測試聲場時，顆粒粒徑越大，對應的測量誤差越小.

圖3　測量誤差隨密度比的變化

3.2粒徑測量范圍分析

為減小測量誤差，同時兼顧測量裝置成本，在忽略非穩定力引起的相對誤差Δdp≤5%，且0.1≤η≤0.9、10dp≤Xp≤100dp條件下，研究聲波頻率和聲強對粒徑測量范圍的影響.

3.2.1聲波頻率對粒徑測量范圍的影響

圖4給出了ε=2 000、L=140 dB時，粒徑測量范圍隨聲波頻率的變化關系.其中，dpmax為粒徑測量上限，dpmin為粒徑測量下限.由圖4可知，隨著聲波頻率的增加，顆粒粒徑測量上限和下限均降低，相對于測量下限，上限的下降程度更為顯著，導致粒徑測量范圍縮小.下限粒徑對應的顆粒由于具有更小的慣性而具有更好的跟隨性，其夾帶系數受聲波頻率的影響較弱，顆粒夾帶寬度能夠保持在適宜的范圍內，因此下限粒徑對聲波頻率變化的敏感性較弱；而慣性較大的粒徑測量上限對應的顆粒跟隨性較差，聲波頻率對其夾帶系數和夾帶寬度有重要影響，使得粒徑測量上限受聲波頻率變化的影響顯著.

圖4　粒徑測量范圍隨聲波頻率的變化

3.2.2聲強對粒徑測量范圍的影響

圖5給出了ε=2 000、f=3 000 Hz時，顆粒粒徑測量范圍隨聲強的變化關系.由圖5可知，隨著聲強的增加，粒徑測量上限增大，粒徑測量下限則保持不變，使得粒徑測量范圍增大.同一顆粒的夾帶系數不受聲強的影響，而夾帶位移隨聲強的增加而增大.在聲波頻率為3 000 Hz、聲強為125～150 dB時，數值模擬結果表明，顆粒粒徑測量上限由顆粒夾帶寬度確定，即dpmax=Xp/10；粒徑測量下限由夾帶系數確定，即dpmin為η=0.9時對應的顆粒粒徑.由于一定聲波頻率下的顆粒夾帶寬度取決于聲強，隨著聲強的增加，顆粒夾帶寬度增大，粒徑測量上限隨之增大；同時，由于夾帶系數不受聲強的影響，因而粒徑測量下限不隨聲強而變化.

圖5　粒徑測量范圍隨聲強的變化

4結論

(1)對于特定粒徑的顆粒，存在一個使測量誤差為0的最佳測試聲場頻率，低于該頻率，粒徑測量值偏大；高于該頻率，粒徑測量值偏小.

(2)隨著顆粒密度比的增加，測量誤差迅速減小，最終接近于0；對于相同密度比的顆粒，粒徑越大，測量誤差越小.

(3)隨著聲波頻率的增加，顆粒粒徑測量范圍的測量上限和下限均下降，但是上限下降更為迅速，使得粒徑測量范圍隨聲波頻率的增加而減小.

(4)隨著聲強的增加，顆粒粒徑測量范圍上限增大，下限則保持不變，使得粒徑測量范圍隨聲強的增加而增大.

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Error and Range in Measurement of Inhalable Particle Sizes by Acoustic Entrainment Method

YANGXufeng,FANFengxian

(School of Energy and Power Engineering, University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093, China)

Abstract：Based on the dynamic model for particles subjected to both the Strokes force and unsteady force in a horizontal standing wave acoustic field, the error and range in measurement of particle sizes by acoustic entrainment method were numerically studied. Results show that for a specified size of particles, there exists an optimal acoustic frequency corresponding to zero error of particle size measurement; when the acoustic frequency is lower or higher than the optimal one, the measured value would be accordingly larger or smaller than the true value. As the particle density increases, the measurement error decreases rapidly, and finally the error approaches to zero. Both the upper limit and lower limit of the measurement range reduce with the increase of acoustic frequency, resulting in decreased range of particle size measurement. As the acoustic intensity increases, the upper limit of the measurement range increases but the lower limit keeps constant, thus the measurement range increases.

Key words：particle size measurement; acoustic entrainment method; inhalable particle; measurement error; measurement range

文章編號：1674-7607(2016)03-0196-05

中圖分類號：TB52+9

文獻標志碼：A學科分類號：470.10

作者簡介：楊旭峰(1989-)，男，湖北武漢人，碩士研究生，主要從事聲場中顆粒動力學數值模擬方面的研究.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51206113，51176128)

收稿日期：2015-04-24

修訂日期：2015-07-13

凡鳳仙(通信作者)，女，副教授，博士，電話(Tel．)：13761377356；E-mail：fanfengxian@hotmail.com．