幾個正項級數判別法在證明調和級數斂散性中的應用

邵文凱（宜賓職業技術學院,四川　宜賓　644003）

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幾個正項級數判別法在證明調和級數斂散性中的應用

邵文凱
（宜賓職業技術學院,四川宜賓644003）

摘 要：本文從調和級數發散性質最初的證明思想出發，介紹了調和級數發散性證明的發展歷程與多種證明思路。并利用了一些大學數學很難接觸到的正項級數判別法給出調和級數發散性的幾種罕見的證明方法，通過這些證明，使得對級數斂散性的學習和研究更有效。

關鍵詞：調和級數；發散；正項級數

1　調和級數的早期經典證明

高等數學中我們熟知的調和級數

的發散性最早是由法國學者尼古拉奧雷姆（1323-1382）在極限概念被完全理解之前證明的。他的方法很簡單：

注意后一個級數每一項對應的分數都不大于調和級數中相對應的項，而且后面級數的括號中的數值和都為，這樣的一有無窮多個，所以后一個級數是趨向無窮大的，進而調和級數也是發散的。

后來，大數學家約翰伯努利也作出了經典的證明。他的證明是以萊布尼茨的收斂級數為基礎的。令，他通過一系列演算得出A=A+1。顯然沒有一個有限數會大于等于自己，即A是無窮大，所以調和級數發散。伯努利作出這一論證之后的150年，才有真正的級數理論出現。

2　利用幾個正項級數判別法證明調和級數發散

而今，隨著級數理論的不斷完善，我們可以應用更多更精彩的方法證明調和級數的發散性。下面我們主要利用了一些大學數學很難接觸到的正項級數判別法給出調和級數發散性的幾種證明方法。

（1）利用積分判別法：設f為[1,+∞]上非負減函數，那么正項級數∑f(n)與反常積分同時收斂或同時發散。

（5）利用厄耳瑪可夫判別法：若f(x)為單調遞減的正值函數，且，則當λ<1時，級數收斂；當λ>1時，級數發散。

3　結束語

當然對于調和級數的一般證明方法有很多，例如：利用歐拉常數，級數與廣義積分斂散性的關系，級數及數列斂散性的定義和性質，級數斂散性的各種判別法，均值不等式等。在級數斂散性的討論中，調和級數的應用很廣泛。了解這些證明方法，對級數斂散性的學習和研究是有益的，特別在其證明方面能起到舉一反三，融會貫通的作用。

參考文獻：

[1]張永利.對調和級數性態的研究[J].高等數學研究,2005(08):16-17.

[3]張軍學.關于調和級數發散性的幾種證明方法[J].西安教育學院院報,2001(09):31-40.

[4]黃永東.證明調和級數發散性的7種方法[J].西北民族學院院報,2001(03):1-3.

作者簡介：邵文凱（1982-），甘肅天水人，講師，主要從事：數學教育。

DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.03.241